테이트 알고리즘

타원곡선 이론에서, 테이트의 $알고리즘$은 Q$${\$displaystyle \mathb {Q}}$ 또는$$그 이상의 일반적으로 대수적 숫자 필드 위에 타원곡선 E의 적분모델을 입력하는 것으로서, 프라임 또는 프라임 이상 p를 입력하는 것으로 받아들인다.이 값은 E의 도체에서 p의 지수_p f를 반환하고, p에서의 감소 유형(local index)을 반환한다.

${\displaystyle c_{p}=[E(\mathb {Q} _{p}):E^{0}(\mathb {Q} _{p}),}$

${\displaystyle {여기}^{}}$서 $E{\displaystyle {}^{}}$ 0${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle {}_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle$ E$^{0}(\mathb {Q} _{p})$은 감소모드 p가 비음향 점인 $Q{\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 그룹이다$$.또한 알고리즘은 p에서 주어진 적분 모형이 최소인지 여부를 결정하고, 그렇지 않으면 판별의 p에서의 평가가 최소인 적분 계수를 갖는 적분 모형을 반환한다.

또한 테이트의 알고리즘은 고다이라 기호나 네론 기호가 주는 단수 섬유의 구조를 제공하는데, 타원형 표면을 참조하라: 이것이 도체 E의 지수 f를_p 결정한다.

잔류물 등급장의 특성이 2나 3이 아니면 테이트의 알고리즘을 크게 단순화할 수 있다. 이 경우 유형과 c와 f는 j와 Δ(아래 정의)의 평가에서 판독할 수 있다.

테이트의 알고리즘은 존 테이트(1975)에 의해 네론(Néron)이 타원곡선의 네론(Néron) 모델에 대한 설명의 개선으로서 도입되었다.

표기법

곡선 방정식의 모든 계수는 완전한 잔류 필드를 가진 완전한 이산 평가 링 R에 있고 프라임 π에 의해 생성되는 최대 이상이라고 가정한다.타원곡선은 방정식에 의해 주어진다.

${\displaystyle y^{2}+a_{1}}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}.}$

정의:

${\displaystyle a_{i,m}=a_{i}/\pi ^{m}}$

${\displaystyle b_{2}=a_{1}^{2}+4a_{2}}}$

${\displaystyle b_{4}=a_{1}a_{3}+2a_{4}^{}}$

${\displaystyle b_{6}=a_{3}^{2}+4a_{6}}$

${\displaystyle b_{8}=a_{1}^{2}a_{6}-a_{1}a_{3}a_{4}a_{4}+4a_{6}a_{2}+a_{3}a_{3}^{2}-a_{4}^{2}}:$

${\displaystyle c_{4}=b_{2}^{2}-24b_{4}}}$

${\displaystyle c_{6}=-b_{2}^{3}+36b_{2}b_{4}-216b_{6}}}}$

${\displaystyle \Delta =-b_{2}^{2}b_{8}-8b_{4}^{3}-27b_{6}^{2}+9b_{2}b_{4}b_{6}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle j=c_{4}^{3}/\Delta .}$

알고리즘

• 1단계: π이 Δ를 나누지 않으면 유형은 I₀, f=0, c=1이다.
• 단계 2. 그렇지 않으면 좌표를 변경하여 π이 a₃,a₄,a를₆ 나누도록 한다.π이 b를₂ 나누지 않으면, ν_ν =v(Δ)와 f=1을 갖는 I형이다.
• 단계 3. 그렇지 않은 경우, π이² a를₆ 나누지 않으면, 타입은 II, c=1, f=v(Δ)이다.
• 4단계. 그렇지 않은 경우, π이³ b를₈ 분할하지 않으면 타입은 III, c=2 및 f=v(Δ)-1;
• 5단계. 그렇지 않으면 π이³ b를₆ 나누지 않으면 그 종류는 IV, c=3 또는 1이고 f=v(Δ)-2이다.
• 6단계. 그렇지 않으면 좌표를 변경하여 π은 a와₁ a를₂, π은²³ a와₃ a를₄₆ 나누도록 한다.P를 다항식으로 한다.

$P(T)=T^{3}+a_{2,1}T^{2}+a_{4,2}T+a_{6,3}.}$

합치 P(T)00이 3개의 뚜렷한 루트를 갖는 경우, 타입은 I₀^*, f=v(Δ)-4, c는 1+(k in P 루트의 수)이다.

• 7단계. P가 1개의 1개의 2개의 루트를 가지고 있다면, 그 종류는 일부_ν^* ν>0, f=v(Δ)-4-10, c=2 또는 4: 이 사건을 다루는 "하위 알고리즘"이 있다.
• 8단계. P가 3중 근을 가지면 변수를 바꿔 3중 근이 0이 되도록 하여 π은² a를₂ 나누고 π은³ a를₄ 나누며, π은⁴ a를₆ 나눈다.만약

${\displaystyle Y^{2}+a_{3,2}Y-a_{6,4}$

뿌리가 뚜렷하고, 종류는 IV^*, f=v(Δ)-6이고, 뿌리가 k이면 c가 3이고, 그렇지 않으면 1이다.

• 9단계. 위의 방정식은 이중 뿌리를 가지고 있다.이중 루트가 0이 되도록 변수를 변경하십시오.그리고 나서 π은³ a를₃, π은⁵ a를₆ 나눈다.만약 π이⁴₄ a를 나누지 않으면, 타입은 III이고^* f=v(Δ)-7, c = 2이다.
• 10단계.그렇지 않으면 π이⁶ a를₆ 나누지 않으면 타입은 Ⅱ와^* f=v(Δ)-8, c = 1이다.
• 11단계.그렇지 않으면 방정식이 최소가 아니다.각 a를_n π으로ⁿ 나누고 다시 1단계로 돌아가십시오.

구현

알고리즘은 PARI/GP 컴퓨터 대수 시스템의 대수적 숫자 필드에 대해 구현되며, 타원형 함수를 통해 이용할 수 있다.

참조

• Cremona, John (1997), Algorithms for modular elliptic curves (2nd ed.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-59820-6, Zbl 0872.14041, retrieved 2007-12-20
• Laska, Michael (1982), "An Algorithm for Finding a Minimal Weierstrass Equation for an Elliptic Curve", Mathematics of Computation, 38 (157): 257–260, doi:10.2307/2007483, JSTOR 2007483, Zbl 0493.14016
• Néron, André (1964), "Modèles minimaux des variétés abèliennes sur les corps locaux et globaux", Publications Mathématiques de l'IHÉS (in French), 21: 5–128, doi:10.1007/BF02684271, MR 0179172, Zbl 0132.41403
• Silverman, Joseph H. (1994), Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves, Graduate Texts in Mathematics, vol. 151, Springer-Verlag, ISBN 0-387-94328-5, Zbl 0911.14015
• Tate, John (1975), "Algorithm for determining the type of a singular fiber in an elliptic pencil", in Birch, B.J.; Kuyk, W. (eds.), Modular Functions of One Variable IV, Lecture Notes in Mathematics, vol. 476, Berlin / Heidelberg: Springer, pp. 33–52, doi:10.1007/BFb0097582, ISBN 978-3-540-07392-5, ISSN 1617-9692, MR 0393039, Zbl 1214.14020