난류 모델링

보잉 슈퍼컴퓨팅

난류 모델링은 난류의 영향을 예측하기 위한 수학적 모델의 구성과 사용이다. 난류 흐름은 심혈관계 시스템을 통한 피의 흐름,^[1] 항공기 날개 위의 기류,^[2] 우주선 재진입 ^[3]등 대부분의 실제 시나리오에서 흔히 볼 수 있는 현상이다. 수십 년간의 연구에도 불구하고, 이러한 격동의 흐름의 진화를 예측하는 분석 이론은 없다. 난류를 다스리는 방정식은 단순한 흐름의 경우에 대해서만 직접 풀 수 있다. 대부분의 실제 생활 난류 흐름에서 CFD 시뮬레이션은 난류 진화를 예측하기 위해 난류 모델을 사용한다. 이러한 난류 모델은 난류 흐름의 통계적 진화를 예측하는 단순화된 구성 방정식이다.^[4]

마감문제

더 나비에–스톡스 방정식은 유체 흐름의 속도와 압력을 조절한다. 난류 흐름에서 이들 수량은 각각 평균 부분과 변동 부분으로 분해될 수 있다. 방정식의 평균을 구하면 레이놀즈 평균 나비에가 된다.–평균 흐름을 제어하는 스톡스(RANS) 방정식 그러나, Navier의 비선형성은–Stokes 방정식은 대류 가속도로부터 $-\rho {\overline {v_{i}^{\prime }v_{j}^{\prime }}}$ - $-\rho {\overline {v_{i}^{\prime }v_{j}^{\prime }}}$ v i $-\rho {\overline {v_{i}^{\prime }v_{j}^{\prime }}}$ ′ $-\rho {\overline {v_{i}^{\prime }v_{j}^{\prime }}}$ $-\rho {\overline {v_{i}^{\prime }v_{j}^{\prime }}}$ { { { { { { ${$ \ $displaystyle$ - $\rho {\overline {v_{i}^{\prime }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}*$ 인 RANS 방정식에 속도 변동이 여전히 나타난다는 것을 의미한다. 이 용어는 레이놀즈 응력, $R_{ij}$ $R_{ij}$ ${\$ 로 알려져 있다 $R_{ij}$ ^[5] 평균 흐름에 미치는 영향은 압력이나 점도와 같은 스트레스 용어와 같다.

평균 속도와 압력만 포함하는 방정식을 얻으려면 레이놀즈 응력 조건 $R_{ij}$ $R_{ij}$ ${\$ 을 평균 흐름의 함수로 $R_{ij}$ 모델링하여 속도의 변동 부분에 대한 참조를 제거함으로써 RANS 방정식을 닫아야 한다. 이것이 폐쇄 문제다.

에디 점도

조셉 발렌틴 부시네크는 가장 먼저 에디 점성의 개념을 도입하여 폐쇄 문제를 공격했다.^[6] 1877년에 Boussineq는 방정식 시스템을 닫기 위해 난류 응력을 평균 흐름과 연관시킬 것을 제안했다. 여기서 Boussinesq 가설이 레이놀즈 스트레스 항을 모형화하는 데 적용된다. 새로운 비례 상수 $\nu _{t}>0$ $\nu _{t}>0$ > $\nu _{t}>0$ ${\displaystyle \nu _{t}0$ 난류 와이드 점성이 도입되었다는 점에 유의한다. 이러한 유형의 모델은 에디 점도 모델 또는 EVM으로 알려져 있다.

-{\overline {v_{i}^{\prime }v_{j}^{\prime }}}=\nu _{t}\left({\frac {\partial {\overline {v_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {v_{j}}}}{\partial x_{i}}}\right)-{\frac {2}{3}}k\delta _{ij}

그것은 속기할 수 있다.

