위상 기하학

위상 기하학은 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $P}$과(와) L ${\$displaystyle P}과(와) 위상과(와) L {\displaystyle P$}$이(가) 모두 위상과($와)$를 운반할 수 있도록 선 또는 원이라고 불리는$$ $P{\displaystyle }$ ${\displaystystyle P}$의 하위 집합 $L$$${\des {\$daystylease {\mates}$으로 구성된 발생 구조를 다룬다.선에 의한 점 결합 또는 교차 선과 같은 모든 기하학적 연산은 연속적이다.위상학 집단의 경우와 같이, 더 깊은 결과를 얻기 위해서는 점 공간이 좁고 연결되어야 한다(로컬하게).이것은 유클리드 평면에서 두 개의 구별되는 점을 결합하는 선이 점 쌍에 지속적으로 의존하며 두 선의 교차점은 이러한 선의 연속적인 함수라는 관측을 일반화한다.

선형 기하학

선형 기하학적 구조는 두 개의 $고유$한 점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$과 y ${\displaystyle y}$이(가) 고유한 선 ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle xy}$에 의해 결합되는$$ 발생 구조물이다$.$ ${\displaystyle \mathrm{이러한}}$ 기하학적 구조는 x ${\displaysty xy}$이$가) {\displaysty}$과 res$$}의 쌍에 지속적으로 의존하는$$ 경우 위상학이라고 한다.점 집합과 선 집합에 지정된 위상에 대한 펙트.선형 지오메트리의 이중은 점과 선의 역할을 서로 바꾸어 얻는다.선형 위상 기하학의 조사는 발생 기하학 핸드북 23장에 제시되어 있다.^[1]가장 광범위하게 조사된 위상학적 선형 기하학은 이중 위상학적 선형 기하학이다.그러한 기하학은 위상학적 투영 평면으로 알려져 있다.

역사

이들 비행기에 대한 체계적인 연구는 1954년 스코르냐코프의 논문에서 시작되었다.^[2]앞서 실제 평면의 위상적 특성은 부속 선에 있는 관계(예: 힐버트,^[3] 콕시터,^[4] O)를 주문하여 도입되었다.Wyler. 주문의 완전성은 국소 콤팩트성과 동등하며, 아핀 라인이 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 대한 동형이며 점$$ 공간이 연결되어 있음을 암시한다.^[5]합리적인 숫자는 평면 기하학에 대한 우리의 직관적인 개념을 설명하기에 충분치 않으며 합리적인 영역의 어느 정도 확장이 필요하다는 점에 유의한다.실제로 원에 대한$$ $방정식{\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ + ${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ = ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle$ x$^{2}+y^{2}=3}$은(는) 합리적인 해법이 없다.

위상 투영 평면

그러나 복잡한 숫자, 쿼터니언 또는 옥토니언 대수로 조정되는 평면에 대해서는 주문 관계를 통해 투영 평면의 위상학적 특성에 대한 접근은 불가능하다.^[6]점 공간뿐만 아니라 이러한 고전적 평면의 선 공간(실수, 복잡한 숫자, 쿼터니언 및 옥토니언 초과)은 치수 ${\displaystyle {2m}^{}}$ ${\displaystyle 1\mathrm{}}$ ${\displaystyle ㎥}$ $[\displaystyle$ 2$^{m},\,1\leq m\leq 4}$의 콤팩트 다지관이다$.$

위상 차원

위상학적 공간의 차원 개념은 위상학적 연구, 특히 콤팩트한 연결면 연구에 두드러진 반향을 일으킨다.일반 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X$의 경우 치수 ${\displaystyle \mathrm{보조개}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \dim X}$을(를) 다음과 같이 특성화할 수 있다$$.

If ${\displaystyle \mathbb {S} _{n}}$ denotes the ${\displaystyle n}$-sphere, then ${\displaystyle \dim X\leq n}$ if, and only if, for every closed subspace ${\displaystyle A\subset X}$ each continuous map ${\displaystyle \varphi :$$A\to \mathb {S} _{n}$의 연속 확장자는 extension : $X{\displaystyle }$→ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}{}_{}}$ ${\$\psi :$X\to \mathb$ {$S} _{n}}$입니다$.$

차원에 대한 자세한 내용 및 기타 정의는 특히 Engelking^[8] 또는 Fedorchuk에 제공된 참조를 참조하십시오.^[9]

