전보 방정식

텔레그래퍼 방정식(또는 단순히 전신 방정식)은 한 쌍의 결합된 선형 편미분 방정식으로, 전기 전송 선로의 전압과 전류를 거리와 시간으로 설명합니다.이 방정식은 1876년 8월 논문인 On the Extra ^{[1]: 66–67} Current를 시작으로 송전선 모델을 개발한 Oliver Heaviside에서 나왔습니다.이 모델은 전자파가 와이어에 반사될 수 있고 라인을 따라 파형 패턴이 형성될 수 있음을 보여줍니다.

이 이론은 직류 및 고주파를 포함한 모든 주파수의 전송선에 적용됩니다.원래 전신선을 설명하기 위해 개발된 이 이론은 무선 주파수 도체, 오디오 주파수(전화선 등), 저주파(전원선 등) 및 직류 펄스에도 적용할 수 있습니다.또한 와이어 무선 안테나를 잘린 단일 컨덕터 전송 ^{[2]: 7–10 [3]: 232} 선로로 전기적으로 모델링하는 데도 사용할 수 있습니다.

분산 컴포넌트

전기 현상을 설명하는 다른 모든 방정식과 마찬가지로 전보기의 방정식은 맥스웰의 방정식에서 비롯된다.보다 실용적인 접근방식에서는 도체가 2포트 기본 컴포넌트의 무한 시리즈로 구성되며, 각각은 전송선의 극히 짧은 세그먼트를 나타낸다고 가정합니다.

• 도체의 분산 $저항{\displaystyle }$ R$(\displaystyle$ R$)$은 직렬 저항(단위 길이당 옴으로 표시됨)으로 표시됩니다.실제 도체에서는 고주파수에서 피부 효과로 인해 R$\displaystyle$R은$$ 주파수의 제곱근에 비례하여 증가합니다.
• 배전 $인덕턴스{\displaystyle }$ $L($$와이어$ 주변 자기장, 자기유도 등으로 인해)은 직렬 인덕터(유닛 길이당 Henries)로 표시됩니다.
• 두 도체 사이의 $캐패시턴스{\displaystyle }$ C$(\displaystyle$ C$)$는 션트 캐패시터 C(유닛 길이당 패러드)로 표시됩니다.
• 2개의 도체를 분리하는 유전체 재료의 $컨덕턴스{\displaystyle }$G$(\displaystyle$ G)는$$ 신호 와이어와 리턴 와이어 사이의 션트 저항(단위 길이당 수십 개)으로 나타납니다.모델의 이 저항기의${\displaystyle }$저항은 1/$({디스플레이 스타일$ 1/G}$옴$)입니다.${\displaystyle }$G ${\displaystyle$ G$}$는 유전 손실과 유전 손실의 벌크 전도율을 모두 설명합니다.유전체가 이상적인 진공일 경우 $G{\displaystyle 0}$0 \ $displaystyle$G \ $equiv$0$$.

이 모델은 그림에 표시된 무한대의 극소수 요소로 구성되며 구성 요소의 값이 단위 길이별로 지정되므로 구성 요소의 그림이 잘못 표시될 수 있습니다.$또는{\displaystyle {}^{}}$ R$$is { $displaystyle$ R $\}$ , $L{\displaystyle {}^{}}$ ${\$ { $displaystyle$ L'$$、 C ${\$ { $displaystyle$ C$'$} $및{\displaystyle {}^{}}$ G ${\$ { $displaystyle$ G$'}$ 를$$ $사용$하여 값이 길이에 대한 파생값이며 측정 단위가 올바르게 조합됨을 강조합니다.이러한 양은 특성 임피던스, 전파 상수, 감쇠 상수 및 위상 상수 등 이들로부터 파생된 2차 라인 상수와 구별하기 위해 1차 라인 상수라고도 할 수 있습니다.이러한 모든 상수는 시간, 전압 및 전류에 대해 일정합니다.주파수의 불변함수일 수 있습니다.

다양한 컴포넌트의 역할

오른쪽 애니메이션을 기반으로 여러 구성 요소의 역할을 시각화할 수 있습니다.

