티에체 연장 정리

위상에서는 티에체 확장 정리(Tietze-라고도 한다.Uryson-Brower 확장 정리)는 정상 위상학적 공간의 닫힌 부분집합에서 연속적인 기능을 전체 공간으로 확장하여 필요한 경우 경계성을 보존할 수 있다고 기술하고 있다.

형식명세서

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 일반 공간인 경우

${\displaystyle f:A\to \mathb {R} }$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 닫힌 부분 $집합{\displaystyle }$ A ${\displaystyle A}$에서 표준 토폴로지를 포함하는$$ 실제 $번호{\displaystyle \mathbb{}}$ R ${\$까지 연속적으로 확장된 다음, $F{\displaystyle }$$$ ${\displaystyle$ $f$$}$을(를$)$ $X{\displaystyle }$, ${\displaystystystyle$ X로 확장하는 맵이 있음

$\displaystyle F:X\to \mathb {R} }$

$모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle A.}$${\displaystyle }$${\displaystyle$ a$.}$에 $대해$ F$$( ) = f ( ) {\$displaystyle F(a)=f(a)}$을(를) 사용하여$모든$ X {\displaystyle $X$$}$에 대해 연속적으로 수행할 수 있으며, $F$ ${\displaystyle$F}을$($를) 다음과 같이 선택할 수 있다$$.

${\displaystyle \sup\{f(a) :a\in A\}=\supp\{F(x) :x\in X\}}$

즉$$, $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 경계된$$ 경우 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ F$}$을($)$ 경계하도록 선택할 수 $있다$(f {\displaystyle $f}$와 동일한 경계).

역사

$L{\displaystyle }$. E. J. 브루워와 앙리 르베게는 X ${\displaystyle X}$이(가) 유한차원의 실제 벡터 공간일 때 정리의 특별한 경우를 증명했다.하인리히 티에체(Heinrich Tietze)는 그것을 모든 미터 공간까지 확장시켰고, 파벨 우리존(Pavel Uryson)은 여기서 말한 대로 정상 위상학적 공간에 대한 정리를 증명했다.^[1][2]

등가문

이 정리는 우리존의 보조정리(공간의 정규성과도 동일함)에 해당하며, 모든 미터 공간과 모든 콤팩트한 하우스도르프 공간이 정상이기 때문에 광범위하게 적용 가능하다.${\displaystyle {}^{}}$ 인덱싱 세트 $J{\displaystyle }$, ${\$$displaystyle \mathb {R}에$대해 $R{\displaystyle \mathbb{}}$$$ ${\${$R$$} ^{J}$을$($를) R ${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle \mathb {R} ^{J}$ 또는$$$$ 모든 일반화할 수 있다$$.

변형

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$이(가) 메트릭 공간인 경우 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 및$$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle A\mathbb{}}$→ R ${\$$A\to \mathbb {R} }$ is a Lipschitz continuous function with Lipschitz constant ${\displaystyle K,}$ then ${\displaystyle f}$ can be extended to a Lipschitz continuous function ${\displaystyle F:X\to \mathbb {R} }$ with same constant ${\displaystyle K.}$ This theorem is also valid for Hölder continuous 함수, ${\displaystyle 즉}$ $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle A\mathbb{}}$→ R ${\$$A{\displaystyle \mathrm{}}$$\to \mathb {R}$은$($는) 1,${\displaystyle 1,}$보다 작거나 같은 상수를 가진$$$$ Hölder 연속함수 $F{\displaystyle }$:${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$까지 $확장$할 수 있다$$.^[3]

티에체 정리의 또 다른 변종(사실상 일반화)은 Z 때문이다.Ercan:^[4] Let ${\displaystyle A}$ be a closed subset of a topological space ${\displaystyle X.}$ If ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ is an upper semicontinuous function, ${\displaystyle g:X\to \mathbb {R} }$ a lower semicontinuous function, and ${\displaystyle h:$$A\to \mathbb {R} }$ a continuous function such that ${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$ for each ${\displaystyle x\in X}$ and ${\displaystyle f(a)\leq h(a)\leq g(a)}$ for each ${\displaystyle a\in A}$, then there is a continuous extension ${\displaystyle$$H:X\to \mathbb {R} }$ of ${\displaystyle h}$ such that ${\displaystyle f(x)\leq H(x)\leq g(x)}$ for each ${\displaystyle x\in X.}$ This theorem is also valid with some additional hypothesis if ${\displaystyle \mathbb {R} }$ is replaced by a general locally solid Riesz space.^[4]

참고 항목

• 휘트니 확장 정리 – 테일러의 정리 부분 역류
• 한-바나흐 정리 – 경계 선형함수의 확장에 관한 정리

참조

• Munkres, James R. (2000). Topology (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.

외부 링크

• 와이스슈타인, 에릭 W. "티에츠의 연장 정리"From MathWorld
• Mizar 시스템 증명: http://mizar.org/version/current/html/tietze.html#T23
• Bonan, Edmond (1971), "Relèvements-Prolongements à valeurs dans les espaces de Fréchet", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 272: 714–717.