대칭 부울 함수

수학에서 대칭 부울 함수는 부울 함수로, 값은 입력 비트의 순서에 따라 달라지지 않는다. 즉, 입력에 있는 1(또는 0)의 수에만 의존한다.^[1]이러한 이유로 그들은 부울 계수 함수로도 알려져 있다.^[2]

2개의ⁿ⁺¹ 대칭 n-arry 부울 함수가 있다.전통적으로 부울 함수를 나타내는 데 사용되는 진리표 대신 n-변수 대칭 부울함수(n + 1)-벡터(i-th 입력(i = 0, ..., n)는 i가 있는 입력 벡터에 있는 함수의 값이다.수학적으로 대칭 부울 함수는 $f:\{0,1,...,n\}\rightarrow \{0,1\}$ +1 요소를 f $f:\{0,1,...,n\}\rightarrow \{0,1\}$ : { 0 $f:\{0,1,...,n\}\rightarrow \{0,1\}$ , . $f:\{0,1,...,n\}\rightarrow \{0,1\}$ . . . . $f:\{0,1,...,n\}\rightarrow \{0,1\}$ → { $f:\{0,1,...,n\}\rightarrow \{0,1\}$ $f:\{0,1,...,n\}\rightarrow \{0,1\}$ $f:\{0,1,...,n\}\rightarrow \$ 에 매핑하는 함수와 일대일 대응한다 $f:\{0,1,...,n\}\rightarrow \{0,1\}$

대칭 부울 함수는 부울 만족도 문제를 분류하는 데 사용된다.

특례

다음과 같은 많은 특수 사례가 인정된다.^[1]

과반수 함수: 입력 벡터의 값이 n/2 이상인 경우 1임
임계값 함수: 이 값은 입력 벡터에 1이고 고정 k에 대해 k 이상임
모두 등가함수 및 비등가함수: 입력 값이 모두 같을 때(같지 않을 때) 값이 1이다.
정확한 카운트 함수: 그 값은 입력 벡터에 1이고 고정 k에 대한 k 벡터에 대한 값이다.
- 1-hot 또는 1-in-n 함수: 값이 입력 벡터에 1이고 정확히 1임
- 단일 콜드 함수: 입력 벡터의 값이 1이고 0이 정확히 하나임
조합함수: 그 값은 입력 벡터에 1이고 고정 k, m에 대해 k mod m에 해당하는 값이다.
패리티 함수: 입력 벡터에 홀수 수가 있는 경우 해당 값은 1임

n-ary 버전의 AND, OR, XOR, NAND, NOR 및 XNOR도 대칭 부울 함수다.

특성.

다음에서 $f_{k}$ $f_{k}$ ${\displaystyle f_$ ${k$ $}$ 는 중량 $k$ 의 입력 벡터에 적용할 때 함수 $f:\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}$ $f:\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}$ : $f:\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}$ { $f:\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}$ 0 $f:\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}$ $f:\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}$ $}n$ → $f:\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}$ { $0,1\^{n}\$ $화살표 \{0,1\}}$ 의 값을 나타낸다 $f_{k}$ $k$

무게

함수의 무게는 값 벡터에서 계산할 수 있다.

f =\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}f_{k}}}}

대수 정규형

대수 정규 형식은 특정 $순서$ m $m$ 의 모든 단수(monomials)를 포함하거나 $m$ 모두 포함하지 않는다. 즉, 함수의 ${\hat {f}}$ 뫼비우스 변환 ${\hat {f}}$ ${\hat {f}}$ {\ $displaystyle$ {\ $f}$ 도 대칭 함수다.따라서 단순한 (n+1) 비트 벡터인 ANF 벡터 ${\hat {f}}_{m}$ ${\hat {f}}_{m}$ ${\hat {f}}_{m}$ ${\$ 로도 설명할 수 있다 ${\hat {f}}_{m}$ ANF와 값 벡터는 뫼비우스 관계에 의해 관련된다.

{\f}_{m}=\bigoplus _{k_{2}\vigoplus _{k_{2}}f_{k}}

여기서

k_{2}\subseteq m_{2}

k_{2}\subseteq m_{2}

k_{2}\subseteq m_{2}

k_{2}\subseteq m_{2}

k_{2}\subseteq m_{2}

{\

}}은 base-2의 표현이 m의 base-2 표현으로 덮인 모든 k를 나타낸다

k_{2}\subseteq m_{2}

(루카스의 정리 결과).^[3]사실상 n-변수 대칭 부울 함수는 입력 중량의 base-2 표현에 작용하는 로그(n)변수 일반 부울 함수에 해당한다.