인덕턴스 L

인덕턴스는 전류가 관성을 갖는 것처럼 보이게 합니다. 즉, 인덕턴스가 크면 특정 지점에서 전류 흐름을 증가시키거나 감소시키기가 어렵습니다.인덕턴스 L이 크면 가벼운 끈보다 무거운 로프를 따라 파동이 더 느리게 이동하듯이 파동이 더 느리게 움직입니다.인덕턴스가 크면 라인의 서지 임피던스도 증가합니다(같은 AC 전류를 라인을 통과하는 데 더 많은 전압이 필요합니다).

캐패시턴스 C

캐패시턴스는 각 도체 내의 뭉쳐진 전자가 다른 도체에 있는 전자를 밀어내고 끌어당기거나 우회시키는 정도를 제어합니다.이렇게 뭉쳐진 전자 중 일부를 편향시킴으로써 파동의 속도와 강도(전압)가 모두 감소합니다.캐패시턴스 C가 클수록 반발력이 줄어듭니다. 왜냐하면 다른 라인(항상 반대 전하를 가지며)은 각 도체 내에서 이러한 반발력을 부분적으로 상쇄하기 때문입니다.캐패시턴스가 클수록 복원력이 약해져 파동이 약간 느려지고 전송로에도 서지 임피던스가 낮아집니다(동일한 AC 전류를 회선에 밀어넣는 데 필요한 전압 감소).

저항 R

저항은 두 라인을 합친 내부 저항과 일치합니다.이 저항 R은 도체에 축적된 열이 라인을 따라 전압을 약간 소산하여 전류를 변경하지 않습니다.일반적으로 라인 저항은 무선 주파수에서의 유도 리액턴스 δL에 비해 매우 낮으며, 단순성을 위해 전압 소산 또는 와이어 발열을 나중에 고려하여 "손실 없는 라인" 계산에 대한 약간의 보정을 차감하거나 그냥 무시합니다.

컨덕턴스 G

라인 간의 컨덕턴스는 전류가 한 라인에서 다른 라인으로 얼마나 잘 "누출"되는지 나타내며, G가 높을수록 두 컨덕터 사이의 절연 역할을 하는 모든 것에 축적된 열로 인해 전류가 더 많이 방산됩니다.일반적으로 와이어 절연(공기 포함)은 매우 양호하며 정전용량 감도θC에 비해 컨덕턴스는 거의 아무것도 아닙니다.간단함을 위해 저주파에서 양호한 절연 재료는 매우 높은 주파수에서 "유출"되는 경우가 많습니다.

L, C, R, G의 4가지 파라미터는 모두 케이블 또는 피드라인 구축에 사용되는 재료에 의존합니다.4가지 모두 주파수에 따라 변화합니다.R과 G는 주파수가 높을수록 증가하고 L과 C는 주파수가 높아질수록 감소하는 경향이 있습니다.오른쪽 그림은 무손실 전송로를 나타내고 있습니다.여기서 R과 G는 모두 제로입니다.이것은 가장 단순하고 가장 일반적인 텔레그래퍼 방정식의 형태이지만 약간 비현실적입니다(특히 R에 대해서).

전화 케이블의 주요 파라미터 값

70°F(294K)에서 24 게이지 전화 폴리에틸렌 절연 케이블(PIC)의 대표적인 매개변수 데이터

빈도수.	R		L		G		C
Hz(헤르츠)	⁄kmkm	ft 1000 피트	μHµkm	μH10001000피트	μSµkm	μS10001,000피트	nF µkm	nF10001000피트
1Hz	172.24	52.50	612.9	186.8	0.000	0.000	51.57	15.72
1kHz	172.28	52.51	612.5	186.7	0.072	0.022	51.57	15.72
10 kHz	172.70	52.64	609.9	185.9	0.531	0.162	51.57	15.72
100 kHz	191.63	58.41	580.7	177.0	3.327	1.197	51.57	15.72
1 MHz	463.59	141.30	506.2	154.3	29.111	8.873	51.57	15.72
2 MHz	643.14	196.03	486.2	148.2	53.205	16.217	51.57	15.72
5 MHz	999.41	304.62	467.5	142.5	118.074	35.989	51.57	15.72

다른 와이어 게이지, 작동 온도 및 절연에 대한 보다 광범위한 표와 표는 리브(1995)^[4]에서 제공됩니다.Chen(2004)^[5]은 파라미터화된 형식으로 동일한 데이터를 제공하고 있으며 최대 50MHz까지 사용할 수 있다고 보고했습니다.

