톰슨 문제

톰슨 문제의 목적은 쿨롱의 법칙에 의해 주어진 힘으로 서로를 밀어내는 단위 구 표면에 구속되는 N 전자의 최소 정전기 전위 에너지 구성을 결정하는 것이다. 물리학자인 J. J. 톰슨은 중성적으로 충전된 원자 안에 음전하가 있는 전자가 존재한다는 그의 지식을 바탕으로 나중에 매실 푸딩 모델이라고 불리는 원자 모델을 제안한 후 1904년에^[1] 이 문제를 제기했다.

관련 문제에는 최소 에너지 구성의 기하학적 연구와 최소 에너지의 큰 N 거동에 대한 연구가 포함된다.

수식문

톰슨 문제가 구현한 물리적 체계는 수학자 스티브 스마일(Steve Smale)이 제안한 18개의 미해결 수학 문제 중 하나인 "2-sphere의 점 분포"^[2]의 특수한 경우다. 각 N-전자 문제의 해결책은 단위 반지름의 구 표면, ${\displaystyle \mathrm{r}}$= 1 ${\displaystyle r=1}$에 제약된 N-전자 구성이$$전지구 정전기 에너지 최소값인 $U{\displaystyle }$(${\displaystyle N}$ )${\displaystyle U(N)}$을 산출할 때 얻어진다$.$

동일한 전하의 각 전자 쌍(${\displaystyle {ei}_{}}$= ${\displaystyle e_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle e}${\$displaystyle e_{i}=e_{j}=e$ $e$ ${\displaystyle e})$ 사이에 발생하는 정전기 상호작용 에너지는 쿨롱의 법칙에 의해 주어진다.

${\displaystyle U_{ij}(N)=k_{e}{e_{e}{e}{e_{j} \over r_{ij}}.}$

Here, ${\displaystyle k_{e}}$ is Coulomb's constant and ${\displaystyle r_{ij}= \mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j} }$ is the distance between each pair of electrons located at points on the sphere defined by vectors ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ and ${\$$디스플레이$ 스타일 $\mathbf {r} _{j$

$e{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle e=1}$ 및$$ $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k_{e}=1}$의 단순화된 단위를 일반성의 손실 없이 사용한다$$. 그러면

${\displaystyle U_{ij}(N)={1 \over r_{ij}}.}$

각 N-전자 구성의 총 정전기 전위 에너지는 모든 쌍-현상 상호작용의 합으로 표현될 수 있다.

${\displaystyle U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}.}$

가능한 모든 N 구별점 모음에 $대한$ U${\displaystyle }$( ${\displaystyle N}$) ${\displaystyle U(N)}$의 글로벌 최소화는 일반적으로 수치 최소화 알고리즘에 의해 확인된다.

예

두 전자에 대한 Thomson 문제의 해결책은 두 전자가 원점의 반대편에서 가능한 멀리 떨어져 있을 때 얻는다. $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}{j}_{}}$ = ${\displaystyle 2r}$ = ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle r_{ij}=2r=2$}$$또는

${\displaystyle U(2)={1 \over 2.}$

알려진 솔루션

최소 에너지 구성은 소수의 사례에서만 엄격하게 식별되었다.

• N = 1의 경우, 전자가 단위 구 표면의 어느 지점에 있을 수 있기 때문에 용액은 사소한 것이다. 구성의 총 에너지는 전자가 다른 전하 공급원으로 인해 전기장의 영향을 받지 않기 때문에 0으로 정의된다.
• N = 2의 경우 최적 구성은 반향점에서의 전자로 구성된다.
• N = 3의 경우, 전자는 큰 원을 중심으로 한 정삼각형의 정점에 위치한다.^[3]
• N = 4의 경우, 전자는 일반 사면체의 정점에 위치한다.
• N = 5의 경우 2010년에 삼각형 dipyramid의 정점에 전자가 상주하면서 수학적으로 엄격한 컴퓨터 보조 솔루션이 보고되었다.^[4]
• N = 6의 경우, 전자는 정규 팔면체의 정점에 위치한다.^[5]
• N = 12의 경우, 전자는 정규 이코사면체의 정점에 위치한다.^[6]

N = 4, 6, 12 전자에 대한 톰슨 문제의 기하학적 해결책은 얼굴이 일치 삼각형인 플라토닉 고형분이다. N = 8과 20에 대한 수치 해법은 얼굴이 각각 정사각형과 오각형인 나머지 두 플라토닉 고형물의 일반적인 볼록 다면 구성이 아니다.^{[citation needed]}

