불확실성 이론

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불확실성 이론은 정규성, 단조로움, 자기이중성, 계수 가능한 하위addivity, 제품 측정 공리에 기초한 수학의 한 분야다.^{[clarification needed]}

사건이 참일 가능성에 대한 수학적 측정은 불확실성뿐만 아니라 확률 이론, 용량, 퍼지 논리, 가능성 및 신뢰성을 포함한다.

사공리

Axiom 1. (Normality Axiom) ${\displaystyle \text{M}}${ ${\displaystyle \mathrm{\gamma }\}}$= ${\displaystyle \text{범용 집합}}$ ${\displaystyle \gamma \mathrm{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{M}\\\\\Gamma \}=1$=1${\text{ 범용 집합 }$.

Axiom 2. (Self-Duality Axiom) ${\displaystyle {\mathcal {M}}\{\Lambda \}+{\mathcal {M}}\{\Lambda ^{c}\}=1{\text{ for any event }}\Lambda }$.

Axiom 3. (Countable Subaditivity Axiom) Ⅱ₁, Ⅱ₂, ...의 모든 countable 시퀀스에는

${\displaystyle {\mathcal {M}}\left\{\bigcup _{i=1}^{\infty }\Lambda _{i}\right\}\leq \sum _{i=1}^{\infty }{\mathcal {M}}\{\Lambda _{i}\}}$.

Axiom 4. (Product Measure Axiom) Let ${\displaystyle (\Gamma _{k},{\mathcal {L}}_{k},{\mathcal {M}}_{k})}$ be uncertainty spaces for ${\displaystyle k=1,2,\cdots ,n}$. Then the product uncertain measure ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ is an uncertain measure on the product σ-algebra-algebra 만족

${\displaystyle {\mathcal {M}}\left\{\prod _{i=1}^{n}\Lambda _{i}\right\}={\underset {1\leq i\leq n}{\operatorname {min} }}{\mathcal {M}}_{i}\{\Lambda _{i}\}}$.

원칙. (최대 불확실성 원칙) 어떤 사건에 대해서도 불확실한 측정이 취할 수 있는 합리적인 값이 여러 개일 경우 가능한 한 0.5에 가까운 값을 이벤트에 할당한다.

불확실한 변수

An uncertain variable is a measurable function ξ from an uncertainty space ${\displaystyle (\Gamma ,L,M)}$ to the set of real numbers, i.e., for any Borel set B of real numbers, the set ${\displaystyle \{\xi \in B\}=\{\gamma \in \Gamma \xi (\gamma )\in B\}}$ is an event.

불확도분포

불확도 분포는 불확실한 변수를 설명하기 위해 유도된다.

정의:불확실성 분포 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle R}$→${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \Phi (x):$불확실한 변수 ξ의$$ $R\rightarrow [0,1]}$은(는) ${\displaystyle \phi }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= M${\displaystyle }${ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle x}$} ${\displaystyle \Phi (x)=$로 정의된다.$M\{\xi \leq$ x$\backslash \}\}.$

정리(Peng and Iwamura, 불확실성 분포를 위한 충분하고 필요한 조건) $function{\displaystyle \mathrm{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$: R →${\displaystyle }$[${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \Phi (x):$$R{\displaystyle \mathrm{}}$$\rightarrow [0,1]}$은(는${\displaystyle )}$ ≡${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ )${\displaystyle 0}$ 0 ${\displaystyle \Phi (x)\equiv 0$} 및 $}$${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \Phi (x)\equiv 1$을 제외한 증가 함수인 경우에만 불확실한 분포다$$.

독립

정의: 불확실한 변수 ${\displaystyle {\xi \mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… , {$$m {\$displaystyle$ \xi $\xi _{1$},$\ldots,\xi _{m}$는 다음과 같은 경우 독립적이라고 한다$$.

${\displaystyle M\{{i}}{i=1}^{m}(\xi \in B_{i}\}}={\mbox{min}}}_{1\leq i\leq m}M\{i_{i}\i}\in B_{i}\}\}}}}}}}}}}}$

모든 보렐에 대해 B ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{B\mathrm{}}_{}}$ 2,${\displaystyle \dots ,}$ B ${\displaystyle m_{}}$ ${\$을(를) 실수로 설정한다.

