전송 함수 행렬

제어시스템 이론 및 엔지니어링의 다양한 분과에서 전송함수 매트릭스 또는 저스트 전송 매트릭스는 싱글 입력 싱글 출력(SISO) 시스템의 다중 입력 및 다중 출력(^[1]MIMO) 시스템에 대한 전송 기능의 일반화입니다.매트릭스는 시스템의 출력을 입력과 관련짓습니다.이는 s-평면으로 표현할 수 있기 때문에 선형 시간 불변(LTI) 시스템에 특히 유용한 구성입니다.

일부 시스템, 특히 완전히 수동적인 구성요소로 구성된 시스템에서는 어떤 변수가 입력이고 어떤 변수가 출력인지 모호할 수 있습니다.전기공학에서 공통적인 방식은 입력과 출력 중 어느 것이든 한쪽에 있는 모든 전압 변수와 다른 쪽에 있는 모든 전류 변수를 수집하는 것입니다.이것에 의해, 전송 매트릭스의 모든 요소가 임피던스 단위로 됩니다.임피던스의 개념(그리고 임피던스 매트릭스)은 특히 역학과 음향학 등 다른 에너지 영역에 차용되었습니다.

많은 제어 시스템은 여러 에너지 영역에 걸쳐 있습니다.이를 위해서는 요소가 혼합된 단위인 전송 행렬이 필요합니다.이는 도메인 간에 연결을 만드는 변환기를 설명하는 것과 시스템 전체를 설명하는 데 모두 필요합니다.매트릭스가 시스템 내 에너지 흐름을 적절하게 모델링하려면 이를 위해 호환 변수를 선택해야 합니다.

일반

m개의 출력과 n개의 입력을 가진 MIMO 시스템은 m × n개의 행렬로 표현된다.매트릭스 내의 각 엔트리는 출력과 입력을 관련짓는 전송 함수의 형태이다.예를 들어, 3입력, 2출력 시스템의 경우 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

${\displaystyle {bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}=param {bmatrix}g_{11}&g_{13}&g_{22}&g_{23}\end{bmatrix}{1}\u}\displaystyle {bmatrix}\y_{bmatrix}\y}\\\\\\\n}{11}$

여기서_n u는 입력, y는_m 출력, g는 전송_mn 함수입니다.이것은 행렬 연산자 표기법에서 다음과 같이 더 간결하게 쓰여질 수 있다.

$\displaystyle \mathbf {Y} = \mathbf {G} \mathbf {U} }$

여기서 Y는 출력의 열 벡터, G는 전달 함수의 행렬, U는 입력의 열 벡터입니다.

대부분의 경우 검토 중인 시스템은 선형 시간 불변(LTI) 시스템입니다.이 경우 변수의 Laplace 변환(연속 시간 변수의 경우) 또는 z 변환(이산 시간 변수의 경우)으로 전달 행렬을 표현하는 것이 편리합니다.예를 들어, 이것은 서면으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \mathbf {Y} (s)=\mathbf {G} (s)\mathbf {U} (s)}$

이는 변수와 행렬이 시간이 아니라 라플라스 변환에서 발생하는 s-평면의 복잡한 빈도 변수인 s에 있다는 것을 나타냅니다.이 기사의 예는 모두 이 형태로 가정되지만, 간결성을 위해 명시적으로 제시되지는 않는다.이산 시간 시스템의 경우 s는 z 변환의 z로 대체되지만 이후 분석과 차이가 없습니다.행렬은 적절한 유리 행렬일 때 특히 유용합니다. 즉, 행렬의 모든 요소가 적절한 유리 함수입니다.이 경우 상태 공간 표현을 ^[2]적용할 수 있습니다.

시스템 공학에서 전체 시스템 전송 행렬 G는 제어되는 시스템을 나타내는 H(s)와 제어 시스템을 나타내는 C(s)의 2부분으로 분해된다.C(s)는 G(s)의 입력과 H(s)의 출력을 입력으로 받아들인다.C(s)의 출력은 H(s)^[3]의 입력을 형성한다.

