대수표면

수학에서 대수 표면은 차원 2의 대수적 다양성이다. 복잡한 숫자의 영역에 걸친 기하학의 경우 대수 표면에는 복잡한 치수 2(비성수적인 경우 복잡한 다지관으로서)와 치수 4가 매끄러운 다지관으로서 있다.

대수적 표면의 이론은 대수적 곡선(소형 리만 표면 포함, (실제) 차원 2의 실제 표면)보다 훨씬 더 복잡하다. 그러나 이탈리아의 대수 기하학 학교에서 많은 결과가 나왔고, 100세까지 되었다.

고다이라 차원에 의한 분류

치수의 경우 1개 품종은 위상속만으로 분류되지만, 치수 2는 산술속 p $p_{a}$ ${\$ 와 $p_a$ 기하속 $p_{g}$ g ${\$ 의 차이가 중요한 것으로 회전하는데 $p_{g}$ , 이는 위상속만 구별할 수 없기 때문이다. 그리고 나서 우리는 그들의 분류를 위한 불규칙성을 소개한다. 결과의 요약(각 종류의 표면은 각 리디렉션을 참조)은 다음과 같다.

대수 표면의 예는 다음과 같다. (대수는 코다이라 치수).

κ = -∞: 투사면, P의³ 사분면, 입방면, 베로네즈면, 델 페조면, 지배면
κ = 0 : K3 표면, 아벨리안 표면, 엔리케스 표면, 과대망상
κ = 1: 타원형 표면
κ = 2: 일반형 표면.

자세한 예는 대수 표면 목록을 참조하십시오.

처음 다섯 가지 예는 사실 이성적으로 동등하다. 즉, 예를 들어 입방 표면은 투영 평면의 기능장 이형성을 가지며, 두 개의 독립체에서 합리적인 기능이다. 두 곡선의 데카르트 산물도 예를 제공한다.

표면의 혼성 기하학

대수 표면의 혼성 기하학은 폭발(일원형 변환이라고도 함) 때문에 풍부하며, 그 아래에서 점은 그 안으로 들어오는 모든 제한 접선 방향의 곡선(투영선)으로 대체된다. 특정 곡선도 블로우다운할 수 있지만 제한이 있다(자체간격 번호는 -1이어야 한다).

카스텔누오보의 정리

표면의 혼성 기하학을 위한 근본적인 이론 중 하나는 카스텔누오보의 정리다. 이것은 대수적 표면 사이의 어떤 쌍생 지도는 유한한 블로우업과 블로 다운 순서에 의해 주어진다고 명시한다.

특성.

나카이 기준은 다음과 같이 말하고 있다.

표면 S의 Divisor D는 D² > 0의 경우 및 S D•C > 0의 모든 수정 불가능한 곡선 C의 경우에만 충분하다.

넉넉한 디비저는 잘 알려진 투영 공간의 일부 하이퍼플레인 묶음의 풀백과 같은 좋은 속성을 가지고 있다. ${\mathcal {D}}(S)$ ( ${\mathcal {D}}(S)$ ) ${\mathcal{D}(S)$ 을(를) S에 있는 모든 디비서로 구성된 아벨리안 그룹이 되게 하라 ${\mathcal {D}}(S)$ . 교차로 정리 때문에

{\mathcal {D}(S)\time {\mathcal {D}(S)\오른쪽 화살표 \mathb {Z} :(X,Y)\mapsto X\cdot Y

2차적 형태로 보여진다. 내버려두다

{\mathcal {D}_{0}(S):\{D\in {\mathcal}D}D}D\cdot X=0,{\text{모든 }X\in {\mathcal}}\}}}

다음 ${\mathcal {D}}/{\mathcal {D}}_{0}(S):=Num(S)$ / ${\mathcal {D}}/{\mathcal {D}}_{0}(S):=Num(S)$ ${\mathcal {D}}/{\mathcal {D}}_{0}(S):=Num(S)$ ( ${\mathcal {D}}/{\mathcal {D}}_{0}(S):=Num(S)$ S ${\mathcal {D}}/{\mathcal {D}}_{0}(S):=Num(S)$ ) ${\mathcal {D}}/{\mathcal {D}}_{0}(S):=Num(S)$ ${\mathcal {D}}/{\mathcal {D}}_{0}(S):=Num(S)$ ${\mathcal {D}}/{\mathcal {D}}_{0}(S):=Num(S)$ m ${\mathcal {D}}/{\mathcal {D}}_{0}(S):=Num(S)$ ( ${\mathcal {D}}/{\mathcal {D}}_{0}(S):=Num(S)$ ) ${\displaystyle {\mathcal$ { $D}/{\mathcal$ { $D}_{0}(S):$ $=Num(S)}$ 은 $\mathcal{D}/\mathcal{D}_0(S):=Num(S)$ (는) S의 숫자 등가 클래스 그룹이 되고