R$($과 L$($의 변화는 주로 피부효과와 근접효과에 기인합니다.

정전용량의 항상성은 의도적이고 신중한 설계의 결과입니다.

G의 변화는 Terman에서 추론할 수 있다: "역률 ...은 각 사이클 동안 손실된 에너지의 비율이 ...이기 때문에 주파수로부터 독립적인 경향이 있다.넓은 주파수 ^[6]범위에서 초당 사이클 수와 실질적으로 독립적입니다."$G{\displaystyle }$(${\displaystyle f}$ ) ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}^{}}$ ( ${\displaystyle {\frac{{}_{}}{}\frac{{1\mathrm{}}_{}}{}}^{}}$ )${\displaystyle {{g\mathrm{}}_{}}^{}}$e \ $displaystyle$G ( f ) =$G$_ ${1$} \ $cdot \$cdot \$fac$ { f } { f _ { f _ { }$$} \ right )^{ g _ { \$$$mathrm$ { e }$$} } ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ 、 g$e$ \ displaystyle ~$$g _ g _ { g _ {$0e$ } } }$$} 。첸은^[5] 비슷한 형태의 방정식을 제공한다.G(·)는 주파수의 함수로서의 전도율인 반면, ${\displaystyle {G1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {f1\mathrm{}}_{},{}_{}}${{$1}~f_{$1}~, 및 ${\displaystyle g_{}}$ e({$displaystyle ~g_{e}~)$는 모두 ${\displaystyle 실제{}_{}}$ 상수입니다.

이 표의 G(·)는 다음과 같이 모델링할 수 있습니다.

${\displaystyle f_{1}=1\;\mathrm {MHz} }$

$\displaystyle G_{1}=29.11\;\mathrm\{mu S/km}=8.873\;\mathrm\{1000ft}}$

${\displaystyle g_{\mathrm {e} = 0.87}$

대개 저항 손실 비율적으로 f 1/2{\displaystyle ~f^{1/2}~에}과 유전 손실 비율적으로 f에g e을}}일}, 12{\displaystyle ~g_{\mathrm{e}}을 ge{\displaystyle ~f^{g_{\mathrm{e} 자라고 높은 충분한 주파수에서{\tfrac{1}{2}}일} 그렇다면, diele 자란다.ctric손실은 저항성 손실을 초과할 것입니다.실제로는, 그 지점에 도달하기 전에, 보다 좋은 유전체를 가지는 전송로를 사용한다.장거리 강성 동축 케이블에서는 매우 낮은 유전 손실을 얻기 위해 중심 도체를 축에 유지하기 위해 일정 간격으로 고체 유전체를 플라스틱 스페이서로 공기로 대체할 수 있다.

방정식

텔레그래퍼의 공식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\frac } {\frac } {\frac } {\frac } {\frac } {\frac } {\frac } {\frac } {\frac } {\frac } {\frac = }$

두 개의 편미분 방정식을 조합하여 각각 종속 변수가 V ${\$ ${\displaystyle 또는}$ I {\$displaystyle ~I$인 두 개의 편미분 방정식을 얻을 수 있습니다.

${\displaystyle {~\frac ^{2}} {\frac x^{2}} {\frac {~\frac ^{2}} {\frac t^{2}} \ V(x,t) & =(RC+GL) \frac x^{2}} {\frac x, t} {\frac } {\frac }GR\V(x,t)\[6pt]{\frac {~\\frac ^{2}}{\frac {~\frac ^{2}}{\frac t^{2}}\I(x,t)&=(RC+GL)\frac }{{frac }GR\ I(x,t)\end {aligned}}$

종속 변수( ${\displaystyle V}${$displaystyle ~V~}$ ${\displaystyle 또는}$ I {\$displaystyle$ ~$I$를 제외하고 공식은 동일합니다.