전기 시스템

전기 시스템에서는 입력 변수와 출력 변수의 구분이 애매한 경우가 많습니다.상황과 관점에 따라 둘 중 하나가 될 수 있습니다.이러한 경우 입력 및 출력보다 포트(한 시스템에서 다른 시스템으로 에너지가 전달되는 곳)의 개념이 더 유용할 수 있습니다.일반적으로 각 포트(p)에 대해 두 가지 변수, 즉 포트 전체의 전압(V_p)과 포트에 들어가는 전류(I_p)를 정의합니다.예를 들어, 2 포트 네트워크의 전송 매트릭스는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

${\displaystyle {bmatrix}V_{1}\V_{2}\end{bmatrix}={begin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\z_{22}\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}$

여기서_mn z를 임피던스 파라미터 또는 z 파라미터라고 합니다.임피던스 단위로 포트 전류를 포트 전압과 관련짓기 때문에 이러한 이름이 붙습니다.z 파라미터는 2포트 네트워크에 대해 전송 행렬을 정의하는 유일한 방법은 아닙니다.전압과 전류를 특정 시스템네트워크 ^[4]토폴로지의 장점과 관련짓는 6개의 기본적인 매트릭스가 있습니다.단, 이들 중 2개만2개의 포트를 넘어 임의의 수의 포트로 확장할 수 있습니다.이 두 가지는 z 파라미터와 그 역수인 어드미턴스 파라미터 또는 y ^[5]파라미터입니다.

포트 전압과 전류, 입력 및 출력 간의 관계를 이해하려면 단순 분압 회로를 고려하십시오.입력전압₁(V)을 인가하여 발생하는 출력전압(V₂)만을 고려한다면 전송함수는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{2}\end{bmatrix}={\dfrac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}V_{1}\end{matrix}}$

이는 1×1 전송 행렬의 사소한 경우로 간주될 수 있다.이 식은 포트 2에서 나가는 전류가 없는 경우 출력 전압을 올바르게 예측하지만 부하가 증가할수록 부정확해집니다.단, 회선을 역방향으로 사용하여 포트2의 전압으로 구동하여 포트1에서 생성되는 전압을 계산하면 포트1에 부하가 없는 경우에도 식은 완전히 잘못된 결과를 가져옵니다.포트 1에서 포트 2에 인가된 전압보다 더 큰 전압이 예상되지만 이와 같은 순수 저항 회로에서는 불가능합니다.회선의 동작을 올바르게 예측하려면 포트에 출입하는 전류도 고려해야 합니다.이것은 전송 매트릭스의 동작입니다.^[6]분압회로의 임피던스 매트릭스는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {bgin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}={begin{bmatrix}+R_{1}&R_{2}&R_{2}\end{batrix}\begin{matrix}}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}$

모든 입력 ^[7]및 출력 조건에서의 동작을 완전히 설명합니다.

마이크로파 주파수에서는 포트 전압 및 전류에 기초한 전송 매트릭스는 실제로 사용하기 편리하지 않습니다.전압은 직접 측정하기 어렵고 전류는 거의 불가능하며 측정 기법에 필요한 단선 및 단락을 정확하게 측정할 수 없습니다.도파관 구현의 경우 회로 전압과 전류는 전혀 의미가 없습니다.대신 다른 종류의 변수를 사용하는 전송 행렬이 사용됩니다.이러한 전력은 마이크로파 대역의 분산 소자 회로에서 사용되는 전송 선로 기술로 쉽게 측정할 수 있는 포트로 전송 및 반사됩니다.이러한 종류의 파라미터 중 가장 잘 알려져 널리 사용되는 것은 산란 파라미터 또는 ^[8]s-파라미터입니다.

기계 및 기타 시스템

임피던스의 개념은 기계적 전기적 유추를 통해 기계적 영역 및 기타 영역으로 확장될 수 있습니다.따라서 임피던스 파라미터 및 기타 형태의 2포트 네트워크 파라미터도 기계적 영역으로 확장될 수 있습니다.이를 위해 노력 변수와 흐름 변수를 각각 전압과 전류의 아날로그로 만듭니다.변환 중인 기계 시스템의 경우 이러한 변수는 각각 ^[9]힘과 속도입니다.