정리 1: 불확실한 변수 $\xi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… , {$$m {\$displaystyle \xi \{1},$ \$xi _{$2}, $eldots$,\$xi$ _${m}$는 다음과 같은 경우 독립적이다$$.

${\displaystyle M\{i}{i=1}^{m}(\xi \in B_{i}\}}={\mbox{max}}_{1\leq i\leq m}M\i _{i}\i}\in B_{i}\}\}}}}}}}}}$

모든 보렐에 대해 B ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{B\mathrm{}}_{}}$ 2,${\displaystyle \dots ,}$ B ${\displaystyle m_{}}$ ${\$을(를) 실수로 설정한다.

정리 2: $\xi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$은(는) 독립적인$$ 불확실한 변수들로$$ 하고, $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$f 2,${\displaystyle }$f ${\displaystyle m_{}}$ ${\$ 그렇다면 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, … ,${\displaystyle }$f${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ ) , ${\displaystyle {}_{}}$(ξ m )${\displaystyle f_{1}(\xi _{1}), f_{2}(\xi _{2}),\ldots ,f_{$f_{$m}(\xi _{m})$은 독립적인 불확실한 변수다$$.

Theorem 3: Let ${\displaystyle \Phi _{i}}$ be uncertainty distributions of independent uncertain variables ${\displaystyle \xi _{i},\quad i=1,2,\ldots ,m}$ respectively, and ${\displaystyle \Phi }$ the joint uncertainty distribution of uncertain vector ${\displaystyle ({\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_m)}$${\displaystyle (\xi _{1},\xi _{2},\ldots,\$ldots,\$m$$\}.$ ${\displaystyle {\xi 1\mathrm{}}_{}}$,$$, $ξ$ m ${\$}이$($가) 독립되어 있다면$$, 우리는 다음과 같이 할 수 있다.

${\displaystyle \Phi(x_{1},x_{2},\ldots,x_{m}={\mbox{min}}}{1\leq i\leq m}\Phi _{i}(x_{i}})}$

모든 실제 번호 x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$x ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \dots ,{}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\$에 대해 $.$

운영법

정리: $\xi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$…${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$\xi _${1},\xi _{2},\ldots,\xi _{m}}$을(를) 독립적으로 불확실한 변수로 하고$$,${\displaystyle }$f : ${\displaystyle R^{}}$n → ${\displaystyle R}${\$displaystystyle f:$$R^{n}\오른쪽$ 화살표 $R}$ 측정$$ 가능한 함수. 그러면 ${\displaystyle \xi }$= f (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{\xi \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle m_{}}$m ) ${\displaystyle \xi =f(\xi _{1},\xi$ _${2},\ldots$,\$xi _{$m}}}는 다음과 같은 불확실한 변수다$$.

${\displaystyle{{M\mathcal}}\{\xi \in B\}={\begin{경우}{\underset{f(B_{1},B_{2},\cdots ,B_{n})\subset B}{\sup}}\;{\underset{1\leqk\leq n}{\min}}{{M\mathcal}}_{k}\{\xi_{k}\in B_{k}\},&,{\text{만약}}{\underset{f(B_{1},B_{2},\cdots ,B_{n})\subset B}{\sup}}\;{\underset{1\leqk\leq n}{\min}}{{M\mathcal}}_{k}\{\xi_{k}\in B_{k}\}>0.5\\.1-{\underset {f(B_{1},B_{2},\cdots ,B_{n})\subset B^{c}}{\sup }}\;{\underset {1\leq k\leq n}{\min }}{\mathcal {M}}_{k}\{\xi _{k}\in B_{k}\},&{\text{if }}{\underset {f(B_{1},B_{2},\cdots ,B_{n})\subset B^{c}}{\sup }}\;{\underset {1\leq k\leq n}{\min }}{\mathcal {M}}_{k}\{\xi _{k}\in B_{k}\}>0.5\\0.5,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

where ${\displaystyle B,B_{1},B_{2},\ldots ,B_{m}}$ are Borel sets, and ${\displaystyle f(B_{1},B_{2},\ldots ,B_{m})\subset B}$ means ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})\in B}$ for any${\displaystyle x_1\in B_1}$${\displaystyle {}_{},}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\displaystyle \dots ,{}_{}}$ m ${\displaystyle m_{}}$B ${\displaystyle m_{}}$ ${\$}\$in B_{1},x_{2$}\$ldots,x_{m}\in B_{m$

