브라운의 대표성 정리

Brown's representability theorem

수학에서 호모토피 이론에서[1] 브라운의 대표성 정리는 세트의 범주에 있는 뾰족한 연결 CW 콤플렉스의 호모토피 범주 Hotc에 있는 상쇄성 펑터 F가 대표 가능한 펑터가 되기 위해 필요하고 충분한 조건을 제공한다.

좀 더 구체적으로 말하면, 우리는

F: Hotcop → Set,

그리고 범주 이론에서만 추론할 수 있는 CW 복합체를 C와 함께, F가 Hom(-, C) 타입이 되기 위해 분명히 필요한 조건들이 있다.정리의 실질적인 부분의 진술은 이러한 필요한 조건들이 충분하다는 것이다.기술적 이유로, 정리는 종종 뾰족한 집합의 범주에 대한 functors에 대해 명시된다. 즉, 집합에도 기준점이 주어진다.

CW 콤플렉스에 대한 브라운 표현성 정리

Edgar H. Brown으로 인한 CW 단지의 대표성 정리는 다음과 같다.[2]다음과 같이 가정합시다.

  1. The functor F maps coproducts (i.e. wedge sums) in Hotc to products in Set:
  2. Functor F는 Hotc에 있는 호모토피 푸시아웃을 약한 풀백에 매핑한다.This is often stated as a Mayer–Vietoris axiom: for any CW complex W covered by two subcomplexes U and V, and any elements u ∈ F(U), v ∈ F(V) such that u and v restrict to the same element of F(U ∩ V), there is an element w ∈ F(W) restricting to u and v, respectively.

그렇다면 F는 어떤 CW 복합체 C에 의해 대표될 수 있는데, 즉 이형성이 있다는 것이다.

FHotc(Z) ≅ 홈(Z, C)

어떤 CW 콤플렉스 Z에 대해서도, Z에서 다른 CW 콤플렉스에 이르는 어떤 형태론의 경우, 유도 맵 F(Y) → F(Z) → HomHot(Y, C) → HomHot(Z, C)은 이러한 이형성과 호환된다.

역방향 문장은 또한 다음과 같다: CW 복합체로 대표되는 모든 functor는 위의 두 가지 특성을 만족시킨다.이 방향은 기본 범주 이론의 즉각적인 결과물이므로 등가성의 깊고 흥미로운 부분은 또 다른 함축이다.

위의 대표 물체 C는 F에 연역적으로 의존한다는 것을 보여줄 수 있다: 정리의 조건을 만족하는 F에서 다른 functor로의 자연적 변환은 반드시 대표 물체의 지도를 유도한다.이것은 요네다의 보조정리 결과물이다.

F(X)를 주어진 아벨 그룹 A에 계수가 있는 단일한 코호몰로지 그룹i H(X,A)로 가져가는 고정 i > 0의 경우 F를 나타내는 공간은 Eilenberg-MacLane 공간 K(A, i)이다.이것은 에일렌베르크-매클레인 공간의 존재를 보여주는 수단을 제공한다.

변형

CW 복합체의 호모토피 범주는 약한 호모토피 동등성에서 모든 위상학적 공간의 범주의 국산화(localization)와 같기 때문에, 이러한 방식으로 정의된 범주의 functor에 대해 정리가 동등하게 명시될 수 있다.

그러나 연결된 뾰족한 공간에 대한 제약이 없는 정리는 거짓이며, 포인트가 없는 공간에 대한 유사성 진술도 거짓이다.[3]

그러나 유사한 문구는 CW 복합체 대신 스펙트럼을 유지한다.브라운은 또한 대표성 정리의 일반적인 범주형 버전을 증명했는데,[4] 여기에는 뾰족한 연결 CW 콤플렉스에 대한 버전과 스펙트럼에 대한 버전이 모두 포함된다.

삼각형 범주의 경우 표현성 정리의 한 버전은 암논 니만 때문이다.[5]앞의 언급과 함께 특정 기술 조건을 만족하는 삼각형 범주 사이의 (공변량) 펑터 F: C → D에 대한 기준을 제시하여 올바른 조정 펑터를 갖는다.즉, C와 D가 콤팩트하게 생성된 삼각형 범주와 임의의 직접 합계로 통근하는 삼각형 펑터가 F인 경우 F는 좌측 부선이다.니만은 이것을 대수 기하학에서 그로텐디크 이중성 정리를 증명하는 데 적용했다.

제이콥 루리는 호모토피 범주에서 개체들을 톱그룹화한 콤팩트한 발전기 집합으로 뾰족한 퀘이시 범주의 호모토피 범주에 대한 브라운 표현성 정리[6] 버전을 증명했다.예를 들어, 이는 Grotendieck abelian 범주의 무한 파생 범주뿐만 아니라 뾰족한 연결 CW 콤플렉스의 호모토피 범주에도 적용된다(파생 범주에 대한 루리의 더 높은 범주의 정교함에 비추어).

참조

  1. ^ Switzer, Robert M. (2002), Algebraic topology---homotopy and homology, Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 152–157, ISBN 978-3-540-42750-6, MR 1886843
  2. ^ Brown, Edgar H. (1962), "Cohomology theories", Annals of Mathematics, Second Series, 75: 467–484, doi:10.2307/1970209, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970209, MR 0138104
  3. ^ Freyd, Peter; Heller, Alex (1993), "Splitting homotopy idempotents. II.", Journal of Pure and Applied Algebra, 89 (1–2): 93–106, doi:10.1016/0022-4049(93)90088-b
  4. ^ Brown, Edgar H. (1965), "Abstract homotopy theory", Transactions of the American Mathematical Society, 119 (1): 79–85, doi:10.2307/1994231
  5. ^ Neeman, Amnon (1996), "The Grothendieck duality theorem via Bousfield's techniques and Brown representability", Journal of the American Mathematical Society, 9 (1): 205–236, doi:10.1090/S0894-0347-96-00174-9, ISSN 0894-0347, MR 1308405
  6. ^ Lurie, Jacob (2011), Higher Algebra (PDF), archived from the original (PDF) on 2011-06-09