합리적인 포인트에 대한 균일한 경계성 추측

산술 기하학에서 합리적인 지점에 대한 균일한 경계 추측에 따르면, 주어진 숫자 $필드{\displaystyle }$ K$${\$displaystyle K}$과 양의 $정수{\displaystyle }$ g${\displaystyle 2}$ 2$${\$displaystyle g\geq$ 2$}$에 $대해{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K}$과 $g{\displaystyle }${\$displaystyle K$}에만 의존하는$$ 숫자 $(K,g)$이 존재한다고$$ 주장한다.$}$ $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$과(와) 같은 속성을 $가진$ K ${\displaystyle K}$ 위에 정의된$$ 대수 $곡선{\displaystyle }$ C ${\displaystyle C}$에 대해 최대 $N{\displaystyle (K}$, g${\displaystyle }$) ${\displaystyle N(K,g)}$ $K$${\displaystyle }$ ${\displaystystyle K}$ -rational$$ 포인트를 갖는$$ 경우$$.$이것$은 팔팅스의 정리를 정교하게 한 것으로, K ${\displaystyle K}$ -rational$$ points $C{\displaystyle }$( ${\displaystyle K}$) ${\displaystyle C(K)}$의 집합은 반드시 유한하다고$$ 주장한다.

진행

추측을 향한 첫 번째 의미 있는 진전은 카포라소, 해리스, 그리고 마주르 덕분이었다.^[1]그들은 봄비에리-랑 추측을 가정할 때 그 추측이 유지된다는 것을 증명했다.

마주르의 추측 B

A variant of the conjecture, due to Mazur, asserts that there should be a number ${\displaystyle N(K,g,r)}$ such that for any algebraic curve ${\displaystyle C}$ defined over ${\displaystyle K}$ having genus ${\displaystyle g}$ and whose Jacobian variety ${\displaystyle J_{C}}$ has Mordell–Weil rank over ${\displaystyle K}$ equal to ${\displaystyle r}$, the number of ${\displaystyle K}$-rational points of ${\displaystyle C}$ is at most ${\displaystyle N(K,g,r)}$. This variant of the conjecture is known as Mazur's Conjecture B.

Michael $Stoll$은 r${\displaystyle 3}$ g${\displaystyle }$- 3$[\displaystyle$ r$\leq$ g-3$}$라는 추가적인 가설로 Mazur의 추측 B가 과대망상 곡선을 고수한다는 것을 증명했다$.$^[2] Stoll의 결과는 2015년에 Katz, Rabinoff, Zureick-Brown에 의해 더욱 정제되었다.^[3]이 두 작품 모두 샤보티의 방법에 의존하고 있다.

마주르의 추측 B는 2020년 디미트로프, 가오, 하베거에 의해 사전 인쇄로 해결되었는데, 이후 샤보티의 방법 대신 기하학적 보고몰로프 추측에 대한 가오와 하베거의 초기 작품을 사용하여 수학 연보에 실렸다.^[4]

참조