기대값

정의: $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$을(를) 불확실한 변수로$$ 두십시오. 그런 $다음{\displaystyle }$ {$${\$displaystyle \xi}$의 예상 값은 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle E[\xi ]=\int _{0}^{+\nft }M\{\xi \geq r\}dr-\int _{-0}M\{\xi \leq r\}dr}$

두 통합 중 적어도 하나가 유한할 경우.

정리 1$:$ 불확도 분포 $\phi {\displaystyle }$ {\$displaystyle \xi$}을(를) 불확실성 분포 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \Phi }$을(를) 가진 불확실한 변수가 되게$$ 하라$.$ 예상 값이 존재한다면, 그 다음

${\displaystyle E[\xi ]=\int _{0}^{+\int }(1-\Phi (x))dx-\int _{-\int _{-\infit }{0}\Phi (x)dx.}$

정리 2: $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$을(를) 정규 불확도 분포 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi }$을(를) 갖는 불확실한 변수로 삼자$$$.$ 기대값이 존재한다면,

${\displaystyle E[\xi ]=\int _{0}^{1}\Phi ^{-1}(\alpha )d\alpha .}$

정리 3: $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi }$ 및 $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta }$을(를) 유한 기대값을 갖는 독립적인 불확실한 변수가 되게$$ 한다. 그러면 모든 실제 숫자에 $대해{\displaystyle }$ a ${\displaystyle a}$ 및$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$을(를) 사용하십시오$.$

$(\displaystyle E[a\xi +b\eta ]=aE[\xi ]+b[\eta ]).}$

분산

정의: $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$을(를) 유한 기대값 $e{\displaystyle }$ ${\displaystyle e}$을(를) 가진 불확실한 변수로$$ 두십시오$.$ 그런 다음 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$의 분산이 다음에 의해 정의된다$$.

$[\displaystyle V[\xi ]=E[(\xi -e)^{2}]}$

정리: ▼ ${\displaystyle \xi}$이(가) 유한 기대값을 갖는 불확실한 변수라면$$ ${\displaystyle a}$ 및 $b$ ${\displaystyle$ b$}$이(가) $실제{\displaystyle }$ 숫자임$$

${\displaystyle V[a\xi +b]=a^{2}V[\xi ]}$

임계치

정의: $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$을(를) 불확실한 변수로 하고$$, $\alpha {\displaystyle (}$ ${\displaystyle (0,}$ 1 $]$ {\$displaystyle \alpha \in (0,1])$을(를)로 한다$.$ 그런 다음

${\displaystyle \xi \{sup}(\alpha )=\sup\{r\mid M\{\xi \geq r\}\geq \alpha \}}}}}}$

$\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$에 대한 α-값이라고 하며$,$

${\displaystyle \xi \{inf}(\alpha )=\inf\{r\mid M\{\xi \leq r\}\geq \alpha \}}}}}}$

$\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$에 대한 α-값이라고 한다$.$

정리 1: $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$을(를) 정규 불확도 분포$\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ {\$displaystyle \Phi }$을(를) 갖는 불확실한 변수로$$ 삼자$.$ 그러면 α-최적값과 α-페시미즘 값이 된다.

${\displaystyle {\xi }_{}}$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle {\mathrm{\phi }}^{}}$- ${\displaystyle 1{}^{}}$( 1 -${\displaystyle \alpha }$) ${\displaystyle \xi _{sup}(\alpha )=\Phi ^{-1}(1-\alpha$ $)\},$

${\displaystyle {\xi }_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ n ${\displaystyle f_{}}$(${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle )}$= ${\displaystyle {\mathrm{\phi }}^{}}$- 1 (${\displaystyle {}^{}\alpha }$) ${\displaystyle \xi _{inf}(\alpha )=\Phi ^{-1}(\alpha$ $)\}.$