유한 길이의 종단선에 대한 일반 솔루션

허락하다

${\displaystyle {\mathsf {in}}_{\mathsf {in}\equiv {1}{,{\sqrt {2,\pi }},}},},},\int \limits _{-\infty }{\infty}V_{\mathsf {in}(t})\mathrmathsf {{,\m},\m},\math}, t},\m,\m,\t},\t},\t},\,\,\,\,$

입력 ${\displaystyle 전압{}_{}}$ ${\displaystyle \mathrm{Vi}}$ n${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle }$t${\displaystyle }$)$$, {\$displaystyle \,V_{\mathsf {in}}(t),}$의 푸리에 변환이 됩니다. 그러면 전압 및 전류에^{[citation needed]} 대한 일반적인 해는 다음과 같습니다.

${\displaystyle V(x,t)=syslogfrac {1}{,\pi }},\int \infty _{-\infty }^{\infty}H(\mathsf {in})_{\mathsf {in}(\mathsf {in}},\mathmathsf {{\mathf},\mathf},\mathf},mathf {{{{\m}}},}, mathf}, mathf}, mathf}, mathf}, math$

그리고.

${\displaystyle I(x,t)=-{\frac {1}{,{\fracrt {2,\pi }},}},\int \infty _{-\infty }{\frac {1}{,Z'},},{\frac {,\frac H(\ope H(\ope,x)},x},\hat}, {\hat},\hat},},},$

${\displaystyle {I\mathsf{}}_{}}$${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$^ ${\displaystyle {\mathsf{i}}_{}}$n ( ${\displaystyle )}$) { $displaystyle$} { $\ hat$ { I } _ { \ mathsf { $in$} } , { \ $displaystyle$} , { \ $mathsf${ $in$} ( $t$) ,$$} 、 ${\displaystyle V}$ ^ ${\displaystyle {\mathsf{i}}_{}}$$n$(${\displaystyle }$)$$) { ${\displaystyle \mathrm{style}}$ } { \ mathsf { $display$} } { $hat }$ } 、

${\displaystyle H(\ofa,x)\equiv {\frac \left[,\ell -x),{\sqrt {Z',Y',}\right}+{\frac {,{\sqrt {Z'/,Y'}},{Z_{\mathf {\sin},\h},\h},;}{\cosh \left[,\ell \,{\sqrt {Z',Y',}\;\right]+{\frac {,{\sqrt {Z'/,Y'}}}{Z_{\mathsf {T}}}}},\h \left {\ell\,\qrt},Y}},}}$

회선의 전송 함수입니다.

$\displaystyle Z'\equiv R+j\Omega\,L}$

단위 길이당 직렬 임피던스 및

$\displaystyle Y'\equiv G+j,\Omega,C}$

단위 길이당 션트 어드미턴스(분로 임피던스의 약산).${\displaystyle 파라미터}$ ${\(\$~)는 라인의 총 길이를 ${\displaystyle 나타내며}$ x(\$displaystyle$",$x,)$는 라인을 따라 임의의 중간 위치를 지정합니다.${\displaystyle {Z\mathsf{}}_{}}$ T$디스플레이$ 스타일,$Z_{\mathsf {T})$는 전기 종단 임피던스입니다.

끝(파선)이 ${\displaystyle 없으면{}_{}}$ Z T ${\displaystyle {T\mathsf{}}_{}{}_{}}${\$displaystyle ~Z_{\mathsf {T}}~}$는 무한하며, 전달함수 $x )$의 분자 및 분모에서 ${\displaystyle \sinh }$ $}$ {\$displaystyle$$~\$$sinh$~} 항이$$$$ 사라지며$,$ z가 완전히 접지된 경우($짧은$ 선)입니다$.$${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle \,Z_{\mathsf$ {T$}}}$은(는) 0이고 ${\$ ${\$displaystyle ~\$cosh$~} 항은 사라집니다$.$

표기법에 관한 비고

이 문서의 다른 섹션과 마찬가지로 공식은 보조 매개변수를 사용하여 다소 간결하게 만들 수 있습니다.