일반화

또한 임의의 전위와 상호작용하는 입자의 지상 상태를 요구할 수 있다. 수학적으로 정확성을 기하려면 f를 감소하는 실제 값 함수로 하고 에너지 기능i < f ( - j $){\displaystyle \sum _{i}f(x_{i}-x_{j}$ )}를 정의한다$.$

${\displaystyle \mathrm{전통적}}$으로 $f{\displaystyle (}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle {\alpha }^{}}$ ${\$$^{-\alpha }}}$라고도 한다. 통합형 Riesz 커널은 1972년작 Landkof를 참고한다.^[7] 통합되지 않는 리에즈 커널에 대해서는 파피씨드 베이글 정리가 유지된다. 하딘과 사프의 2004년 작품을 보라.^[8] 주목할 만한 예는 다음과 같다.^[9]

• α = ∞, Tammes 문제(패킹);
• α = -1, Thomson 문제;
• α = 0으로, 후기에는 왜테 문제로 알려진 거리의 산물을 최대화한다.
• α = 1 : 최대 평균 거리 문제

또한 더 높은 차원의 영역에 대한 N 점의 구성을 고려할 수 있다. 구면 설계를 참조하십시오.

솔루션 알고리즘

이 문제에는 몇 가지 알고리즘이 적용되었다. 천년 이래의 초점은 무작위 보행은 다음과 같은 외관을 만들었지만 에너지 기능에 적용되는 국소 최적화 방법에 맞춰져 왔다.^[9]

• 제한된 글로벌 최적화(Altschooler et al. 1994),
• 가장 가파른 내리막길(Claxton and Benson 1966, Erber and Hockney 1991),
• 무작위 보행(Weinrach et al. 1990),
• 유전자 알고리즘(Morris et. al 1996)

다른 과학 문제와의 관계

톰슨 문제는 동일한 양의 배경 전하가 없는 톰슨의 자두 푸딩 모델의 자연스러운 결과물이다.^[10]

실험적인 증거가 톰슨의 매실 푸딩 모델을 완전한 원자 모델로 포기하게 만들었지만, 톰슨 문제의 수학적 에너지 솔루션에서 관찰된 불규칙성은 원소의 주기율표 전체에 걸쳐 자연적으로 발생하는 원자의 전자 껍질 채우기(electron fell-filling)와 일치하는 것으로 밝혀졌다.^[12]

톰슨 문제는 또한 폴 트랩에 갇힌 액체 금속 방울의 표면 순서와 다중 전자 거품을 포함한 다른 물리적 모델의 연구에도 역할을 한다.

예를 들어 일반화된 톰슨 문제는 구형 바이러스의 껍질을 구성하는 단백질 서브유닛의 배열을 결정하는 데 발생한다. 이 응용 프로그램의 "입자"는 껍질 위에 배열된 단백질 서브유닛의 군집이다. 그 밖의 실현에는 콜로라도솜에 콜로이드 입자의 규칙적인 배열, 약물, 영양소 또는 살아있는 세포와 같은 활성 성분의 캡슐화를 위해 제안된 것, 탄소 원자의 풀렌 패턴, VSEPR 이론 등이 포함된다. 장거리 로그 상호작용의 예는 아브리코소프 항체(Abrikosov vortice)에 의해 제공되며, 이 항체는 중앙의 큰 단극이 있는 초전도 금속 껍질에서 저온에서 형성된다.

알려진 가장 작은 에너지의 구성

다음 표에서 $N{\displaystyle }$ ${\displaystyle N}$은(는) 구성의 점(Charges), E ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}${\$displaystyle E_{$1}은$$ $에너지$, 대칭 유형은 Shön파리 표기법(3차원의 점 그룹 참조), ${\displaystyle r_{}}$ i ${\$은 전하 위치다. 대부분의 대칭 형식은 위치의 벡터 합(따라서 전기 쌍극자 모멘트)이 0이 되도록 요구한다.

점의 볼록한 선체에 의해 형성된 다면체도 고려하는 것이 관례다. 따라서 v ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 주어진 에지 수가 만나는 정점수, e ${\displaystyle e}$은(는) 총 $에지{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {수\mathrm{}}_{}}$,$$f 3 {\$displaystyle$ f_${3}}$은 삼각면 수, ${\displaystyle {f\mathrm{}}_{}}$ 4$${\$displaystyle f_{$4$$}}는 정사각형 면의 수, ${\displaystyle {\theta \mathrm{}}_{}}$ 1 ${\$displaystytime \displaystyption styone \down \data.$theta _{1$}는 가장 가까운 전하 쌍과 관련된 벡터로 하위화된 가장 작은 각도다$$. 일반적으로 가장자리 길이가 같지 않으므로(N = 2, 3, 4, 6, 12 및 지질 다면체 제외) 볼록 선체는 마지막 열에 나열된 수치와 위상적으로만 동일하다.^[13]