정리 2: $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$을(를) 불확실한 변수로 하고$$, $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$(${\displaystyle 0,}$ 1$]$ {\$displaystyle \alpha \in$ ($0,$1$])\}$ 그러면 우리는

• > ${\displaystyle \cHB >$0.5인 경우, ${\displaystyle i_{}}$ i ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\alpha }$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle s_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ p ${\displaystyle {}_{}\alpha }$)$${\$displaystyle \xi _{inf}(\inf)\geq \xi \sup}(\cHB$ $);;$
• 만약 α ≤ 0.5{\displaystyle \alpha 0.5\leq}, 그때 ξ 나는 ξ s너 p{\displaystyle \xi_{ 떨어지는 급작스러}(\alpha)\leq \xi _ᆮ(\alpha)(α)≤}(α)f에 담아라.

정리 3:ξ{\displaystyle \xi}과η{\displaystyle \eta}독립심 불확실한 변수 및 α ∈(0,1]{\displaystyle \alpha \in(0,1]}. 그러면 우리 수 있다고 합시다.

s(ξ+η)너 p(α))ξ의 up(α)+η s너 pα{\displaystyle(\xi +\eta)_{저녁밥을 먹다}(\alpha)=\xi _ᆯ(\alpha)+\eta _{저녁밥을 먹다}{\alpha}},.

(ξ+η)i)ξ 나는(α)f의 스녀+η 나의 fα{\displaystyle(\xi +\eta)_{inf}(\alpha)=\xi _ᆯ(\alpha)+\eta _{inf}{\alpha}}, f(α)에 담아라.

s(ξ ∨ η)너 p(α))의 ξ 너 pη s너 p{\displaystyle(\xi \vee \eta)_{저녁밥을 먹다}(\alpha)=\xi _ᆯ(\alpha)\vee \eta _{저녁밥을 먹다}{\alpha}α∨},(α).

${\displaystyle }($$ξ$ $η$ ) ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\alpha }$)${\displaystyle }$= = ${\displaystyle i_{}}$ f ${\displaystyle {}_{}\alpha }$ )${\displaystyle }$=$$∨ i $i i$ ${\displaystyle i_{}}$ i ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ α α α$$ α α α \$\$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \$\$ \ \ \ \$$α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α \ \ α { { \

$(ξ ∧$ ) s ${\displaystyle u_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$($α$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\xi }_{}}$ s ${\displaystyle u_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle \alpha }$) ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ u u ${\displaystyle u_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ u u u ${\displaystyle {}_{}}$ α \ \$\$\ \ \ \ \ $\$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ { { { {$${ { { { { $\{$$${ { { u$$u u u u u u u u u u u \ u u u u

$( ξ$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle )}$ ) ${\displaystyle i_{}}$ f${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle \alpha }$) = ${\displaystyle i_{}}$ i ${\displaystyle f_{}}$(${\displaystyle \alpha }$) =$$${\displaystyle \wedge }$ i $η$ ∧ i ${\displaystyle i_{}}$ i ${\displaystyle f_{}}$ α α α$$α $α$ { \ \ \ \ \ \ \ \ $\ \$\ \ \ \ \ \ \ \ \ α α α α α { { α α { { \ \ α { { α$$α { { { \ \ \ \ \ \ { { \

엔트로피

정의: 불확실성 분포 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$을(를) 불확실성 분포 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi }$과(와) 함께 불확실한 변수가 되게$$ 한 다음 엔트로피를 정의한다$.$

${\displaystyle H[\xi ]=\int _{-\infit }^{+\infit }S(\Phi (x)dx}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $S{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- t ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle \mathrm{t}}$)${\displaystyle }$-${\displaystyle }$( 1${\displaystyle }$- ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle S(x)=-t(t)-(1-t)\ln(1-t$

정리 1(다이와 첸): $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$을(를) 정규 불확실성 분포 $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Phi }$과(와) 함께 불확실한 변수로 설정$$$.$ 그러면

${\displaystyle H[\xi ]=\int _{0}^{1}\Phi ^{-1}(\alpha )\ln {\frac {\alpha }{1-\alpha }}$

정리 2: $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi }$ 및$$ $\eta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \eta }$을(를) 독립 불확실한 변수가 되게 한다. 그러면 모든 실제 숫자에 $대해{\displaystyle }$ a ${\displaystyle a}$ 및$$ $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$을(를) 사용하십시오$.$

$(\displaystyle H[a\xi +b\eta ]= E[\xi ]+ b[\eta ]= a E[\eta ]).}$

정리 3: 불확도 분포가 임의적이지만 $기대값{\displaystyle }$ e ${\displaystyle e}$과 분산 ${\displaystyle {\sigma \mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$ $.$ 그렇다면$$ $\xi {\displaystyle }$ ${\$displaystyle \sigma $^}$ .