전기 회로와 마찬가지로 컴포넌트가 역방향으로 작동할 수 있고 그 동작은 입력 및 출력의 부하에 따라 달라지기 때문에 기계 컴포넌트의 동작을 2포트 또는 멀티포트로 표현하는 것은 유용한 방법입니다.예를 들어, 기어 트레인은 종종 단순히 기어비, 즉 SISO 전달 기능으로 특징지어집니다.그러나 MIMO 분석이 필요한 입력축을 회전시키기 위해 기어박스 출력축을 회전시킬 수 있습니다.이 예에서 노력과 흐름 변수는 각각 토크 T와 각속도 θ이다.z 파라미터의 전송행렬은 다음과 같습니다.

$(\displaystyle \ bmatrix \T_{1}\\T_{2}\end{bmatrix}=sbegin{bmatrix}z_{11}&z_{12}\\\z_{21}\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}\{1}\\\\\\\\obegin{bmatrix}$

그러나 z-파라미터가 기어 트레인의 특성을 파악하는 데 가장 편리한 것은 아닙니다.기어 트레인은 전기 변압기와 유사하며, H 파라미터(^[10]하이브리드 파라미터)는 회전비(기어비의 유사)를 직접 포함하므로 변압기를 더 잘 설명합니다.h-파라미터 형식의 변속기 이송 매트릭스는 다음과 같다.

$(\displaystyle \ bmatrix \T_{1}\\Omega_{2}\end{bmatrix}={bmatrix}h_{11}&h_{12}\h_{22}\end{bmatrix}{\h{bmatrix}\moder{1}\\\\moder{bmatrix}\\\moder {1}\\matrix{bmatrix}T_{2}\end {bmatrix}}$

어디에

h는₂₁ 출력에 부하가 없는 기어 트레인의 속도비이다.

h는₁₂ 입력축이 클램프된 기어 트레인의 역방향 토크비로, 이상적인 변속 장치의 전진 속도 비율과 같다.

h는₁₁ 출력축에 부하가 없는 입력 회전 기계 임피던스이며, 이상적인 변속 장치의 경우 0입니다.

h는₂₂ 입력축을 클램프했을 때의 출력 회전 기계 어드미턴스입니다.

손실(마찰, 변형 등)이 없는 이상적인 기어 트레인의 경우 다음과 같이 단순화됩니다.

$(\displaystyle \ bmatrix \T_{1}\\Omega_{2}\end{bmatrix}=(begin{bmatrix}0&N\)\N&0\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}\Omega_{1}\\T_{2}\end {bmatrix}}$

여기서 N은 기어비입니다.^[11]

변환기 및 액추에이터

여러 에너지 도메인으로 구성된 시스템에서는 서로 다른 도메인에 있는 포트를 가진 구성요소를 처리할 수 있는 전송 매트릭스가 필요합니다.로봇 공학 및 메카트로닉스에서는 액추에이터가 필요합니다.예를 들어 전기 영역의 제어 시스템에서 기계 영역의 동작으로 변환하는 변환기로 구성됩니다.제어 시스템은 또한 움직임을 감지하고 다른 변환기를 통해 다시 전기 영역으로 변환하여 피드백 루프를 통해 움직임을 적절하게 제어할 수 있도록 하는 센서가 필요합니다.시스템의 다른 센서는 광학적, 오디오적, 열적, 유체 흐름 및 화학과 같은 다른 에너지 영역을 전기 신호로 변환하는 변환기일 수 있습니다.또 다른 응용 분야는 전기와 기계 영역 간의 양방향 변환기를 필요로 하는 기계 필터 분야이다.

간단한 예로는 전자 컨트롤러에 의해 구동되는 전자기 전자기식 액추에이터가 있습니다.이를 위해서는 전기 영역에 입력 포트가 있고 기계 영역에 출력 포트가 있는 변환기가 필요합니다.이것은 SISO 전송 함수에 의해 간단하게 표현될 수 있지만, 이미 설명한 것과 유사한 이유로 2입력, 2출력 MIMO 전송 매트릭스에 의해 보다 정확한 표현이 실현됩니다.z-파라미터에서는 이것이 형태를 취합니다.