N	${\displaystyle E_{1}.$	대칭	${\displaystyle \left \sum \mathbf {r} _{i}\오른쪽 }$	${\displaystyle v_{3}}$	${\displaystyle v_{4}}$	${\displaystyle v_{5}}$	${\displaystyle v_{6}}$	${\displaystyle v_{7}}$	${\displaystyle v_{8}}$	$(\displaystyle e}$	${\displaystyle f_{3}}$	${\displaystyle f_{4}}$	${\displaystyle \theta _{1}.$	등가 다면체
2	0.500000000	${\displaystyle D_{\inful h}}$	0	–	–	–	–	–	–	2	–	–	180.000°	디건
3	1.732050808	${\displaystyle D_{3h}}$	0	–	–	–	–	–	–	3	2	–	120.000°	삼각형의
4	3.674234614	${\디스플레이 스타일 T_{d}}$	0	4	0	0	0	0	0	6	4	0	109.471°	사면체
5	6.474691495	${\displaystyle D_{3h}}$	0	2	3	0	0	0	0	9	6	0	90.000°	삼각 디피라미드
6	9.985281374	${\displaystyle O_{h}}$	0	0	6	0	0	0	0	12	8	0	90.000°	팔면체
7	14.452977414	${\displaystyle D_{5h}}$	0	0	5	2	0	0	0	15	10	0	72.000°	오각형 쌍극상
8	19.675287861	${\displaystyle D_{4d}}$	0	0	8	0	0	0	0	16	8	2	71.694°	사각 반감
9	25.759986531	${\displaystyle D_{3h}}$	0	0	3	6	0	0	0	21	14	0	69.190°	3중 삼각 프리즘
10	32.716949460	${\displaystyle D_{4d}}$	0	0	2	8	0	0	0	24	16	0	64.996°	길쭉한 사각 디피라미드
11	40.596450510	${\displaystyle C_{2v}}$	0.013219635	0	2	8	1	0	0	27	18	0	58.540°	가장자리가 깔린 이도사면체
12	49.165253058	${\displaystyle I_{h}}$	0	0	0	12	0	0	0	30	20	0	63.435°	이코사헤드론 (지오데틱 구 {3,5+})1,0
13	58.853230612	${\displaystyle C_{2v}}$	0.008820367	0	1	10	2	0	0	33	22	0	52.317°
14	69.306363297	${\displaystyle D_{6d}}$	0	0	0	12	2	0	0	36	24	0	52.866°	회전 육각 디피라미드
15	80.670244114	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	3	0	0	39	26	0	49.225°
16	92.911655302	$T}$	0	0	0	12	4	0	0	42	28	0	48.936°
17	106.050404829	${\displaystyle D_{5h}}$	0	0	0	12	5	0	0	45	30	0	50.108°	쌍곡선 오각형 쌍곡선
18	120.084467447	${\displaystyle D_{4d}}$	0	0	2	8	8	0	0	48	32	0	47.534°
19	135.089467557	${\displaystyle C_{2v}}$	0.000135163	0	0	14	5	0	0	50	32	1	44.910°
20	150.881568334	${\displaystyle D_{3h}}$	0	0	0	12	8	0	0	54	36	0	46.093°
21	167.641622399	${\displaystyle C_{2v}}$	0.001406124	0	1	10	10	0	0	57	38	0	44.321°
22	185.287536149	${\디스플레이 스타일 T_{d}}$	0	0	0	12	10	0	0	60	40	0	43.302°
23	203.930190663	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	11	0	0	63	42	0	41.481°
24	223.347074052	$O}$	0	0	0	24	0	0	0	60	32	6	42.065°	정육면체를 잘라내다
25	243.812760299	${\displaystyle C_{s}}$	0.001021305	0	0	14	11	0	0	68	44	1	39.610°
26	265.133326317	${\displaystyle C_{2}}$	0.001919065	0	0	12	14	0	0	72	48	0	38.842°
27	287.302615033	${\displaystyle D_{5h}}$	0	0	0	12	15	0	0	75	50	0	39.940°
28	310.491542358	$T}$	0	0	0	12	16	0	0	78	52	0	37.824°
29	334.634439920	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	17	0	0	81	54	0	36.391°
30	359.603945904	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	18	0	0	84	56	0	36.942°
31	385.530838063	${\displaystyle C_{3v}}$	0.003204712	0	0	12	19	0	0	87	58	0	36.373°
32	412.261274651	${\displaystyle I_{h}}$	0	0	0	12	20	0	0	90	60	0	37.377°	펜타키스 도데면체 (지오데틱 구 {3,5+})1,1
33	440.204057448	${\displaystyle C_{s}}$	0.004356481	0	0	15	17	1	0	92	60	1	33.700°
34	468.904853281	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	22	0	0	96	64	0	33.273°
35	498.569872491	${\displaystyle C_{2}}$	0.000419208	0	0	12	23	0	0	99	66	0	33.100°
36	529.122408375	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	24	0	0	102	68	0	33.229°
37	560.618887731	${\displaystyle D_{5h}}$	0	0	0	12	25	0	0	105	70	0	32.332°
38	593.038503566	${\displaystyle D_{6d}}$	0	0	0	12	26	0	0	108	72	0	33.236°
39	626.389009017	${\displaystyle D_{3h}}$	0	0	0	12	27	0	0	111	74	0	32.053°
40	660.675278835	${\디스플레이 스타일 T_{d}}$	0	0	0	12	28	0	0	114	76	0	31.916°
41	695.916744342	${\displaystyle D_{3h}}$	0	0	0	12	29	0	0	117	78	0	31.528°