${\displaystyle H[\xi ]\leq {\frac {\pi \sigma }{\sqrt{3}}.}$

불평등

정리 1(리우, 마르코프 불평등): $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}$을(를) 불확실한 변수로$$ 두십시오. 그러면 주어진 숫자 > ${\displaystyle t>0}$ 및 > ${\displaystyle p>0}$에 대해 우리는 다음과 같이 한다.

${\displaystyle M\{ \xi \geq t\}\leq {\E[ \xi ^{p}}{t^{p}}}}.}$

정리 2(Liu, Chebyshev 불평등) $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle$ ${\displaystyle \backslash }$$xi }$ 분산 $[\displaystyle V[\xi ]}$이(가) 존재하는$$ 불확실한 변수가$$ 되게 한다. 그러면 주어진 숫자 > ${\displaystyle t>0$에 대해 우리는

${\displaystyle M\{ \xi -E[\xi ] \geq t\}\leq {\frac {V[\xi ]}{t^{2}}.}$

정리 3(류, 보유자의 불평등)1/p+1/q=1{1/p+1/q=1\displaystyle}과 p{p\displaystyle}와 q{\displaystyle q} 긍정적인 숫자 및 E[pξ]<>로ξ{\displaystyle \xi}과 η{\displaystyle \eta}독립적으로 불확실한 변수, ∞{\displaystyle E경우자.\x$i ^{p}}<\inful$ 와 E[ ] ${\displaystyle$E$[ \eta ^{q$ 그러면 $우리는$

${\displaystyle E[ \xi \eta ]\leq {\sqrt[{p}]{{p}}{E[ \xi ^{p}}}}}{\sqrt[{p}]{E[\eta ^{p}}}}.}$

정리 4:(류[127], 민코프 스키 불평등)1{\displaystyle p\leq 1}≤ p과 p{p\displaystyle}는 진짜 숫자, E[pξ]<>로ξ{\displaystyle \xi}과 η{\displaystyle \eta}독립적으로 불확실한 변수, ∞{\displaystyle E[\xi ^{p}]<, \infty}와 E경우 η자. q【 $[\displaystyle E[ \eta ^{q}}}<\flatty$ 그러면 우리는 다음과 같다.

${\displaystyle {\sqrt[{p}]{E[ \xi +\eta ^{p}}}}}\leq {\sqrt[{p}]{{p}}{E[ \xi ^{p}}}}}+{\sqrt[{p}]{E[\eta ^{p}}}}.}$

수렴개념

Definition 1: Suppose that ${\displaystyle \xi ,\xi _{1},\xi _{2},\ldots }$ are uncertain variables defined on the uncertainty space ${\displaystyle (\Gamma ,L,M)}$. The sequence ${\displaystyle \{\xi _{i}\}}$ is said to be convergent a.s. to ${\displaystyle \xi }$ if the$M{\displaystyle }$ {${\displaystyle \mathrm{\lambda }\}}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle M\{\Lambda$ $\}=$1$}$이(가) 있는 이벤트$$ $event{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \{\$Lambda $\}=$1}이(가$$) 다시 존재함

$\displaystyle \lim _{i\to \ft } \xi _{i}(\ft )-\xi (\ft ) =0}$

${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$ ${\displaystyle \in }$ { ${\displaystyle \gamma \in \Lambda$ $\}.$ 이 경우 ${\displaystyle {\xi }_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$→ $\displaystyle \xi _{i}\to \xi$ $\}$a.