Num(S)\time Num(S)\mapsto \mathb {Z} =({\bar {D},{\bar {E})\mapsto D\cdot E

$Num(S)$ N $Num(S)$ m $){\displaystyle Num(S)}$ 에서는 2차 형식이 된다 $Num(S)$ 여기서 $'{\$ 은 $\bar{D}$ (아래 이미지 ${\bar {D}}$ $}{\$ 는 $\bar{D}$ D로 축약된다.)

S의 넉넉한 라인 번들 H에 대해 정의

\{H\}^{\perp }:=\{D\in Num(S) D\cdot H=0\}

Hodge 인덱스 정리의 표면 버전에서 사용된다.

D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\},D\cdot D<0

D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\},D\cdot D<0

{

D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\},D\cdot D<0

{

D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\},D\cdot D<0

D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\},D\cdot D<0

D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\},D\cdot D<0

D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\},D\cdot D<0

D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\},D\cdot D<0

D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\},D\cdot D<0

D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\},D\cdot D<0

,

D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\},D\cdot D<0

D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\},D\cdot D<0

D\in \{\{H\}^{\perp }|D\neq 0\},D\cdot D<0

< 0

D\in \{\{

H\}^{\perp }D\neq

0

\}D\cdot

D

<0

즉 교차로 형식을

\{H\}^{\perp }

{

\{H\}^{\perp }

{

\{H\}^{\perp }

{\

displaystyle

\{

H\}^{\perp

}}}}}}}로 제한하는 것은

\{H\}^{\perp }

음의 확정 2차 형식이다.

이 정리는 표면에 대해 나카이 기준과 리만-로치 정리를 사용하여 증명된다. 호지 지수 정리는 딜랭의 웨일 추측에 대한 증거에 사용된다.

대수표면에 대한 기본적인 결과는 호지수 정리, 대수표면 분류라고 하는 5개 그룹의 분업성 등가 등급으로 나뉜다. 고다이라 치수 2의 일반형 등급은 매우 크다(예를³ 들어 P의 비음향 표면의 경우 5도 이상이 그 안에 있다).

표면에는 필수적인 세 가지 호지 수 불변제가 있다. 그 중 h는^1,0 고전적으로 불규칙성(不 irregular性)이라 불리며 q로 표시되었고 h는^2,0 기하속 p라고_g 불렸다. 세 번째, h는^1,1 쌍생 불변제가 아니다. 왜냐하면 부풀어오르면 전체 곡선이 추가될 수 있기 때문이다^1,1. H 등급은 H 등급이다. 호지 순환은 대수학이며 대수적 등가성은 동질적 등가성과 일치하므로 h는^1,1 네론-세베리 집단의 순위인 ρ에 대한 상한이다. 산술 속 p는_a 차이점이다.

기하학적 속 - 불규칙성

사실 이것은 불규칙성이 일종의 '오류 용어'로서 그 이름을 얻게 된 이유를 설명해준다.

표면의 리만-로치 정리

표면에 대한 리만-로치 정리는 맥스 노에더가 처음 공식화했다. 표면의 곡선의 집단은 어떤 의미에서 분류될 수 있으며, 그들의 흥미로운 기하학적 구조를 많이 만들어낸다.

참조

Dolgachev, I.V. (2001) [1994], "Algebraic surface", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Zariski, Oscar (1995), Algebraic surfaces, Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58658-6, MR 1336146

외부 링크

사용자 갤러리를 포함한 대수 표면을 실시간으로 시각화할 수 있는 무료 프로그램 SUPER.
대수 표면을 위한 대화형 3D 뷰어 SingSurf.
2008년 시작된 대수 지표면 페이지
대수학적 표면 설계에 대한 개요와 생각

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