42	732.078107544	${\displaystyle D_{5h}}$	0	0	0	12	30	0	0	120	80	0	31.245°
43	769.190846459	${\displaystyle C_{2v}}$	0.000399668	0	0	12	31	0	0	123	82	0	30.867°
44	807.174263085	${\displaystyle O_{h}}$	0	0	0	24	20	0	0	120	72	6	31.258°
45	846.188401061	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	33	0	0	129	86	0	30.207°
46	886.167113639	$T}$	0	0	0	12	34	0	0	132	88	0	29.790°
47	927.059270680	${\displaystyle C_{s}}$	0.002482914	0	0	14	33	0	0	134	88	1	28.787°
48	968.713455344	$O}$	0	0	0	24	24	0	0	132	80	6	29.690°
49	1011.557182654	${\displaystyle C_{3}}$	0.001529341	0	0	12	37	0	0	141	94	0	28.387°
50	1055.182314726	${\displaystyle D_{6d}}$	0	0	0	12	38	0	0	144	96	0	29.231°
51	1099.819290319	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	39	0	0	147	98	0	28.165°
52	1145.418964319	${\displaystyle C_{3}}$	0.000457327	0	0	12	40	0	0	150	100	0	27.670°
53	1191.922290416	${\displaystyle C_{2v}}$	0.000278469	0	0	18	35	0	0	150	96	3	27.137°
54	1239.361474729	${\displaystyle C_{2}}$	0.000137870	0	0	12	42	0	0	156	104	0	27.030°
55	1287.772720783	${\displaystyle C_{2}}$	0.000391696	0	0	12	43	0	0	159	106	0	26.615°
56	1337.094945276	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	44	0	0	162	108	0	26.683°
57	1387.383229253	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	45	0	0	165	110	0	26.702°
58	1438.618250640	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	46	0	0	168	112	0	26.155°
59	1490.773335279	${\displaystyle C_{2}}$	0.000154286	0	0	14	43	2	0	171	114	0	26.170°
60	1543.830400976	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	48	0	0	174	116	0	25.958°
61	1597.941830199	${\displaystyle C_{1}.$	0.001091717	0	0	12	49	0	0	177	118	0	25.392°
62	1652.909409898	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	50	0	0	180	120	0	25.880°
63	1708.879681503	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	51	0	0	183	122	0	25.257°
64	1765.802577927	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	52	0	0	186	124	0	24.920°
65	1823.667960264	${\displaystyle C_{2}}$	0.000399515	0	0	12	53	0	0	189	126	0	24.527°
66	1882.441525304	${\displaystyle C_{2}}$	0.000776245	0	0	12	54	0	0	192	128	0	24.765°
67	1942.122700406	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	55	0	0	195	130	0	24.727°
68	2002.874701749	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	56	0	0	198	132	0	24.433°
69	2064.533483235	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	57	0	0	201	134	0	24.137°
70	2127.100901551	${\displaystyle D_{2d}}$	0	0	0	12	50	0	0	200	128	4	24.291°
71	2190.649906425	${\displaystyle C_{2}}$	0.001256769	0	0	14	55	2	0	207	138	0	23.803°
72	2255.001190975	$(\displaystyle I}$	0	0	0	12	60	0	0	210	140	0	24.492°	지오데틱 구 {3,5+}2,1
73	2320.633883745	${\displaystyle C_{2}}$	0.001572959	0	0	12	61	0	0	213	142	0	22.810°
74	2387.072981838	${\displaystyle C_{2}}$	0.000641539	0	0	12	62	0	0	216	144	0	22.966°
75	2454.369689040	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	63	0	0	219	146	0	22.736°
76	2522.674871841	${\displaystyle C_{2}}$	0.000943474	0	0	12	64	0	0	222	148	0	22.886°
77	2591.850152354	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	65	0	0	225	150	0	23.286°
78	2662.046474566	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	66	0	0	228	152	0	23.426°
79	2733.248357479	${\displaystyle C_{s}}$	0.000702921	0	0	12	63	1	0	230	152	1	22.636°
80	2805.355875981	${\displaystyle D_{4d}}$	0	0	0	16	64	0	0	232	152	2	22.778°
81	2878.522829664	${\displaystyle C_{2}}$	0.000194289	0	0	12	69	0	0	237	158	0	21.892°