2차원 평면

2차원 점공간을 가진 콤팩트한 위상 평면의 선은 원까지 동형 곡선 계열을 형성하며, 이 사실은 위상 투영 평면들 사이에서 이러한 평면들을 특징으로 한다.^[10]마찬가지로 점 공간은 표면이다.고전적인 실제 평면 $E{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에 이형성이 없는 초기 예는 힐버트와^[3][11] 몰튼에 의해 제시되었다$$.^[12]이러한 사례의 연속성 특성은 그 당시에는 명시적으로 고려되지 않았으며, 당연하게 여겨졌을 수도 있다.힐버트의 구조는 셀 수 없이 많은 쌍으로 구성된 비이형성 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\디스플레이$ 스타일 $2}$ - 차원$$ 컴팩트 평면을 얻도록 수정할 수 있다.$E{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) $다른{\displaystyle \mathrm{}}$ 2 ${\displaystyle 2}$차원$$ 평면과$$ 구별하는 전통적인 방법은 데스아게스의 정리 또는 파포스의 정리(예: 이 두 가지 구성 이론에 대한 논의는 피커트^[13] 참조)에 의해 이루어진다.후자는 전자(헤센베르크^[14])를 암시하는 것으로 알려져 있다.데스아게스의 정리는 비행기의 일종의 동질성을 표현하고 있다.일반적으로, 평면을 (상호응할 필요는 없는) 필드에 의해 조정될 수 있는 경우에만 투영 평면에서 유지하므로,^[3][15][13] 이는 자동화 그룹이 쿼드랑글 집합에서 전이됨을 의미한다(${\displaystyle \mathrm{}}$ 중$$ $3개{\displaystyle \mathrm{}}$ 점이$$ 콜린어인 4개 ${\displaystyle 3}).$현재 설정에서 훨씬 약한 동질성 조건은 $E{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 특성을 나타낸다$.$

정리If the automorphism group ${\displaystyle \Sigma }$ of a ${\displaystyle 2}$-dimensional compact plane ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ is transitive on the point set (or the line set), then ${\displaystyle \Sigma }$ has a compact subgroup ${\displaystyle \Phi }$ which is even transitive on the set of flags(=incident point-line pair) 및 $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(는) 고전적이다.^[10]

점 공간에 균일한 수렴의 토폴로지와 $함께{\displaystyle \mathcal{}}$ $찍은{\displaystyle \mathrm{}}$$$${\displaystyle 자동형성\mathcal{}}$ 그룹 $\sigma {\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle \mathrm{자동}}$ ${\displaystyle }$ P ${\$$displaystyle \$$Sigma =\operatorname {Aut}$ {\$mathcal$${P$$}$ 중$$ {Aut} ${\$P}}은$$(는) 최대 8 $스타일$에서 국소적으로 작은 차원 그룹이다$.$$\}\},$ 사실 거짓말 그룹까지.모든 2{2\displaystyle}-dimensional 비행기가 희미한 ⁡ Σ ≥ 3{\displaystyle\dim \Sigma \geq 3}을 명시적으로;[10]그 희미한 ⁡과 Σ=4{\displaystyle\dim \Sigma =4}던 그대로 몰턴. 미국 비행기 고전적인 비행기 E{\displaystyle{{E\mathcal}}}은 유일한 2{2\displaystyle}-di 설명할 수 있다.남자들한 ⁡ > ${\displaystyle \dim \Sigma >4}$ 또한 참조한다.^[16]

소형 연결 평면

$2개$의 ${\displaystyle 2$} -차원$$ 평면의 결과가 치수 > $[\displaystyle$ >$2}의$소형 평면으로 확장되었다이는 다음과 같은 기본 정리 때문에 가능하다.

소형 평면의 토폴로지.2m− 1{\displaystyle 2^{m-1}}의 맹약 사영 평면 화면 연결된다면 지점 공간에 치수를 P{P\displaystyle}, ⁡ P=희미한 2m{\displaystyle\dim P=2^{m}}m∈{1,2,3,4}{\displaystyle m\in){1,2,3,4\}과}. 유한한 것 게다가, 각 선은 동위 영역 특성 17참조하십시오.]제일의 것이다r.^[18]

