휘트니 확장 정리

수학에서 특히 수학적 분석에서 휘트니 확장 정리는 테일러의 정리와 부분적인 반향이다.대략적으로 말하면, 정리는 A가 유클리드 공간의 폐쇄적인 부분집합이라면, A의 지점에 파생상품을 규정하는 방식으로 A의 주어진 기능을 확장할 수 있다고 주장한다.하슬러 휘트니의 결과다.

성명서

정리의 정밀한 진술은 폐쇄 집합에서 함수의 파생상품을 규정하는 것이 무엇을 의미하는지 세심한 검토가 필요하다.예를 들어, 한 가지 어려운 점은 일반적으로 유클리드 공간의 폐쇄된 하위 집합은 다른 구조를 가지고 있지 않다는 것이다.그렇다면 출발점은 테일러의 정리정돈에 대한 진술의 검토다.

R에ⁿ 대한 실제^m 값 C 함수 f(x)를 감안할 때, 테일러의 정리는 각 a, x, y ∈ R에ⁿ 대해, x,y → a로 균일하게 0에 접근하는 함수 R_α(x,y)이 있다고 주장한다.

${\displaystyle f({\mathbf {x} })=\sum _{ \alpha \leq m}{\frac {D^{\alpha }f({\mathbf {y} })}{\alpha !}}\cdot ({\mathbf {x} }-{\mathbf {y} })^{\alpha }+\sum _{ \alpha =m}R_{\alpha }({\mathbf {x} },{\mathbf {y} }){\frac {({\mathbf {x} }-{\mathbf {y} })^{\alpha }}{\alpha !}}}$

(1)

여기서 합이 다중 α를 초과한다.

각 다중 지수_α α에 대해 f = Df를^α 허용한다.x에 대한 차별화(1) 및 필요에 따라 R을 교체할 수 있음

${\displaystyle f_{\alpha }({\mathbf {x} })=\sum _{ \beta \leq m- \alpha }{\frac {f_{\alpha +\beta }({\mathbf {y} })}{\beta !}}({\mathbf {x} }-{\mathbf {y} })^{\beta }+R_{\alpha }({\mathbf {x} },{\mathbf {y} })}$

(2)

여기서 R은_α x,y → a로 균일하게 o( x - y )이다.

(2)는 함수 f의 테일러 시리즈의 계수가 되기 위해 충족되어야 하는 함수 f_α 간의 순전히 호환성 조건으로 간주될 수 있다는 점에 유의한다.다음과 같은 진술을 용이하게 하는 것은 바로 이러한 통찰력이다.

정리.f가_α 모든 지점${\displaystyle x}$, y 및 A의 호환성 $조건$ (2)을 만족하는$$ $모든$ 다중 지수$$α에 대한 닫힌 부분 집합 $R의$ⁿ 함수 모음이라고 가정합시다$.$그리고 다음과 같은 등급 C의^m F(x) 함수가 존재한다.

1. A에서 F₀ = f.
2. DF^α = A에서 f_α.
3. F는ⁿ R - A의 모든 점에서 진짜 분석적이다.

증명서는 휘트니(1934년), 말그랑게(1967년), 비에르스톤(1980년), 호르만데르(1990년)의 원서에 제시되어 있다.

반공간의 확장

실리(1964)는 반쪽 공간의 특수한 경우에서 휘트니 확장 정리를 날카롭게 하는 것을 증명했다.x_n ≥ 0이 내부 x의_n 부드러운 함수 f인 지점의 반공간 R의^n,+ 부드러운 함수로서, 파생상품이 반공간에서 연속적인 함수로 확장된다.^α경계_n x = 0에서 f는 부드러운 함수를 제한한다.보렐의 보조정리법에 의해 F는ⁿ R 전체에서 매끄러운 기능으로 확장될 수 있다.보렐의 보조마사는 본질적으로 국부적이므로, 동일한 주장은 $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\디스플레이스타일 \Oomega}}$이(가) 부드러운 경계를 가진 R의ⁿ (경계 또는 무한) 도메인이라면$$ $\Omega {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\디스플레이스타일 \Oomega}$의 폐쇄에 대한 모든 부드러운 기능을 R의ⁿ 부드러운 함수로 확장할 수 있다는$$ 것을 보여준다.

실리의 하프라인 결과는 동일한 확장 맵을 제공한다.

${\displaystyle \displaystyle {E:C^{\infit }(\mathbf {R}^{+})\오른쪽 화살표 C^{\infit }}(\mathbf {R}),}}}$

즉, 선형적이고 연속적이며(콤팩트카의 기능과 파생상품의 균일한 수렴 토폴로지를 위해) [0,R]에서 지원되는 기능을 [-R,R]에서 지원되는 기능으로 가져간다.