-{\overline {v_{i}^{\premy }v_{j}^{\premy }}=2\nu_{t}S_{ij}-{2}{3}}}k\delta _{ij}}}}

여기서

S_{ij}

S_{ij}

{\

는 변형률 텐서 평균 비율이다

S_{ij}

.

\nu _{t}

\nu _{t}

{\

는

\nu_t

난류 와이드 점성이다.

k={\frac {1}{2}}{\overline {v_{i}'v_{i}'}}

=

k={\frac {1}{2}}{\overline {v_{i}'v_{i}'}}

k={\frac {1}{2}}{\overline {v_{i}'v_{i}'}}

k={\frac {1}{2}}{\overline {v_{i}'v_{i}'}}

v

k={\frac {1}{2}}{\overline {v_{i}'v_{i}'}}

′{{\

frac {1}{1

}:{2}}:

{\overline {v_{i}'v_{i}}}}}}}}

은

k={\frac {1}{2}}{\overline {v_{i}'v_{i}'}}

난류 운동 에너지다.

그리고

\delta _{ij}

\delta _{ij}

\delta _{ij}

{\

은

\delta _{ij}

크로네커 델타다.

이 모델에서, 분자 점도를 황색 점도로 증가시킴으로써 추가적인 난류 응력이 주어진다.^[7] 이것은 단순한 일정한 와이드 점성일 수 있다(축대칭 제트, 2-D 제트, 혼합 레이어 등 일부 자유 전단 흐름에 효과적이다).

프랜들 혼합 길이 개념

후에 루트비히 프란들르는 경계 층의 아이디어와 ^[8]함께 혼합 길이의 추가 개념을 도입하였다. 벽 경계 난류 흐름의 경우, 와이드 점도는 벽으로부터의 거리에 따라 달라져야 하므로 '믹싱 길이'라는 개념이 추가된다. 가장 단순한 벽 경계 유동 모델에서 와이드 점도는 다음 방정식에 의해 주어진다.

{\displaystyle \nu _{t}=\왼쪽 {\frac {\frac {\fract u}{\}}{\frac y}}\오른쪽 l_{m}^{2}}:

여기서:

{\frac {\partial u}{\partial y}}

{\frac {\partial u}{\partial y}}

{\frac {\partial u}{\partial y}}

{\frac {\partial u}{\partial y}}

{\

y

}}

은

\frac{\partial u}{\partial y}

벽 정상 방향(y)에 대한 흐름 속도(u)의 부분 파생형이다.

l_{m}

l_{m}

{\

은(는) 혼합 길이입니다

l_{m}

.

이 간단한 모델은 "벽의 법칙"의 기초가 되는데, 이는 압력 구배가 작은 벽 경계, 부착(분리되지 않은) 유동장에 대해 놀라울 정도로 정확한 모델이다.

보다 일반적인 난류 모델은 시간이 지남에 따라 진화해 왔으며, 대부분의 현대 난류 모델은 Navier와 유사한 필드 방정식에 의해 제공되었다.-스토크 방정식.

서브그리드 스케일 에디 점도용 스마고린스키 모델

조셉 스마고린스키는 속도장과 국부 그리드 크기에 ^[9]기초하여 Large Eddy Simulation 모델에서 가장 먼저 와이드 점도의 공식을 제안했다.

\nu _{t}=\Delta x\Delta y{\sqrt {\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right)^{2}}}

Large Eddy Simulation의 맥락에서 난류 모델링은 여과 속도 영역의 특징 측면에서 서브그리드 스케일 응력을 매개변수화할 필요성을 의미한다. 이 분야를 서브그리드 스케일 모델링이라고 한다.

Spalart-Allmaras, k–³ 및 k–Ω 모델

부신스큐 가설은 Spalart-Allmaras(S–A), k–³(k–epsilon), k–Ω(k–oomega) 모델에 사용되며 난류 점도 $\nu _{t}$ t ${\$ 에 대한 비교적 낮은 비용 연산을 제공한다 $\nu _{t}$ S-A 모델은 난류 점도 운송을 모델링하기 위해 하나의 추가 방정식을 사용하는 반면, k–3 및 k–Ω 모델은 2를 사용한다.