4차원 평면의 특수 측면이 처리되며,^[19] 보다 최근의 결과를 확인할 수 있다.^[20]$4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 4}$ - 차원$$ 콤팩트 평면의 선은 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 2$}$ -sphere에$$ 대한 동형이며,^[21] 사례 > ${\displaystyle m>2}$에서 선은 다지체로 알려져 있지 않지만, 지금까지 발견된 모든 예에서 선은 구이다.Asubplane B{\displaystyle{{B\mathcal}}}사영 평면의 P{\displaystyle{{P\mathcal}}}은 베어 subplane,[22]만약 P{\displaystyle{{P\mathcal}의 각 지점 B{\displaystyle{{B\mathcal}의 줄이}}은 사건}}와 P{\displaystyle{{P\mathcal}의 각 선}다고 한다.}contains a point of ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$. A closed subplane ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ is a Baer subplane of a compact connected plane ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ if, and only if, the point space of ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ and a line of ${\displaystyle {\mat$$hcal {P}}$의 치수가$$ 같다.따라서 8차원 평면 $P{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 선은 P ${\$$displaystyle \mathbb{S} _{4}$ 구 S ${\displaystyle {}_{}}$에 대한 동형이다$$. 만약 $P{\displaystyle \mathcal{}}$ {\$displaystystyle${\$mathcal {P}}}$이(가)가 닫힌 Baer 하위 평면을 갖는$$ 경우$$.^[23]

동종 평면.If ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ is a compact connected projective plane and if ${\displaystyle \Sigma =\operatorname {Aut} {\mathcal {P}}}$ is transitive on the point set of ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$, then ${\displaystyle \Sigma }$ has a flag-transitive compact subgroup ${\dis$$Playstyle \Phi }$ $및$ P ${\$은(는) 클래식함.^[25]사실 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi }$은 타원 운동 그룹이다$$.^[26]

만약 어둡게 하다 ⁡Σ 을 2m, mx2,3,4{\displaystyle 2^{m},\의 P{\displaystyle{{P\mathcal}}} 소형 비행기;m=2,3,4}, 쓰고 Σ를 Aut ⁡ P({{P\mathcal}}}.;8,18,40{\displaystyle\dim \Sigma>8,18,40}, P{\displaystyle자. {\math$cal {P}$은(는) 고전적이며,^[27] ${\displaystyle \mathrm{Auto}aut\mathcal{}}$ P ${\$ {$Aut} {\mathcal$ {$P}$은(는$)$ 치수 ${\displaystyle 16}$, 35${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 78}$ $displaysty 16,35,78}$의 간단한 Lie 그룹이다.${\displaystyle \mathrm{희미}}$한 ${\displaystyle }$= ${\displaystyle 8}$,${\displaystyle 18,}$ ${\displaystyle 40}$ ${\$$displaystyle$\dim$$$\Sigma$= 8, 18, 40 {\$displaystyle \dim$ \Sigma = 8$,18,40}$의 모든 평면이 명시적으로 $알려져{\displaystyle \mathcal{}}$ 있다$$$.$^[28]The planes with ${\displaystyle \dim \Sigma =40}$ are exactly the projective closures of the affine planes coordinatized by a so-called mutation ${\displaystyle (\mathbb {O} ,+,\circ )}$ of the octonion algebra ${\displaystyle (\mathbb {O} ,+,\ \,)}$, where the new multiplication ${\displaystyle }$∘{\displaystyle \circ}다음과 같이:실수 있어 1/2<과{\displaystyle지}, 그리고 큰 차원의 그룹으로 비행기들은{\displaystylea\circ b=t\cdot ab+(1-t)\cdot 영혼}. 막대한 가족들이 발견된 b+(1− t)⋅ b⋅ ∘ b)t을 1{1/2<, t\neq 1\displaystyle}≠ systemati을 선택하는 정의된다.cally그들의 자기 동형:내부 자기 동형이 그룹에 대해 가정에서부터, 비교하라 번역의 비행기, e.g.,.[20][29][30][31일][32]그들의 상당수가 사영 폐쇄(아핀 비행기는 병렬에 automorphisms 각각의 라인 함수의 급등해서 그룹을 받아들이는 것)를 참조하십시오.;[33]도 사건 m에서 많은 최근의 결과를 3{\displaystyle m=3}과[30]=m이상인 경우)4{\displayst[34]를 참조하십시오.$yle m=4}$.