82	2952.569675286	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	70	0	0	240	160	0	22.206°
83	3027.528488921	${\displaystyle C_{2}}$	0.000339815	0	0	14	67	2	0	243	162	0	21.646°
84	3103.465124431	${\displaystyle C_{2}}$	0.000401973	0	0	12	72	0	0	246	164	0	21.513°
85	3180.361442939	${\displaystyle C_{2}}$	0.000416581	0	0	12	73	0	0	249	166	0	21.498°
86	3258.211605713	${\displaystyle C_{2}}$	0.001378932	0	0	12	74	0	0	252	168	0	21.522°
87	3337.000750014	${\displaystyle C_{2}}$	0.000754863	0	0	12	75	0	0	255	170	0	21.456°
88	3416.720196758	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	76	0	0	258	172	0	21.486°
89	3497.439018625	${\displaystyle C_{2}}$	0.000070891	0	0	12	77	0	0	261	174	0	21.182°
90	3579.091222723	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	78	0	0	264	176	0	21.230°
91	3661.713699320	${\displaystyle C_{2}}$	0.000033221	0	0	12	79	0	0	267	178	0	21.105°
92	3745.291636241	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	80	0	0	270	180	0	21.026°
93	3829.844338421	${\displaystyle C_{2}}$	0.000213246	0	0	12	81	0	0	273	182	0	20.751°
94	3915.309269620	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	82	0	0	276	184	0	20.952°
95	4001.771675565	${\displaystyle C_{2}}$	0.000116638	0	0	12	83	0	0	279	186	0	20.711°
96	4089.154010060	${\displaystyle C_{2}}$	0.000036310	0	0	12	84	0	0	282	188	0	20.687°
97	4177.533599622	${\displaystyle C_{2}}$	0.000096437	0	0	12	85	0	0	285	190	0	20.450°
98	4266.822464156	${\displaystyle C_{2}}$	0.000112916	0	0	12	86	0	0	288	192	0	20.422°
99	4357.139163132	${\displaystyle C_{2}}$	0.000156508	0	0	12	87	0	0	291	194	0	20.284°
100	4448.350634331	$T}$	0	0	0	12	88	0	0	294	196	0	20.297°
101	4540.590051694	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	89	0	0	297	198	0	20.011°
102	4633.736565899	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	90	0	0	300	200	0	20.040°
103	4727.836616833	${\displaystyle C_{2}}$	0.000201245	0	0	12	91	0	0	303	202	0	19.907°
104	4822.876522746	${\displaystyle D_{6}}$	0	0	0	12	92	0	0	306	204	0	19.957°
105	4919.000637616	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	93	0	0	309	206	0	19.842°
106	5015.984595705	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	94	0	0	312	208	0	19.658°
107	5113.953547724	${\displaystyle C_{2}}$	0.000064137	0	0	12	95	0	0	315	210	0	19.327°
108	5212.813507831	${\displaystyle C_{2}}$	0.000432525	0	0	12	96	0	0	318	212	0	19.327°
109	5312.735079920	${\displaystyle C_{2}}$	0.000647299	0	0	14	93	2	0	321	214	0	19.103°
110	5413.549294192	${\displaystyle D_{6}}$	0	0	0	12	98	0	0	324	216	0	19.476°
111	5515.293214587	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	99	0	0	327	218	0	19.255°
112	5618.044882327	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	100	0	0	330	220	0	19.351°
113	5721.824978027	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	101	0	0	333	222	0	18.978°
114	5826.521572163	${\displaystyle C_{2}}$	0.000149772	0	0	12	102	0	0	336	224	0	18.836°
115	5932.181285777	${\displaystyle C_{3}}$	0.000049972	0	0	12	103	0	0	339	226	0	18.458°
116	6038.815593579	${\displaystyle C_{2}}$	0.000259726	0	0	12	104	0	0	342	228	0	18.386°
117	6146.342446579	${\displaystyle C_{2}}$	0.000127609	0	0	12	105	0	0	345	230	0	18.566°
118	6254.877027790	${\displaystyle C_{2}}$	0.000332475	0	0	12	106	0	0	348	232	0	18.455°
119	6364.347317479	${\displaystyle C_{2}}$	0.000685590	0	0	12	107	0	0	351	234	0	18.336°
120	6474.756324980	${\displaystyle C_{s}}$	0.001373062	0	0	12	108	0	0	354	236	0	18.418°
121	6586.121949584	${\displaystyle C_{3}}$	0.000838863	0	0	12	109	0	0	357	238	0	18.199°