정의 2: $\xi {\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{\xi \mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$… ${\displaystyle \xi ,\xi _{1},\xi _{2},\ldots }$이(가) 불확실한 변수라고$$ 가정해 보자. 시퀀스 {${\displaystyle {\xi }_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}${\$displaystyle$\{\$xi _{i}\}}}$은(는) $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}($으$$)로 수렴된다고 한다$$.

$\displaystyle \lim _{i\to \infit }M\{\xi _{i}-\xi \leq \varepsilon \}=0}$

> ${\displaystyle \varepsilon >0}$에 대해

정의 3: $\xi {\displaystyle }$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$… ${\displaystyle \xi ,\xi _{1},\xi _{2},\ldots }$이(가) 유한 기대값을 갖는 불확실한 변수라고$$ 가정하자. 순서${\displaystyle }${ ${\displaystyle {\xi }_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \{\xi _{i}\}\}$은(는$$) 평균적으로 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi}($으$$)로 수렴된다고 한다.

${\displaystyle \underset{}{im}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$→ ${\displaystyle \underset{}{\mathrm{\infty }}}$ ${\displaystyle \underset{}{}}$ [${\displaystyle \xi {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ -${\displaystyle {}_{}\xi }$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \lim _{i\\to \infit }E[ \xi _{i}-\xi ]=0}$.

정의 4: $\phi {\displaystyle \mathrm{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,$φ 2$${\displaystyle {}_{}}$,$$… {\$displaystyle \Phi ,\phi _{1},\Phi _{2},\$$ldots }}$이($가) 각각$ 불확실한 변수 $variables{\displaystyle }$ ,${\displaystyle }$, ,$ξ$ 1,$$ $2의$불확실한 분포라고$$ 가정합시다$.$ 우리는${\displaystyle }$$\phi {\displaystyle \mathrm{}}$ i의 어떤 연속성 지점에서도 ${\displaystyle$ $\{\xi _{i}\}$ 시퀀스 ${\displaystyle \xi }$ 만약$$ if ${\displaystyle i_{}}$→ ${\displaystyle \mathrm{\phi }}$ → φ$[\displaystyle$ $\Phi$$$\}}이$($가$)$ 분포에서$$ 수렴된다고$$ 말한다$.$

정리 1: 평균에서의 수렴 $\Rightarrow {\displaystyle }$ ${\displaystyle \Rightarrow }$측정에서의 수렴$$ {${\displaystyle \Rightarrow }$분포의 수렴$$ in. 그러나 평균에서의 수렴${\displaystyle }${ ${\displaystyle \nLeftrightarrow }$ 수렴$$ 거의 확실함 $\{{\displaystyle }${\$displaystyle \nLeftrightarrow }$ 분포에서의 수렴$$.

조건불확도

정의 1: Let (${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$, ${\displaystyle L}$, ${\displaystyle M}$) ${\displaystyle (\Gamma ,L,M)}$은 불확실성 공간이고$$, $A{\displaystyle }$, ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \in }$ L ${\displaystyle A,B\in$ L$\}.$ 그러면 주어진 B의 조건부 불확실한 측정치는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle {\mathcal {M}}\{A\vert B\}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {{\mathcal {M}}\{A\cap B\}}{{\mathcal {M}}\{B\}}},&\displaystyle {\text{if }}{\frac {{\mathcal {M}}\{A\cap B\}}{{\mathcal {M}}\{B\}}}<0.5\\\displaystyle 1-{\frac {{\mathcal {M}}\{A^{c}\cap B\}}{{\mathcal {M}}\{B\}}},&\displaystyle {\text{if }}{\frac {{\mathcal {M}}\{A^{c}\cap B\}}{{\mathcal {M}}\{B\}}}<0.5\\0.5,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

${\displaystyle {\text{}}}{{\mathcal {M}\{B\}}}}을(를) 제공했다.$

정리 1: Let (${\displaystyle \gamma }$, ${\displaystyle L}$, M${\displaystyle }$) ${\displaystyle (\Gamma ,L,M)}$은 불확실성 공간이고$$, 는 M{ > ${\displaystyle$ M$\{B\}}}}}$이(가) 있는 사건이다 그렇다면 Definition 1에 의해 정의된 M{·${\displaystyle B}$}는 불확실한 척도가 되고$,{\displaystyle }$ ( ${\displaystyle \mathrm{\gamma }}$, ${\displaystyle L}$, M${\displaystyle }${${\displaystyle }$· ${\displaystyle B\})}$ ${\displaystyle (\Gamma ,L,M\{\mbox{}}}}$는 불확실한 공간이다$$.