$(\displaystyle\begin{bmatrix}V\\)F\end {bmatrix}=(begin {bmatrix}z_{11}&z_{12}\z_{212}&z_{22}\end{bmatrix}{\begin{bmatrix})I\\v\end{bmatrix}}$

여기서 F는 액추에이터에 가해지는 힘이고 v는 액추에이터의 결과 속도입니다.여기서 임피던스 파라미터는 유닛의 혼합입니다.z는₁₁ 전기적 임피던스, z는₂₂ 기계적 임피던스, 나머지 2개는 유닛의 하이브리드 ^[12]믹스에서의 트랜스 임피던스입니다.

음향 시스템

음향 시스템은 유체 역학의 하위 집합이며, 두 분야에서 주요 입력 및 출력 변수는 고체 구성 요소를 통해 소리가 이동하는 경우를 제외하고 압력, P 및 체적 유량 Q입니다.후자의 경우 역학의 주요 변수인 힘과 속도가 더 적절하다.2포트 음향 구성 요소의 예로는 배기 시스템의 머플러와 같은 필터가 있습니다.전송행렬의 표현은 다음과 같이 보일 수 있습니다.

${\displaystyle\begin{bmatrix}P_{2}\Q_{2}\end{bmatrix}={begin{bmatrix}T_{11}&T_{12}\\T_{214}&T_{22}\end{bmatrix}{\begin{bmatrix}P_{1}\Q_{1}\end{bmatrix}}$

여기서 T는_mn ABCD 파라미터라고도 불리는 전송 파라미터입니다.구성 요소는 z 매개 변수로도 쉽게 설명할 수 있지만, 한 출력의 캐스케이드로 다른 입력 포트에 연결된 두 포트로 구성된 시스템을 다룰 때 전송 매개 변수는 수학적 이점이 있습니다.이러한 경우 전체 전송 파라미터는 구성부품의 ^[13]전송 파라미터 행렬의 행렬 곱셈에 의해 간단히 구할 수 있다.

호환 변수

서로 다른 에너지 영역의 혼합 변수를 다룰 때 유사한 변수를 고려할 필요가 있다.선택은 분석의 목적에 따라 달라집니다.시스템 전체의 에너지 흐름을 올바르게 모델화하려면 한 에너지 영역의 검정력(파워 켤레 변수)이 곱인 변수 쌍이 다른 영역의 검정력 켤레 변수에 매핑되어야 합니다.검정력 켤레 변수는 고유하지 않으므로 ^[14]시스템 전체에서 동일한 변수 매핑을 사용하도록 주의해야 합니다.

공통 매핑(이 문서의 일부 예에서 사용)은 각 도메인에서 작업 변수(액션을 시작하는 변수)를 함께 매핑하고 각 도메인에서 흐름 변수(액션의 속성인 변수)를 함께 매핑합니다.각 노력 및 흐름 변수 쌍은 검정력 켤레입니다.이 시스템은 각 도메인의 흐름 변수에 대한 노력의 비율이 전기적 ^[15]임피던스와 유사하기 때문에 임피던스 유추라고 불립니다.

동일한 변수에 사용되는 두 개의 다른 검정력 켤레 시스템이 있습니다.이동성 유추는 기계적 힘을 전압이 아닌 전류에 매핑합니다.이 비유는 기계 필터 설계자에 의해 널리 사용되며 오디오 전자제품에도 자주 사용됩니다.매핑은 도메인 전체에서 네트워크토폴로지를 유지할 수 있는 장점이 있지만 임피던스 매핑을 유지하지는 않습니다.트렌트 유추는 검정력 켤레 변수를 변수 간에 또는 시스템 요소 간에 작용하는지 또는 변수를 통해 작용하는지 여부에 따라 변수를 통해 분류합니다.이는 유체 흐름 영역(음향 영역 포함)의 경우를 제외하고 대부분 모빌리티와 유사합니다.여기서 압력은 전류(이동성 유추)가 아닌 전압(임피던스 유추)과 유사합니다.그러나 힘이 ^[16]물체를 통해 작용하기 때문에 기계적 영역에서의 힘은 전류와 유사합니다.