122	6698.374499261	${\displaystyle I_{h}}$	0	0	0	12	110	0	0	360	240	0	18.612°	지오데틱 구 {3,5+}2,2
123	6811.827228174	${\displaystyle C_{2v}}$	0.001939754	0	0	14	107	2	0	363	242	0	17.840°
124	6926.169974193	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	112	0	0	366	244	0	18.111°
125	7041.473264023	${\displaystyle C_{2}}$	0.000088274	0	0	12	113	0	0	369	246	0	17.867°
126	7157.669224867	${\displaystyle D_{4}}$	0	0	2	16	100	8	0	372	248	0	17.920°
127	7274.819504675	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	115	0	0	375	250	0	17.877°
128	7393.007443068	${\displaystyle C_{2}}$	0.000054132	0	0	12	116	0	0	378	252	0	17.814°
129	7512.107319268	${\displaystyle C_{2}}$	0.000030099	0	0	12	117	0	0	381	254	0	17.743°
130	7632.167378912	${\displaystyle C_{2}}$	0.000025622	0	0	12	118	0	0	384	256	0	17.683°
131	7753.205166941	${\displaystyle C_{2}}$	0.000305133	0	0	12	119	0	0	387	258	0	17.511°
132	7875.045342797	$(\displaystyle I}$	0	0	0	12	120	0	0	390	260	0	17.958°	지오데틱 구 {3,5+}3,1
133	7998.179212898	${\displaystyle C_{3}}$	0.000591438	0	0	12	121	0	0	393	262	0	17.133°
134	8122.089721194	${\displaystyle C_{2}}$	0.000470268	0	0	12	122	0	0	396	264	0	17.214°
135	8246.909486992	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	123	0	0	399	266	0	17.431°
136	8372.743302539	$T}$	0	0	0	12	124	0	0	402	268	0	17.485°
137	8499.534494782	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	125	0	0	405	270	0	17.560°
138	8627.406389880	${\displaystyle C_{2}}$	0.000473576	0	0	12	126	0	0	408	272	0	16.924°
139	8756.227056057	${\displaystyle C_{2}}$	0.000404228	0	0	12	127	0	0	411	274	0	16.673°
140	8885.980609041	${\displaystyle C_{1}.$	0.000630351	0	0	13	126	1	0	414	276	0	16.773°
141	9016.615349190	${\displaystyle C_{2v}}$	0.000376365	0	0	14	126	0	1	417	278	0	16.962°
142	9148.271579993	${\displaystyle C_{2}}$	0.000550138	0	0	12	130	0	0	420	280	0	16.840°
143	9280.839851192	${\displaystyle C_{2}}$	0.000255449	0	0	12	131	0	0	423	282	0	16.782°
144	9414.371794460	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	132	0	0	426	284	0	16.953°
145	9548.928837232	${\displaystyle C_{s}}$	0.000094938	0	0	12	133	0	0	429	286	0	16.841°
146	9684.381825575	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	134	0	0	432	288	0	16.905°
147	9820.932378373	${\displaystyle C_{2}}$	0.000636651	0	0	12	135	0	0	435	290	0	16.458°
148	9958.406004270	${\displaystyle C_{2}}$	0.000203701	0	0	12	136	0	0	438	292	0	16.627°
149	10096.859907397	${\displaystyle C_{1}.$	0.000638186	0	0	14	133	2	0	441	294	0	16.344°
150	10236.196436701	$T}$	0	0	0	12	138	0	0	444	296	0	16.405°
151	10376.571469275	${\displaystyle C_{2}}$	0.000153836	0	0	12	139	0	0	447	298	0	16.163°
152	10517.867592878	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	140	0	0	450	300	0	16.117°
153	10660.082748237	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	141	0	0	453	302	0	16.390°
154	10803.372421141	${\displaystyle C_{2}}$	0.000735800	0	0	12	142	0	0	456	304	0	16.078°
155	10947.574692279	${\displaystyle C_{2}}$	0.000603670	0	0	12	143	0	0	459	306	0	15.990°
156	11092.798311456	${\displaystyle C_{2}}$	0.000508534	0	0	12	144	0	0	462	308	0	15.822°
157	11238.903041156	${\displaystyle C_{2}}$	0.000357679	0	0	12	145	0	0	465	310	0	15.948°
158	11385.990186197	${\displaystyle C_{2}}$	0.000921918	0	0	12	146	0	0	468	312	0	15.987°
159	11534.023960956	${\displaystyle C_{2}}$	0.000381457	0	0	12	147	0	0	471	314	0	15.960°
160	11683.054805549	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	148	0	0	474	316	0	15.961°
161	11833.084739465	${\displaystyle C_{2}}$	0.000056447	0	0	12	149	0	0	477	318	0	15.810°