Definition 2: Let ${\displaystyle \xi }$ be an uncertain variable on ${\displaystyle (\Gamma ,L,M)}$. A conditional uncertain variable of ${\displaystyle \xi }$ given B is a measurable function ${\displaystyle \xi _{B}}$ from the conditional uncertainty space ${\displaystyle (\mathrm{\Gamma },L,M\{\text{·}{}_B\}}$${\displaystyle )}$ ${\displaystyle(\Gamma ,L,M\{\\mbox{·}}} _{B}\}}$이(가) 다음과 같은 실제 번호 집합에 대해$$

${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle \gamma }$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \xi }$ (${\displaystyle \gamma }$) ,${\displaystyle \mathrm{\forall }}$ ∈ ${\displaystyle \in }$ \ \ \$$\ \$displaystyle \xi _{B}(\gamma )=\xi (\gamma$ ),\$all \gamma \in$

정의 3: $조건부{\displaystyle \mathrm{}}$$$ 불확도 분포 ξ${\displaystyle }$→${\displaystyle }$[ 0${\displaystyle }$, ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \Phi \rightarrow [0,1]}$의 불확도 변수 $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi }$은(는) B에 의해 정의된다.

${\displaystyle \Phi(x B)=M\{\xi \leq x B\}$

{ > ${\displaystyle M\{B\}>0}$이(가) 제공된다면

정리 2:정기적인 불확실성 분배 Φ()){\displaystyle \Phi())}과 ξ{\displaystyle \xi} 불확실한 변수, tΦ(t)<>과 진정한 번호{\displaystyle지}1{\displaystyle \Phi(t)< 1}자.그리고ξ{\displaystyle \xi}의 조건부 불확실성 분포.{년 ξ하다.$디스플레이$ 스타일 $\xi >t}$은(는)

${\displaystyle \Phi (x\vert (t,+\infty ))={\begin{cases}0,&{\text{if }}\Phi (x)\leq \Phi (t)\\\displaystyle {\frac {\Phi (x)}{1-\Phi (t)}}\land 0.5,&{\text{if }}\Phi (t)<\Phi (x)\leq (1+\Phi (t))/2\\\displaystyle {\frac {\Phi (x)-\Phi (t)}{1-\Phi (t)}},&{\text{if }}(1+\Phi (t))/2\leq \Phi (x)\end{cases}}}$

정리 3:()){\displaystyle \Phi())}Φ 정기적인 불확실성 분배와 ξ{\displaystyle \xi} 불확실한 변수, tΦ(t)을을 가진 실제 번호{\displaystyle지};0{\displaystyle \Phi(t)>0}자.그리고ξ{\displaystyle \xi}의 조건부 불확실성 분배 ξ≤ t{\와 같이 주어진다.$디스플레이$ 스타일 $\xi \leq t}$은(는)

$(x\displaystyle \Phi)(x\vert(-\inflt ,t))={\begin{case}\displaystyle {\frac {\Phi(x)}{\Phi(t)}}},&{\text{{}}}}}}\phi(x)\leq \pisplaysty {\frac {\Phi(x)+\Phi (t)-1}{\Phi (t)}}\lor 0.5,&{\text{if }}\Phi (t)/2\leq \Phi (x)<\Phi(t)\1,&{\text{if }\Phi(t)\leq \Phi(x)\end{case}}}$

정의 4: $\xi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \xi$}을$$(를) 불확실한 변수로 두십시오. 그러면 주어진$$ $B$의 조건부 기대값인$display$ {\$displaystyle$\xi }이(가) 다음에 정의된다.

${\displaystyle E[\xi B]=\int _{0}^{0}^{0}^{0}^{\inter \geq r B\}dr-\int _{-\infit }^{0}M\xi \leq r B\}dr}dr}dr}$

두 통합 중 적어도 하나가 유한할 경우.

참조

위키미디어 커먼즈에는 불확실성 이론과 관련된 미디어가 있다.

원천

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