${\displaystyle Z_{\mathsf {o}\equiv {\frac {Z'}{,Y'}}}}\qquad \qquad \equiv \mathsf {and}\qquad \gamma \equiv \sqrt {Z',Y';},}},$

H${\displaystyle (x}$ ,${\displaystyle }$x${\displaystyle }$)의 ${\displaystyle 정의}$에 명시적으로 기술된 곱과 비율 제곱근 인자를 대체합니다$.$ {\$displaystyle ~H(\omega$,$x)~$$}$

위에서 사용된 푸리에 변환은 대칭 버전입니다. 같은 계수가 1, ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{}}$ ${\displaystyle \frac{†\sqrt{}}{}}$ ${\tfrac {1}{,{\sqrt {2,\$pi ${,}}},}},}},}},},},},},},},},},},},},},},},},},}$입니다.이는 필수는 아닙니다.다른 버전의 푸리에 변환을 사용하여 곱이 12µ로 유지되도록 계수를 ${\displaystyle \frac{적절히\mathrm{}}{}\frac{}{}\frac{저글링할}{}}$ 수 있습니다$.\displaystyle ~{\tfrac {1}{,2,\pi }}~}.$

무손실 전송

${\displaystyle l}$ L${\displaystyle r}$R \ $display$ style ~ \ $omega$ L$\$$gg$ R$$~$$ C${\displaystyle g}$G$$g res C , G 、 {\ C$g$ G$$、 $wire$ C \ g g G 、 wire$$ wire wire res res res res res res res res res res res res res res res res res res res res res res res res res res res res res res res res res res res 、 \ display stylear l이 경우 모델은 L 및 C 요소에만 의존합니다.그런 다음 전보기의 방정식은 전송 라인을 따라 전압 V와 전류 I 사이의 관계를 설명합니다. 각 값은 위치 x 및 시간 t의 함수입니다.

${\displaystyle V=V(x,t)}$

${\displaystyle I=I(x,t)}$

무손실 전송로의 방정식

방정식 자체는 결합된 1차 편미분 방정식 쌍으로 구성됩니다.첫 번째 방정식은 유도전압이 케이블 인덕턴스를 통한 전류의 시간 변화율과 관련이 있음을 나타내고, 두 번째 방정식은 마찬가지로 케이블 캐패시턴스에 의해 도출되는 전류가 전압의 시간 변화율과 관련이 있음을 나타냅니다.

$(\displaystyle\frac V\;\partial x\;}=-L{\frac I}{\;\partial t\;})$

$(\displaystyle\frac I\;\partial x\;}=-C{\frac V}{\;\partial t\;})$

텔레그래퍼 방정식은 다음과 같은 참고 문헌에서 유사한 형태로 개발되었다: Kraus(1989),^{[7]: 380–419} Hayt(1989),^{[8]: 382–392} Marshall(1987),^{[9]: 359–378} Sadiku(1989),^{[10]: 497–505} Harrington(1961),^{[11]: 61–65} Karakash(1950),^{[12]: 5–14} Metzger & Vabre(1969).^{[13]: 1–10}

이러한 방정식을 조합하여 전압 V용과 전류 I용 두 개의 정확한 파형 방정식을 구성할 수 있습니다.

${\displaystyle ~{\frac ^{2}V{\partial t}^{2}-u^{2}{\frac {\partial x}^{2}=0~}$

$\displaystyle ~\frac ^{2}I}{\partial t}^{2}}-u^{2}{\frac {\partial ^{2}I}{{\partial x}^{2}}=0~}$

어디에

${\displaystyle ~u=flac {1} {\;\flcrt {LC\;}}}\;}~}$

전송선을 통과하는 파도의 전파 속도입니다.진공이 있는 병렬 완전 도체로 구성된 전송 라인의 경우 이 속도는 빛의 속도와 같습니다.

사인파 정상 상태

정현파 정상 상태의 경우(즉, 순수한 정현파 전압이 인가되고 과도현상이 멈춘 경우) 전압과 전류는 단일 톤 사인파의 형태를 취합니다.

${\displaystyle V(x,t)~={\mathcal {Re}}\;{\Bigl \{}\;V(x)\cdot e^{j\omega t}\;{\Bigr \}~}}$

${\displaystyle I(x,t)~=~{\mathcal {Re}}\;{\Bigl \{}\;I(x)\cdot e^{j\omega t}\;{\Bigr \}}~,}$

여기서$\delta {\displaystyle }$(\$displaystyle \omega)$는 정상 상태의 파형의 각 주파수입니다.이 경우, 텔레그래퍼의 방정식은 다음과 같이 감소합니다.