멱공역쌍을 사용하지 않는 일반적인 유사점이 있습니다.센서의 경우 에너지 흐름을 올바르게 모델링하는 것은 그리 중요하지 않을 수 있다.센서는 종종 시스템에 아주 적은 양의 에너지만 추출합니다.측정이 편리한 변수, 특히 센서가 감지하는 변수를 선택하는 것이 더 유용할 수 있습니다.예를 들어 열저항 유추에서 열저항은 전기저항과 유사한 것으로 간주되므로 온도차이와 열전력이 각각 전압과 전류에 매핑됩니다.온도차이의 전력공역량은 열전력이 아니라 엔트로피 유량인데, 이는 직접 측정할 수 없는 것입니다.같은 종류의 또 다른 유추는 자기 영역에서 발생합니다.이는 자기저항을 전기저항에 매핑하여 호환 ^[17]변수에 필요한 자속 변화율 대신 전류에 자속을 매핑합니다.

역사

선형 대수 방정식의 행렬 표현은 오랫동안 알려져 왔다.1907년 푸앵카레는 변환기를 전기 변수(전압과 전류)와 기계적 변수(힘과 속도)를 관련짓는 방정식의 쌍으로 설명한 최초의 인물이다.1921년, 웨겔은 전기 ^[18]임피던스뿐만 아니라 기계적 임피던스의 측면에서 이러한 방정식을 최초로 표현했다.

MIMO 제어 시스템을 나타내기 위해 전달 행렬을 최초로 사용한 것은 1950년 복센봄과 후드가지만, 그들이 항공 ^[19]자문 위원회에서 연구하던 가스터빈 엔진의 특정 사례에만 해당되었다.Cruickshank는 1955년에 더 확실한 기반을 제공했지만 완전한 일반성은 제공하지 않았다.1956년 카바나는 시스템과 제어 사이의 매트릭스 관계를 확립하고 ^[20]제어 하에 시스템의 규정된 동작을 전달할 수 있는 제어 시스템의 실현 가능성에 대한 기준을 제공하는 최초의 완전한 일반 처리를 했다.

「 」를 참조해 주세요.

• 전송행렬법(광학)

레퍼런스

참고 문헌

• Bessai, Horst, MIMO Signals and Systems, Springer, 2006 ISBN038727457X.
• Bakshi, A.V., Bakshi, U.A., Network Theory, Technical Publications, 2008 ISBN 8184314027.
• Boksenbom, Aaron S.; Hood, Richard, "복잡한 엔진 유형의 제어 분석에 적용된 일반 대수적 방법", NACA Report 980, 1950.
• Busch-Vishniac, Ilene J., 전기기계 센서 및 액추에이터, Springer, 1999 ISBN 038798495X.
• Chen, Wai Kai, The Electric Engineering Handbook, Academic Press, 2004 ISBN 0080477488.
• Choma, John, 전기 네트워크: 이론과 분석, Wiley, 1985년 ISBN 0471085286.
• Cruickshank, A. J. O., "제어 시스템 방정식의 행렬 공식", The Matrix and Tensor Quarterly, vol. 5, no. 3, 페이지 76, 1955.
• Iyer, T. S. K. V., 회로 이론, Tata McGraw-Hill Education, 1985 ISBN 0074516817.
• 캐버나, R. J., "다변수 제어 시스템에 매트릭스 방법의 적용", 프랭클린 연구소의 저널, 262, iss. 5, 페이지 349–367, 1956년 11월.
• Koenig, Herman Edward; Blackwell, William A., McGraw-Hill, 1961 OCLC 564134
• Levine, William S., The Control Handbook, CRC Press, 1996 ISBN 0849385709.
• Nguyen, Cam, 무선 주파수 집적회로 엔지니어링, Wiley, 2015 ISBN 1118936485.
• 올슨 A., "H-파라메터에 의한 변압기의 특성", IEEE Transactions on Circuit Theory, vol. 13, iss. 2, 페이지 239–240, 1966년 6월.
• 피어스, 앨런 D음향: 물리 원리와 응용에 대한 소개, 미국 음향학회, 1989 ISBN 0883186128.
• 푸앵카레, H., "Etude du réceptur téléphonique", Eclairage Electrique, vol. 50, 221–372, 1907.
• Wegel, R. L., "전화 수신기 및 이와 유사한 구조에 적용되는 자기 기계 시스템의 이론", 미국 전기 엔지니어 협회 저널 40권, 페이지 791–802, 1921.
• Yang, Won Y.; Lee, Seung C., MATLAB 및 PSpice를 사용하는 회선 시스템, Wiley 2008, ISBN 0470822406.