소형 투영 공간

최소 3개의 기하학적 치수의 투영 공간의 하위 평면은 반드시 데스투게스식이다(§1 또는 §16 또는 참조).^[36]따라서, 모든 콤팩트하게 연결된 투영 공간은 실제 또는 복잡한 숫자 또는 쿼터니온 필드에 의해 조정될 수 있다.^[37]

안정 평면

고전적인 비유클리드 쌍곡면은 실제 평면에서 열린 원형 원반으로 직선의 교차점으로 나타낼 수 있다.보다 일반적으로, 고전적인 아핀 평면의 열린 부분(콘벡스)은 전형적인 안정된 평면이다.$2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 2}$ -차원$$ 사례에 대한 이러한 기하학적 조사에 대한 내용은 에서 확인할 수 있다.^[38][39]

정확히는 안정 $평면{\displaystyle \mathcal{}}$ S ${\${\$mathcal {S}$은(는) 위상학적 선형 기하학${\displaystyle (P}$ ,${\displaystyle L\mathfrak{}}$ )$${\$displaystyle(P,{\mathfrak {L})$이며 다음과 같다.

1. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$은(는) 양의 유한 치수의 국소적으로 압축된 공간이며$$,
2. 각 선 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle L\mathfrak{}}$ ${\$은(는) $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 닫힌 부분 집합이며$,$ $L{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$은(는) 하우스도르프 공간이며$$,
3. the set ${\displaystyle \{(K,L)\mid K\neq L,\;K\cap L\neq \emptyset \}}$ is an open subspace ${\displaystyle {\mathfrak {O}}\subset {\mathfrak {L}}^{2}}$ ( stability),
4. 지도${\displaystyle }$(${\displaystyle K}$, ${\displaystyle L}$) ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle L}$: ${\displaystyle O}$→ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (K,L)\mapsto K\cap L:{\mathfak{O}\to P}$는 연속적이다$$.

안정성은 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 또는$$ $C{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$\mathb {$C}$에 $대한{\displaystyle \mathrm{}}$ 3 ${\displaystyle$ \$mathb {$$C}$ - 차원$$ 아핀 공간과 같은 기하학적 구조를 제외한다는 점에 유의하십시오$.$

안정 평면 $S{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은(^[40]는) $P{\displaystyle }${\$displaystyle$P}이$$(가) 압축된 경우에만 투영 평면이다$$.

투사면의 경우와 마찬가지로 선 연필은 치수 $2m$- ${\displaystyle 1^{}}$의$$${\displaystyle {구체}^{}}$에 해당하는 콤팩트하고 호모토피이며,$$${\displaystyle 딤}$opy P = 2m$${\$displaystyle$ ^[41]$\dim P=2^{m}$와 $m$ ${\displaystyle \in \{1}$,${\displaystyle 2}$, 3,$}{\displaystym m\in \{1,2,3,4\}$ 참조$.$더욱이 포인트 공간 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$은(는) 현지에서 계약할 수 있다$$.^[17][42]

안정된 평면의 콤팩트한 그룹은 오히려 작다.$\phi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\$은(는) 고전 d$${\$displaystyle d$} -차원$$ 투영 $평면{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ P ${\dd}$의 자동형성 그룹의 최대 콤팩트 부분군을 나타내며$$$,$ 다음과 같은 정리가 유지된다.
만약 d{\displaystyle d}-dimensional 안정적인 비행기 S{\displaystyle{{S\mathcal}}}, 희미한 ⁡Φ d− d{\displaystyle\dim \Gamma>\dim \Phi_{d}-d}automorphisms의 콤팩트형 그룹 Γ{\displaystyle \Gamma}그런 희미한 ⁡Γ 을 인정하고 있지만, 그때 S≅ Pd{\displaystyle{{S\mathcal}}\cong{\mathca.나는{P}}$_{d$ 참조.^[43]

국기 동종의 안정기.Let $S{\displaystyle \mathcal{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle P}$, ${\displaystyle L}$) ${\displaystyle {\mathcal{S}=(P,{\mathfrak{L})}$가 안정된 평면이 되도록$$ 한다. If the automorphism group ${\displaystyle \operatorname {Aut} {\mathcal {S}}}$ is flag-transitive, then ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ is a classical projective or affine plane, or ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ is isomorphic to the interior of the absolute sphere of the hyperbolic polarity of a classical plane; see.^[44][45][46]

투영적인 경우와 대조적으로 점 균질 안정 평면이 풍부하며, 그 중에서도 방대한 종류의 번역 평면을 볼 수 있다.^[47]

대칭 평면

아핀 변환 평면은 다음과 같은 속성을 갖는다.

• 자동형 그룹의 점$$ 전이성 폐쇄 부분군 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$이(가) 존재하며, 일부 및 각 점에서 고유한 반사를 포함한다.