$E{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ E$,}$을^[1](를) 정의하려면

${\displaystyle \displaystyle {E(f)(x)=\sum _{m=1}^{m={m}x)\varphi(-b_{m}x)\,\,\,(x<0),}}}}}$

여기서 φ은 1에 가까운 0에 해당하는 R에 대한 콤팩트 서포트(compact support)의 부드러운 기능이며, 시퀀스(a_m), (b_m)는 다음을 만족한다.

• > ${\displaystyle b_{m}>0}$은(는) $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \infit }$;
• ${\displaystyle }$${\displaystyle \sum }$ ${\displaystyle m_{}}$ b ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle j^{}{}_{}^{}}$=${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1{}^{}}$) j ${\$$)^{j}}}}$에 대한 합은 절대 수렴($sum)$이다.

이 방정식 시스템에 대한$$은 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ = $2n$ {\$displaystyle$ b_{$n}=2^{n}}}$를 취하여$$ 전체 함수를 구함으로써 얻을 수 있다.

${\displaystyle g(z)=\sum _{m=1}^{{m=1}^{\infit }a_{m}z^{m}}}}}}}}$

그러한 $g{\displaystyle }$ (${\displaystyle }$2 ${\displaystyle j^{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1{}^{}}$) ${\displaystyle j^{}}$. ${\displaystyle g\왼쪽(2^{j}\오른쪽)=(-1)^{j}}}$$$ 그러한 기능이 구성될 수 있다는 것은 위어스트라스 정리와 미타그-레플러 정리에서 따온 것이다.^[2]

세팅으로^[3] 직접 볼 수 있다.

${\displaystyle W(z)=\prod _{j\geq 1}(1-z/2^{j}),}$

$2{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle j^{}}$ ${\displaystyle 2^{j}$에 단순 0이 있는 전체 함수$$ 파생상품 W '(2)는^j 위아래로 경계한다.유사하게 함수

${\displaystyle M(z)=\sum _{j\geq 1}{{j}{{j} \over W^{\premium}(2^{j})(z-2^{j})}}}}}}}$

단순 폴과 2 ${\displaystyle j^{}}$ ${\displaystyle$ 2$^{j}$에서 규정된 잔류물을 가진 meromphic.$}$

공사별

${\displaystyle \displaystyle {g(z)=W(z)M(z)}}}$

필요한 속성을 가진 전체 함수.

마지막 변수 x에_n 연산자 R을 적용하여 R의ⁿ 절반 공간에 대한 정의. 마찬가지로, 통일의 매끄러운 분할과 변수의 국소적 변화를 사용하여 절반 공간에 대한 결과는 유사하게 확장된 지도의 존재를 암시한다.

${\displaystyle \c^{\infit }({\overline {\Oomega }})\오른쪽 화살표 C^{\infit }(\mathbf {R}^{n}})}}}}}$

매끄러운 경계가 있는 R의ⁿ 모든 $도메인{\displaystyle \mathrm{}}$ Ω$${\$displaystyle \Oomega }$에 대해.

참고 항목

• 키르즈브라운 정리는 립슈비츠 기능을 확장해 준다.
• Tietze 확장 정리 – 정상 위상학적 공간의 닫힌 부분집합에서 연속적인 기능을 확장할 수 있음
• 한-바나흐 정리 – 경계 선형함수의 확장에 관한 정리

메모들

참조

• McShane, Edward James (1934), "Extension of range of functions", Bull. Amer. Math. Soc., 40 (12): 837–842, doi:10.1090/s0002-9904-1934-05978-0, MR 1562984, Zbl 0010.34606
• Whitney, Hassler (1934), "Analytic extensions of differentiable functions defined in closed sets", Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 36 (1): 63–89, doi:10.2307/1989708, JSTOR 1989708
• Bierstone, Edward (1980), "Differentiable functions", Bulletin of the Brazilian Mathematical Society, 11 (2): 139–189, doi:10.1007/bf02584636
• Malgrange, Bernard (1967), Ideals of differentiable functions, Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, vol. 3, Oxford University Press
• Seeley, R. T. (1964), "Extension of C∞ functions defined in a half space", Proc. Amer. Math. Soc., 15: 625–626, doi:10.1090/s0002-9939-1964-0165392-8
• Hörmander, Lars (1990), The analysis of linear partial differential operators. I. Distribution theory and Fourier analysis, Springer-Verlag, ISBN 3-540-00662-1
• Chazarain, Jacques; Piriou, Alain (1982), Introduction to the Theory of Linear Partial Differential Equations, Studies in Mathematics and Its Applications, vol. 14, Elsevier, ISBN 0444864520
• Ponnusamy, S.; Silverman, Herb (2006), Complex variables with applications, Birkhäuser, ISBN 0-8176-4457-1
• Fefferman, Charles (2005), "A sharp form of Whitney's extension theorem", Annals of Mathematics, 161 (1): 509–577, doi:10.4007/annals.2005.161.509, MR 2150391