$({displaystyle {\frac {d} V} {\;\mathrm {d} x\;}} =-j\o메가 LI=-L{\frac {d} I} {\;\mathrm {d} t\;} )$

${\displaystyle {\mathrm {d} I\;}{\mathrm {d} x}}=-j\Omega CV=-C{\frac {d}V}{\;\mathrm {d} t\;}}$

마찬가지로, 파동 방정식은 다음과 같이 감소합니다.

${\displaystyle\frac{d}^{2}V\;}{\mathrm {d}x^{2}}+k^{2}}V=0~}$

$\displaystyle\frac\mathrm{d}^{2}I\;}{\mathrm {d}x^{2}}+k^{2}}I=0~}$

여기서 k는 파형 번호입니다.

${\displaystyle ~k=\Omega {LC\;}=오메가 \over u}~}$

이 두 방정식은 각각 1차원 헬름홀츠 방정식의 형태이다.

무손실의 경우, 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

${\displaystyle V(x)=V_{1}e^{-jkx}+V_{2}e^{+jkx}}$

그리고.

$\displaystyle I(x)={V_{1} \over Z_{0},e^{-jkx}-{V_{2} \over Z_{0},e^{+jkx}}$

${\displaystyle k}${ $displaystyle ~k$~}는$$ 주파수에 따라 달라지는 ${\displaystyle 실수량{}_{}}$, ${\displaystyle {Z\mathrm{}}_{}{}_{}}$0 { $displaystyle ~Z_{0}~}$은 전송로의 특성 임피던스입니다.무손실 라인의 경우 다음과 같이 표시됩니다.

${{displaystyle ~Z_{0}={L \over C}\;}~}$

${\displaystyle {및\mathrm{}}_{}{}_{}}$V 1({$displaystyle ~V_{1}~)$ ${\displaystyle 및}$ ${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$ 2$displaystyle ~V_{2}~)$는 두 가지 경계 조건(전송 라인의 양 끝에 하나씩)에 따라 결정되는 임의의 적분 상수입니다.

이 임피던스는 라인의 단면 지오메트리가 일정하게 유지되는 한 L과 C는 라인의 어느 점에서나 일정하기 때문에 라인의 길이에 따라 변경되지 않습니다.

무손실선과 무왜곡선은 사디쿠(1989년)^{[10]: 501–503} 와 마셜(1987년)^{[9]: 369–372} 에서 논한다.

무손실 사례, 일반 솔루션

무손실(${\displaystyle R}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle 0}$ ${\$의 경우 전압에 대한 파형 방정식의 가장 일반적인 해는 정방향 진행파와 역방향 진행파의 합입니다.

${\displaystyle ~V(x,t),=,f_{1}(x-u,t)+f_{2}(x+u,t)~}$

어디에

• ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ 1$displaystyle\,f_{1},})$과 f${\displaystyle {}_{}}{\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$({$displaystyle\,f_{2},})$는 임의의 2개의 해석함수가 될 수 있습니다.
• ${\displaystyle \mathrm{u}}$ ${\displaystyle =}$1/${\displaystyle \sqrt{L}}$ C${\displaystyle (\{\sqrt{}}$style $\display$ \$u=$1/{\$displayrt {LC,}}})$는 파형의 전파 속도입니다(위상 속도라고도 함).

f는₁ 양의 x 방향으로 왼쪽에서 오른쪽으로 이동하는 파형의 진폭 프로파일을 나타내고₂ f는 오른쪽에서 왼쪽으로 이동하는 파형의 진폭 프로파일을 나타냅니다.라인상의 임의의 점x에서의 순간전압은 양쪽 파동에 의한 전압의 합계임을 알 수 있습니다.

전보기의 방정식에 의해 주어진 전류 I와 전압 V 관계를 사용하여, 우리는 쓸 수 있다.

${\displaystyle I(x,t),=,{\frac{1}(x-u,t)\;}{Z_{0}}-{\frac {{2}(x+u,t)\;}{Z_{0}}~}$

손실 전송 선로

손실 ${\displaystyle 요소}$R {\$displaystyle ~R~}$ 및$$$$ {\$displaystyle ~G~}$가 무시할 수 없을 정도로 큰 경우, 라인의 기본 세그먼트를 설명하는 미분 방정식은 다음과 같습니다.