예를 들어, 3변수 함수의 경우:

{\begin{array}{lcl}{\hat {f}}_{0}&=&f_{0}\\{\hat {f}}_{1}&=&f_{0}\oplus f_{1}\\{\hat {f}}_{2}&=&f_{0}\oplus f_{2}\\{\hat {f}}_{3}&=&f_{0}\oplus f_{1}\oplus f_{2}\oplus f_{3}\end{array}}

따라서 값 벡터(0, 0, 1, 1)를 가진 세 변수 다수 함수에는 ANF 벡터(0, 0, 1, 0), 즉 다음과 같은 ANF 벡터가 있다.

{\text{Maj}(x,y,z)=xy\oplus xz\oplus yz

단위 하이퍼큐브 다항식

$\{0,1\}^{n}$ , $\{0,1\}^{n}$ $\{0,1\}^{n}$ n ${\$ 의 함수에 동의하는 실제 다항식의 계수는 다음과 $\{0,1\}^{n}$ 같다.

f_{m}^{*}^{*}=\sum _{k=0}^{m(-1)^{k + m }{\binom {m}{k}f_{k}}}}}{k}}}}}}}}

예를 들어, 3개의 변수 다수함수 다항식에는 계수(0, 0, 1, -2)가 있다.

{\text{Maj}(x,y,z)=(xy+xz+yz)-2(xyz)

예

세 변수의 16 대칭 부울 함수
함수값				값 벡터	무게	이름	구어적 서술	ANF 벡터
0	1	2	3	값 벡터	무게	이름	구어적 서술	ANF 벡터
F	F	F	F	(0, 0, 0, 0)	0	상수 거짓	"절대"	(0, 0, 0, 0)
F	F	F	T	(0, 0, 0, 1)	1	3방향 AND, 임계값(3), 카운트(3)	"세 사람 모두"	(0, 0, 0, 1)
F	F	T	F	(0, 0, 1, 0)	3	카운트(2), 원콜드	"exactly 2"	(0, 0, 1, 1)
F	F	T	T	(0, 0, 1, 1)	4	다수, 임계값(2)	"최대", "최소 2개"	(0, 0, 1, 0)
F	T	F	F	(0, 1, 0, 0)	3	카운트(1) 원핫	"한 개씩"	(0, 1, 0, 1)
F	T	F	T	(0, 1, 0, 1)	4	3방향 XOR, (이상) 패리티	"하나 또는 셋"	(0, 1, 0, 0)
F	T	T	F	(0, 1, 1, 0)	6	동일하지 않음	"하나 둘"	(0, 1, 1, 0)
F	T	T	T	(0, 1, 1, 1)	7	3방향 OR, 임계값(1)	"any", "하나 이상"	(0, 1, 1, 1)
T	F	F	F	(1, 0, 0, 0)	1	NOR3길, 카운트(0)	"none"	(1, 1, 1, 1)
T	F	F	T	(1, 0, 0, 1)	2	만평형	"전부 또는 없음"	(1, 1, 1, 0)
T	F	T	F	(1, 0, 1, 0)	4	3방향 XNOR, 짝수 패리티	"한 두 개"	(1, 1, 0, 0)
T	F	T	T	(1, 0, 1, 1)	5		"정확히 하나가 아니다"	(1, 1, 0, 1)
T	T	F	F	(1, 1, 0, 0)	4	(경음절)	"최대한"	(1, 0, 1, 0)
T	T	F	T	(1, 1, 0, 1)	5		"정확히 두 개가 아니다"	(1, 0, 1, 1)
T	T	T	F	(1, 1, 1, 0)	7	낸드3길	"최대 2개"	(1, 0, 0, 1)
T	T	T	T	(1, 1, 1, 1)	8	상수 참	"항상"	(1, 0, 0, 0)

참고 항목

대칭함수

참조

^ ^a ^b Ingo Wegener, "대칭 부울 함수의 복잡성"에서: 계산 이론과 논리, 컴퓨터 과학의 강의 노트, 제270권, 1987권, 페이지 433–442
^ "BooleanCountingFunction—Wolfram Language Documentation". reference.wolfram.com. Retrieved 2021-05-25.
^ Canteaut, A.; Videau, M. (2005). "Symmetric Boolean functions". IEEE Transactions on Information Theory. 51 (8): 2791–2811. doi:10.1109/TIT.2005.851743. ISSN 1557-9654.

[weg-1] Ingo Wegener, "대칭 부울 함수의 복잡성"에서: 계산 이론과 논리, 컴퓨터 과학의 강의 노트, 제270권, 1987권, 페이지 433–442

[2] "BooleanCountingFunction—Wolfram Language Documentation". reference.wolfram.com. Retrieved 2021-05-25.

[3] Canteaut, A.; Videau, M. (2005). "Symmetric Boolean functions". IEEE Transactions on Information Theory. 51 (8): 2791–2811. doi:10.1109/TIT.2005.851743. ISSN 1557-9654.

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