공통 모델

다음은 현대 엔지니어링 애플리케이션에서 일반적으로 사용되는 모델에 대한 간략한 개요다.

스팔라트-알마라스(S-A)

Spalart-Allmaras 모델은^[10] 키네마틱 와이드 난류 점도에 대해 모델링된 전송 방정식을 해결하는 1등분 모델이다. Spalart-Allmaras 모델은 벽 경계 흐름과 관련된 항공우주 애플리케이션을 위해 특별히 설계되었으며, 역압 구배를 받는 경계 층에 좋은 결과를 제공하는 것으로 나타났다. 그것은 또한 터보모미터 어플리케이션에서도 인기를 얻고 있다.^{[citation needed]}

k–16 (k–엡실론)

K-엡실론(k-csilon) 난류 모델은^[11] 난류 유체의 평균 흐름 특성을 시뮬레이션하기 위해 CFD(computing fluid dynamics)에 사용되는 가장 일반적인 모델이다. 그것은 두 개의 운송 방정식(PDE)을 이용하여 난류에 대한 일반적인 설명을 제공하는 2등분 모델이다. K-엡실론 모델에 대한 원래 자극은 혼합 길이 모델을 개선하고, 중간에서 높은 복잡성 흐름에서 난류 길이 척도를 대수적으로 처방하는 대안을 찾는 것이었다.

k–Ω(k–omega)

계산 유체 역학에서 k-omega(k–Ω) 난류 모델은^[12] 레이놀즈 평균 나비에의 폐쇄로 사용되는 일반적인 2등분 난류 모델이다.–스토크 방정식(RANS 방정식) 모델은 k와 Ω이라는 두 변수에 대해 두 개의 부분 미분 방정식으로 난류를 예측하려고 시도하는데, 첫 번째 변수는 난류 운동 에너지(k)인 반면 두 번째(Ω)는 (내부 열 에너지에 대한 난류 운동 에너지 k의) 소산 비율이다.

SST(멘터의 전단 응력 전달)

SST(Menter의 전단 응력 전달) 난류 모델은^[13] 널리 사용되고 컴퓨터 유체 역학에서 사용되는 강력한 2등분 와이드 점도 난류 모델이다. 이 모델은 k-omega 난류모델과 K-엡실론 난류모델을 결합하여 k-omega가 경계층 내부 영역에서 사용되고 자유 전단흐름에서 k-엡실론으로 전환된다.

레이놀즈 응력 방정식 모델

레이놀즈 응력 방정식 모델(RSM)은 두 번째 모멘트 폐쇄 모델이라고도 하며 가장 완전한 고전적 난류 모델링 접근법이다.^[14] k–³(k–epsilon) 모델과 k–Ω(k–omega) 모델과 같은 인기 있는 와일드 점성 기반 모델은 복잡한 엔지니어링 흐름에서 중요한 단점을 가지고 있다. 이것은 그 공식에 황도-점성 가설을 사용했기 때문에 발생한다. 예를 들어, 높은 수준의 음이소트로피, 상당한 능률화 곡률, 흐름 분리, 재순환 흐름의 구역 또는 회전 효과의 영향을 받는 흐름에서, 그러한 모델의 성능은 만족스럽지 못하다.^[15] 그러한 흐름에서 레이놀즈 응력 방정식 모델은 훨씬 더 나은 정확도를 제공한다.^[16]

황색 점도 기반 폐쇄는 붕괴하는 난류 흐름에서 관측되는 난류의 동위원소 복귀를 설명할 수 없다.^[17] 황도 기반 모델은 급격한 왜곡 한계에서 난류 흐름의 동작을 재현할 수 없으며,^[18] 난류 흐름은 기본적으로 탄성 매체처럼 작용한다.^[19]

참조

메모들

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