보다 일반적으로 대칭 평면은 전술한 조건을 만족하는$$ 안정 평면 $S{\displaystyle \mathcal{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle P}$, $){\displaystyle {\mathcal{S}=(P,{\mathfrak{L})$이다. 참조,^[48] 이러한 기하학적 구조를 조사하려면 cf.^[49]Corollary 5.5에 의해 그룹 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta}$이(가) Lie 그룹이고$$ 포인트 공간 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) 다지관 그룹이다$$.$S{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 대칭 공간이라는 것을 따른다.대칭 공간의 Lie 이론에 의해 $치수{\displaystyle \mathrm{}}$ 2$[\displaystyle 2}$ $또는$ 4$[\displaystyle 4}$의 점 세트가 있는 모든 대칭 평면이 분류되었다$$.^[48][51]그것들은 번역기거나 은둔자의 형태에 의해 결정된다.쉬운 예는 진짜 쌍곡면이다.

원 기하학

고전적 모델은 실제 $투사형{\displaystyle \mathrm{}}$ 3 ${\displaystyle 3}$ -공간에서$$$$ 2차 $표면{\displaystyle }$ S ${\displaystyle S}$의 평면 섹션에 의해 제공되며, $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이 구면인$$ 경우 형상을 Möbius 평면이라고 한다.^[39]지배된 표면의 평면 부분(원시트 하이퍼볼로이드)은 일반화를 위한 고전적인 민코프스키 평면인 ^[53]cf를 산출한다.$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) 꼭지점이 없는 타원형 원뿔이라면 이 지오메트리를 라구에르 평면이라고 한다.집합적으로 이 비행기들을 벤츠 비행기라고 부르기도 한다.위상학적 벤츠 평면은 각 지점이 해당 고전적 벤츠 평면의 일부 개방된 부분과 이형화된 인접성을 갖는 경우 고전적이다.^[54]

뫼비우스 비행기

Möbius planes consist of a family ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ of circles, which are topological 1-spheres, on the ${\displaystyle 2}$-sphere ${\displaystyle S}$ such that for each point ${\displaystyle p}$ the derived structure ${\displaystyle (S\setminus \$${p\},\{C\setminus \{p\}\mid p\in C\in {\mathfak{C}}}$는 위상학적 아핀 평면이다$$.^[55]특히 모든 $3개$의 ${\displaystyle 3}$개의$$ 구별되는 점은 고유한 원으로 결합된다.그러면 원 공간 $C{\displaystyle \mathfrak{}}$ ${\$는 1점이 삭제된 실제 투영형 $3{\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle 3}$ - 공간에$$ 대해 동형이다$$.^[56]실제 $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 3}$ -공간에서$$ 알과 같은 표면의 평면 섹션에 의해 많은 종류의 예가 제시된다.

동질 뫼비우스 비행기

If the automorphism group ${\displaystyle \Sigma }$ of a Möbius plane is transitive on the point set ${\displaystyle S}$ or on the set ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ of circles, or if ${\displaystyle \dim \Sigma \geq 4}$, then ${\displaystyle (S,{\mathfrak {C}})}$ is classical and ${\displaystyle \dim }$=${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle \dim \Sigma =$6}을$($를) 참조하십시오$.$^[57][58]

콤팩트한 투영 평면과 대조적으로 치수 원을 $초과$하는 위상학적뫼비우스 평면이 없으며 특히 $4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 4}$차원$$ 점 공간을 가진 콤팩트 뫼비우스 평면이 없다.^[59]${\displaystyle \mathrm{희미}}$한 ${\displaystyle }$ ⁡ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \dim \Sigma \geq$ 3$}$과 같은 모든 2차원 뫼비우스 평면을 명시적으로 설명할 수 있다$$.^[60][61]

라구에르 비행기

라게르 평면의 고전적 모델은 실제 $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 3}$ -공간$$ R ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$에 있는 원형 원통형 $표면{\displaystyle }$ C$${\$displaystyle C}$로 구성되며, 포인트 $세트$로 C ${\displaystyle C$}의 컴팩트 평면 섹션으로 구성된다$$.원에 의해 결합되지 않는 점 쌍을 평행이라고 한다.$P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$이(가) 병렬 점의 클래스를 나타내도록$$ 하십시오.그러면 $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C\setminus P}$는 평면 ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $2{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$원은 $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$+ ${\displaystyle b}$+ ${\displaystyle c}$ ${\displaysty y=ax^{2}+b+c}$ 형식의 포물선으로 이 평면에 나타낼 수 있다$.$