162	11984.050335814	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	150	0	0	480	320	0	15.813°
163	12136.013053220	${\displaystyle C_{2}}$	0.000120798	0	0	12	151	0	0	483	322	0	15.675°
164	12288.930105320	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	152	0	0	486	324	0	15.655°
165	12442.804451373	${\displaystyle C_{2}}$	0.000091119	0	0	12	153	0	0	489	326	0	15.651°
166	12597.649071323	${\displaystyle D_{2d}}$	0	0	0	16	146	4	0	492	328	0	15.607°
167	12753.469429750	${\displaystyle C_{2}}$	0.000097382	0	0	12	155	0	0	495	330	0	15.600°
168	12910.212672268	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	156	0	0	498	332	0	15.655°
169	13068.006451127	${\displaystyle C_{s}}$	0.000068102	0	0	13	155	1	0	501	334	0	15.537°
170	13226.681078541	${\displaystyle D_{2d}}$	0	0	0	12	158	0	0	504	336	0	15.569°
171	13386.355930717	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	159	0	0	507	338	0	15.497°
172	13547.018108787	${\displaystyle C_{2v}}$	0.000547291	0	0	14	156	2	0	510	340	0	15.292°
173	13708.635243034	${\displaystyle C_{s}}$	0.000286544	0	0	12	161	0	0	513	342	0	15.225°
174	13871.187092292	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	162	0	0	516	344	0	15.366°
175	14034.781306929	${\displaystyle C_{2}}$	0.000026686	0	0	12	163	0	0	519	346	0	15.252°
176	14199.354775632	${\displaystyle C_{1}.$	0.000283978	0	0	12	164	0	0	522	348	0	15.101°
177	14364.837545298	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	165	0	0	525	350	0	15.269°
178	14531.309552587	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	166	0	0	528	352	0	15.145°
179	14698.754594220	${\displaystyle C_{1}.$	0.000125113	0	0	13	165	1	0	531	354	0	14.968°
180	14867.099927525	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	168	0	0	534	356	0	15.067°
181	15036.467239769	${\displaystyle C_{2}}$	0.000304193	0	0	12	169	0	0	537	358	0	15.002°
182	15206.730610906	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	170	0	0	540	360	0	15.155°
183	15378.166571028	${\displaystyle C_{1}.$	0.000467899	0	0	12	171	0	0	543	362	0	14.747°
184	15550.421450311	$T}$	0	0	0	12	172	0	0	546	364	0	14.932°
185	15723.720074072	${\displaystyle C_{2}}$	0.000389762	0	0	12	173	0	0	549	366	0	14.775°
186	15897.897437048	${\displaystyle C_{1}.$	0.000389762	0	0	12	174	0	0	552	368	0	14.739°
187	16072.975186320	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	175	0	0	555	370	0	14.848°
188	16249.222678879	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	176	0	0	558	372	0	14.740°
189	16426.371938862	${\displaystyle C_{2}}$	0.000020732	0	0	12	177	0	0	561	374	0	14.671°
190	16604.428338501	${\displaystyle C_{3}}$	0.000586804	0	0	12	178	0	0	564	376	0	14.501°
191	16783.452219362	${\displaystyle C_{1}.$	0.001129202	0	0	13	177	1	0	567	378	0	14.195°
192	16963.338386460	$(\displaystyle I}$	0	0	0	12	180	0	0	570	380	0	14.819°	지오데틱 구 {3,5+}3,2
193	17144.564740880	${\displaystyle C_{2}}$	0.000985192	0	0	12	181	0	0	573	382	0	14.144°
194	17326.616136471	${\displaystyle C_{1}.$	0.000322358	0	0	12	182	0	0	576	384	0	14.350°
195	17509.489303930	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	183	0	0	579	386	0	14.375°
196	17693.460548082	${\displaystyle C_{2}}$	0.000315907	0	0	12	184	0	0	582	388	0	14.251°
197	17878.340162571	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	185	0	0	585	390	0	14.147°
198	18064.262177195	${\displaystyle C_{2}}$	0.000011149	0	0	12	186	0	0	588	392	0	14.237°
199	18251.082495640	${\displaystyle C_{1}.$	0.000534779	0	0	12	187	0	0	591	394	0	14.153°