$\displaystyle {\frac } {\frac x\;\frac} {\frac t\;} {\;\frac t\;} {\;\frac t\;}-R, I(x,t)~,\[6pt] {\frac} {\frac}\end { aligned}}$

x와 일부 대수에 대한 두 방정식을 미분함으로써, 우리는 각각 미지의 한 쌍만을 포함하는 쌍곡선 편미분 방정식을 얻는다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{\partial ^{2}}{\,{\partial)}^{2}\,}}V&, ~=~L\,C\,{\frac{\partial ^{2}}{\,{\partial지}^{2}\,}}V+\left(\,R\,C+G\,L\,\right)\,{\frac{\partial}{\,\partial t\,}}V+G\,R\,V~,\\[6pt]{\frac{\partial ^{2}}{\,{\partial)}^{2}\,}}I&, ~=~L\,C\,{\frac{\partial ^{2}}{\,{\partial지}^{2}\,}}I+\left(\,R\,C+G\,L\,\righ.t=\,{\frac {\partial }{,\partial t,}}I+G,R,I~.\\\end {aligned}}$

이러한 방정식은 V와 I 및 그 첫 번째 도함수에 추가 항이 있는 균질파 방정식과 유사합니다.이러한 추가 항에 의해 신호가 감쇠하고 시간과 거리에 따라 확산됩니다.전송 라인이 약간 손실된 경우($R$ ${\displaystyle \ll }$ ${\displaystyle L}$\ displaystyle $~ R$ \ $ll$\$Omega$ L$$~ ${\displaystyle g}$ G$c$C \ displaystyle ~$G$ \$ll$ \ $Omega$ C$$~ $$) 신호 강도는 거리에 ${\displaystyle 따라{}^{}}$ e -${\displaystyle }$${\displaystyle {\alpha }^{}{}^{}}$x \ $displaystyle$~ $e^$ { - \ \ $alpha$${\displaystyle \frac{{}_{}}{}}$$、$x } ${\displaystyle \frac{Z{}_{}}{}}$ + })처럼$$ ${\displaystyle \frac{감소}{}}$합니다.$pha ~\approx ~{\frac {R}{,2,Z_{0},}}+{\frac {,G,Z_{0},}{2}}~}$

신호 패턴의 예시

전신방정식의 파라미터에 따라 1차원 전송매체의 길이에 따른 신호레벨 분포의 변화는 단순파, 감소파 또는 전신방정식의 확산양태의 형태를 취할 수 있다.확산 패턴의 모양은 션트 캐패시턴스의 영향으로 발생합니다.

안테나

첫 번째 근사에서는 얇은 안테나 내의 전류가 분배된다.
송전선로랑 똑같아요- 셸쿠노프와 프리즈(1952)^{[3](p 217 (§8.4))}

안테나 소자의 도체는 단일 컨덕터 전송선에 근접하기 때문에 계산기기가 ^[3]보편화되기 전인 20세기 전반에서 흔히 행해졌던 것처럼 텔레그래퍼 방정식을 사용하여 안테나 전류를 분석할 수 있습니다.

회로 성분으로서의 전신기 방정식의 해

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전신기 방정식의 해는 회로에 구성요소로 직접 삽입할 수 있습니다.위 그림의 회로는 전보 ^[15]방정식의 해법을 구현합니다.

하단 회로는 소스 ^[16]변환에 의해 상단 회로에서 파생됩니다.그것은 또한 전보기의 방정식의 해법을 구현한다.

텔레그래퍼 방정식의 해는 다음과 같은 정의 방정식을 사용하여 ABCD 유형의 2포트^{[12]: 44} 네트워크로 표현할 수 있습니다.

$디스플레이 스타일V_{1}&=V_{2}\cosh(\gamma x)+I_{2}Z_{\mathsf {o}}\sinh(\gamma x)~,\\I_{1}&=V_{2}{\frac {1}{Z_{\mathsf {o}}}}}\sinh(\synh(\synh)+I_{2}\cosh(\gamma x)~\\\end {aligned}}$

어디에

${\style Z_{\mathsf {o}}\equiv {\sqrt {\frac}\;R_{\obega}+j,\obega, L_{\obega}\;}{G_{\obega}+j,\obega,C_{\obega}}\;,}$

그리고.