유사한 방식으로 고전적인 $4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 4}$ -차원$$ 라구에르 평면은 복잡한 2차 다항식의 기하학과 관련이 있다.일반적으로 국소적으로 연결된 라구에르 평면의 공리는 파생 평면이 유한 치수의 소형 투영 평면에 내장되어야 한다.파생점을 통과하지 않는 원은 파생된 투영 평면에서 타원을 유도한다.또는 ^[63]원은 치수 $1$의 구(구)에 대해 동형이다$.$ 따라서 국소적으로 연결된 라구에르 $평면$의 점 공간은 $실린더{\displaystyle }$ C ${\displaystyle C}$에 동형이다. 또는$$ $4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 4}$ - 차원$$ 다지관, cf.^[64]$2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 2}$ -차원$$ 예시라고 하는 대형 클래스의 난형 라게르 평면은 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\$}}의 타원형인 실제 3-공간 실린더의 평면 섹션에 의해 주어진다$.$

$2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 2d}$ -d차원$$ Laguere 평면(${\displaystyle }$ ${\displaystyle =1}$, 2$${\$displaystyle d=1,2$ )의 자동형 그룹은 점 공간의 콤팩트 하위 집합에서 균일한 수렴의 토폴로지에 관한 Lie 그룹이며, 더욱이 이 그룹은 최대 7 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle 7d$ Laguer 면의 모든 자동형이다.각 병렬 클래스를 전체 자동 형태 그룹의 커널인 정상 서브그룹으로 고정한다.${\displaystyle \mathrm{희미}}$한 ${\displaystyle }$= ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle \dim \Sigma$=5}을$($를) 가진 $2개$의 ${\displaystyle$ \Sigma =5$}$차원$$ 라귀레 평면은 적절한$$ 꼬치 포물선을 넘는 난형 평면이다.^[65]인 ${\displaystyle \mathrm{2d}}$ ${\displaystyle 2d}$ -차원$$ 라구에르 평면만이 한 \\ > ${\displaystyle \dim \Sigma >5d$ 참조,^[66][67] cf.

동질 라구에르 평면

If the automorphism group ${\displaystyle \Sigma }$ of a ${\displaystyle 2d}$-dimensional Laguerre plane ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ is transitive on the set of parallel classes, and if the kernel ${\displaystyle T\triangleleft \Sigma }$ is transitive on the set of circles, then ${\displayst$$yle {\mathcal{L}}$은(는) 고전적이다. 2.1,2를 참조하십시오.

그러나 원 집합에 있는 자동형성 집단의 $전이성$은 2 ${\displaystyle d}${\$displaystyle 2d}$ - 차원$$ 라구에르 평면 중 고전적 모델을 특징짓는 데 충분하지 않다.

민코프스키 비행기

The classical model of a Minkowski plane has the torus ${\displaystyle \mathbb {S} _{1}\times \mathbb {S} _{1}}$ as point space, circles are the graphs of real fractional linear maps on ${\displaystyle \mathbb {S} _{1}=\mathbb {R} \cup \{\infty \}}$. As with Laguerre planes, the point space로컬로 연결된 Minkowski 평면의 점 공간은 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$- $또는{\displaystyle \mathrm{}}$ 2$${\$displaystyle$${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$} - 차원이며$$, 점 공간은 Torus 또는 S ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ S ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\$mathb {S$} _{2$}} $참조$^[69]

동질 민코프스키 비행기

치수 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle d}$ ${\디스플레이$ 스타일 $2d}$의 민코프스키 $평면{\displaystyle \mathcal{}}$ M ${\$의 자동형성 그룹 $group{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Sigma}$이(가) 플래그 변환이라면 $M{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은 고전적이다.^[70]

${\displaystyle \mathrm{2d}}$ ${\displaystyle 2d}$ -차원$$ Minkowski 평면의 자동형 그룹은 최대 ${\displaystyle \mathrm{6d}}$ ${\displaystyle$ $6d$$}$에서 차원의 Lie 그룹이다$.$$$dim ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle$ ^[71]$\Sigma \geq$ 4$}$이(가)가 흐릿하게 보이는$$ 모든 $2차원$ Minkowskowski.고전적인 ${\displaystyle \mathrm{2d}}$ ${\displaystyle 2d}$ -차원$$ 민코스키 평면만이 희미한 \ >> \ $\dim \Sigma >4d}$을(를) 참조한다^[72]

메모들

참조

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