200	18438.842717530	${\displaystyle D_{2}}$	0	0	0	12	188	0	0	594	396	0	14.222°
201	18627.591226244	${\displaystyle C_{1}.$	0.001048859	0	0	13	187	1	0	597	398	0	13.830°
202	18817.204718262	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	190	0	0	600	400	0	14.189°
203	19007.981204580	${\displaystyle C_{s}}$	0.000600343	0	0	12	191	0	0	603	402	0	13.977°
204	19199.540775603	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	192	0	0	606	404	0	14.291°
212	20768.053085964	$(\displaystyle I}$	0	0	0	12	200	0	0	630	420	0	14.118°	지오데틱 구 {3,5+}4,1
214	21169.910410375	$T}$	0	0	0	12	202	0	0	636	424	0	13.771°
216	21575.596377869	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	204	0	0	642	428	0	13.735°
217	21779.856080418	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	205	0	0	645	430	0	13.902°
232	24961.252318934	$T}$	0	0	0	12	220	0	0	690	460	0	13.260°
255	30264.424251281	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	243	0	0	759	506	0	12.565°
256	30506.687515847	$T}$	0	0	0	12	244	0	0	762	508	0	12.572°
257	30749.941417346	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	245	0	0	765	510	0	12.672°
272	34515.193292681	${\displaystyle I_{h}}$	0	0	0	12	260	0	0	810	540	0	12.335°	지오데틱 구 {3,5+}3,3
282	37147.294418462	$(\displaystyle I}$	0	0	0	12	270	0	0	840	560	0	12.166°	지오데틱 구 {3,5+}4,2
292	39877.008012909	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	280	0	0	870	580	0	11.857°
306	43862.569780797	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	294	0	0	912	608	0	11.628°
312	45629.313804002	${\displaystyle C_{2}}$	0.000306163	0	0	12	300	0	0	930	620	0	11.299°
315	46525.825643432	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	303	0	0	939	626	0	11.337°
317	47128.310344520	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	305	0	0	945	630	0	11.423°
318	47431.056020043	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	12	306	0	0	948	632	0	11.219°
334	52407.728127822	$T}$	0	0	0	12	322	0	0	996	664	0	11.058°
348	56967.472454334	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	336	0	0	1038	692	0	10.721°
357	59999.922939598	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	345	0	0	1065	710	0	10.728°
358	60341.830924588	$T}$	0	0	0	12	346	0	0	1068	712	0	10.647°
372	65230.027122557	$(\displaystyle I}$	0	0	0	12	360	0	0	1110	740	0	10.531°	지오데틱 구 {3,5+}4,3
382	68839.426839215	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	370	0	0	1140	760	0	10.379°
390	71797.035335953	${\displaystyle T_{h}}$	0	0	0	12	378	0	0	1164	776	0	10.222°
392	72546.258370889	${\displaystyle C_{1}.$	0	0	0	12	380	0	0	1170	780	0	10.278°
400	75582.448512213	$T}$	0	0	0	12	388	0	0	1194	796	0	10.068°
402	76351.192432673	${\displaystyle D_{5}}$	0	0	0	12	390	0	0	1200	800	0	10.099°
432	88353.709681956	${\displaystyle D_{3}}$	0	0	0	24	396	12	0	1290	860	0	9.556°
448	95115.546986209	$T}$	0	0	0	24	412	12	0	1338	892	0	9.322°
460	100351.763108673	$T}$	0	0	0	24	424	12	0	1374	916	0	9.297°
468	103920.871715127	${\displaystyle S_{6}}$	0	0	0	24	432	12	0	1398	932	0	9.120°
470	104822.886324279	${\displaystyle S_{6}}$	0	0	0	24	434	12	0	1404	936	0	9.059°

추측에 따르면,${\displaystyle }m{\displaystyle }$ =${\displaystyle n}$ + ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle$m=$n+2$ p가 m 포인트의 볼록한 선체에 의해 형성된 다면체라면, q는 p의 4면체 수이고, m 전자에 대한 용액은 f(m): $f{\displaystyle (m)}$ =${\displaystyle {0n}^{}}$ ${\displaystyle +{}^{}\mathrm{3n}}$ - $q(m)$ =$$0$^{n}+3n-q$^{[14][clarification needed]}

참조

메모들

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• 이 웹페이지에는 알려진 가장 낮은 에너지의 전자 구성인 https://www.hars.us이 더 많이 포함되어 있다.