$\displaystyle \gamma \equiv \sqrt \left ( , R _ { \ 메가 } + j , \ right ) \ left ( , G _ { \ 메가 } + j , C _ { \ 메가 } , \ right ) \;}}\;,}$

앞의 항과 같이.회선 파라미터_ω R, L_ω, G_ω 및_ω C는 주파수의 함수가 될 수 있음을 강조하기 위해 to가 붙습니다.

ABCD 유형의 2포트는 ${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle (\{{}_{}}$$displaystyle$$\,$$V_{1},})$ 및 ${\displaystyle {I\mathrm{}}_{}}$ 1$displaystyle\,I_{1},})$의 함수로 V ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$({$displaystyle$\,$V_{2$},})과 ${\displaystyle {I\mathrm{}}_{}}$ 2$.{displaystyle\,I_{2}\;})$을 ${\displaystyle 제공}$합니다.$$ 전압과 전류 관계는 대칭입니다.${\displaystyle {위}_{}}$의 두 방정식은 V $displaystyle$\,$V_{2},})$와 ${\displaystyle {I\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$${\displaystyle (\{{}_{}}$displaystyle$\,$V_${$$2$},})의 함수로 V${\displaystyle {}_{}}$1$displaystyle\,V_{1},)$과 I 2(\$displaystyle\,I_{2$},})에 대해 풀었을 때 단순히 "1"과 "1"과 "2"을 반대로 하여 정확히 동일한 관계를 산출합니다.$\displaystyle \,\sinh \,}$개의$$ 항이 음수("1"→"2" 방향은 "1"←"2"로 반전되므로 부호가 변경됩니다.)

하부 회로에서는 포트 전압을 제외한 모든 전압이 접지에 대한 것이며 차동 증폭기는 표시되지 않은 접지와의 연결이 있습니다.이 회로에 의해 모델링된 전송로의 예로는 전화 회선과 같은 균형 잡힌 전송 회선이 있습니다.임피던스_o Z(s), 전압 의존 전류원(VDCS) 및 차분 증폭기(번호 "1"의 삼각형)는 전송 라인과 외부 회로의 상호작용을 설명합니다.T(s) 블록은 지연, 감쇠, 분산 및 전송 중인 신호에 발생하는 모든 현상을 설명합니다."T(s)"라고 표시된 블록 중 하나는 전진파를 전달하고 다른 하나는 후진파를 전달한다.표시된 회로는 완전한 대칭이지만, 그리지는 않습니다.표시된 회로는 V $디스플레이$ 스타일, V_{1}, V${\displaystyle {}_{}}{\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$($디스플레이$ 스타일$,$ $V_{2$$},$$$V 2), ${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}{}_{}}$2($디스플레이$ 스타일, $V_{$1$},$ ${\displaystyle V{}_{}}$ 1(디스플레이 스타일, $V_{2},$ $),$ ${\displaystyle {I\mathrm{}}_{}}$ 1$디스플레이$ 스타일, V_{$1},$ I)에 ${\displaystyle 연결}$된 전송 라인과 동일합니다.$e$",$I_{2},}$은(는) 이 회로가 V $display$ style \,$V_{1},}$과(와) ${\displaystyle {V\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle ({}_{}}$와) ${\displaystyle 사이}$에 접속되어 있는지 여부에 관계없이 동일합니다$.{displaystyle$\,$V_{2}\;}$ 전송선 내부에 실제로 증폭기가 있다는 의미는 없습니다.

모든 2선 또는 평형 전송선에는 실드, 시스, 공통, 접지 또는 접지라고 하는 암묵적인(또는 경우에 따라서는 명시적인) 세 번째 와이어가 있습니다.따라서 모든 2-와이어 균형 전송 선로에는 명목상 차동 모드와 공통 모드라고 불리는 두 가지 모드가 있습니다.하단 다이어그램에 표시된 회로는 차동 모드만 모델링할 수 있습니다.

탑회로는 전압배율기, 차동증폭기 및 임피던스Z가_o 외부회로와의 상호작용을 설명한다.그림과 같이 이 회로도 완전 대칭이며 그리지도 않습니다.이 회로는 동축 케이블 또는 마이크로스트립 선로와 같은 불균형 전송 선로에 유용한 등가입니다.

다음 항목은 고유하지 않습니다.다른 동등한 회로도 가능합니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 도선상의 신호 반사
• 제곱법칙, 켈빈 경의 이 주제에 대한 예비 연구

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