U(n)를 위한 공간 분류

수학에서 유니터리 그룹 U(n)의 분류 공간은 범용 번들 EU(n)와 함께 공간 BU(n)로, 파라콤팩트 공간 X의 은둔자 번들은 지도 X → 호모토피까지 고유의 BU(n)에 의해 EU(n)의 풀백이다.

범용 진동이 있는 이 공간은 다음 중 하나로 구성될 수 있다.

1. 무한 차원 복합 힐버트 공간에 있는 n-플레인의 그라스만어 또는,
2. 유도 위상과 함께 n 평면의 그라스만인의 직접 한계

두 공사 모두 여기에 자세히 설명되어 있다.

무한 그라스만족으로서의 건설

유니버설 번들의 총 공간 EU(n)는 다음과 같다.

${\displaystyle EU(n)=\left\{e_{1},\ldots,e_{n}\ :\(e_{i},e_{j})=\delta _{ij}e}\in H\right\}.}$

여기서 H는 무한 차원 복합 힐버트 공간을 의미하며, e는_i H의 벡터, $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ i ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 크로네커 델타다.기호$({\displaystyle }$ ${\displaystyle (,\cdot }$) ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$은 H의 내부 제품이다.따라서 우리는 EU(n)가 H에 있는 정형 n-프레임의 공간이라는 것을 알고 있다.

이 공간에 대한 U(n)의 집단행동은 자연스러운 것이다.기본 공간은 다음과 같다.

${\displaystyle BU(n)=EU(n)/U(n)}$

그리고 H 단위의 그라스만 n차원 서브 스페이스(또는 n-plane)의 집합이다.그것은

${\displaystyle BU(n)=\{V\subset H\ :\\\dim V=n\}$

그래서 V는 n차원 벡터 공간이다.

라인 번들의 경우

n = 1의 경우 EU(1) = S가^∞ 있는데, 이는 계약 가능한 공간이라고 알려져 있다.그러면 기준 공간은 BU(1) = CP^∞, 무한 차원 복합 투영 공간이다.따라서 다지관 M 위에 있는 원 묶음의 이형성 등급 집합은 M에서 CP까지의^∞ 지도 호모토피 등급과 일대일 일치한다.

하나는 또한 다음과 같은 관계도 가지고 있다.

${\displaystyle BU(1)=PU(H),}$

즉, BU(1)는 무한 차원 투영적 단일 군집이다.추가 토론 및 등록 정보는 해당 문서를 참조하십시오.

U(1) × ... × U(1)에 추상적으로 이형성이지만, 선택된 식별이 필요하지 않은 토러스 T에 대해서는 BT라고 쓴다.

위상학 K-이론₀ K(BT)는 숫자 다항식으로 주어진다. 자세한 내용은 아래를 참조하십시오.

유도 한계로서의 건설

F_n(C^k)는 C에^k 있는 n 벡터의 정형외과적 공간이고 G_n(C^k)는 C의^k n차원 하위벡터 공간의 그래스만족 공간이다.유니버설 번들의 총 공간은 F_n(C^k)의 직접 한계인 k → ∞으로, 베이스 공간은 G_n(C^k)의 직접 한계인 k → ∞으로 가져갈 수 있다.

시공의 타당성

이 섹션에서는 EU(n)에 대한 토폴로지를 정의하고 EU(n)가 실제로 계약 가능한지 증명한다.

그룹 U(n)는 F_n(C^k)에서 자유롭게 행동하며, 지수는 그라스만 G_n(C^k)이다.지도

${\displaystyle {\reasoned}F_{n}(\mathbf {C}^{k})&\longrightarrow \mathbf {S}\^{2k-1}\\(e_{1},\ldots, e_{n})&\longmapsto e_{n}\ended}}}}}}}$

파이버 F_n−1(C^k−1)의 섬유 묶음이다.따라서 $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$( ${\displaystyle {\mathbf{}}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{k}}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle \pi _{p}(\mathbf {S} ^{2k-1})$는 사소한 것이고$$, 진동의 정확한 순서가 길기 때문에 우리는 다음과 같은 결과를 얻었다.

${\displaystyle \pi _{p}(F_{n})(\mathbf {C} ^{k})=\pi _{p}(F_{n-1})(\mathbf {C} ^{k-1})}$

$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{k}}$- 2 ${\displaystyle p\leq 2k-2$ > 2 + - 1 ${\displaystyle k>{\tfrac {1}{2}}p+n-1}$에 대해 k를 충분히 크게 취함으로써 이 과정을 반복해서 얻을 수 있다

${\displaystyle \pi _{p}(F_{n})(\mathbf {C} ^{k})=\pi _{p}(F_{n-1})(\mathbf {C} ^{k-1})=\cdots =\pi _{p}(F_{1})(\mathbf {C} ^{k+1-n}))=\pi _{p}(\mathbf {S} ^{k-n}).}$

이 마지막 그룹은 k > n + p에 대해 사소한 것이다. let

${\displaystyle EU(n)={\lim _{\to }\;_{k\to \f_{n}(\mathbf {C} ^{k})}}$

모든 F_n(C^k)의 직접 한계(유도 위상)이다.내버려두다

${\displaystyle G_{n}(\mathbf {C}) ^{\nft }={\lim_{\to }\;_{k\to }; \infty }G_{n}(\mathbf {C} ^{k}})}}}$

모든 G_n(C^k)의 직접 한계(유도 위상)이다.

보조정리: 그룹 $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$( ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (n}$)${\displaystyle \pi _{p}(EU(n)})$는 모든 p ≥ 1에 대해 사소한 것이다$$.

증명 : Let γ : S → EU^p(n), S가^p 콤팩트하기 때문에 F_n(C^k)에 ((S^p)가 포함될 정도의 k가 존재한다.k를 충분히 크게 취함으로써 γ은 기점에 관해서, 일정한 지도에 대해서 동음이의어임을 알 수 있다.${\displaystyle \Box }$

또한 U(n)는 EU(n)에 대해 자유롭게 행동한다.공간_n F(C^k)와_n G(C^k)는 CW 복합체다.이러한_nn 공간의 분해는 F(C^kk+1), resp. G_n(C^k)의 제한에 의해 F_n(C), resp. G(C^k+1)의 분해로 유도되는 CW 복합체로 찾을 수 있다.따라서 EU(n) (및 G_n(C^∞)도 CW 복합체다.Whitehead Organization과 위의 Remema에 의해 EU(n)는 계약 가능하다.

BU(n)의 코호몰로지

제안:분류공간 H*(BU(n))의 코호몰로지(cohomology)는 n 변수 c₁, ..., c의_n 다항식 링이며 여기서 c는_p 도 2p이다.

증거: 먼저 사례 n = 1을 고려해보자.이 경우 U(1)는 서클 S이고¹ 유니버설 번들은 S → CP이다^∞∞.known[1]이 CPk의 cohomology R[c1]/c1k에+1{\displaystyle \mathbf{R}\lbrack c_{1}\rbrack {1}^{k+1}}동형은 U(1)-bundle S2k+1 → CPk의 c1은 오일러 클래스는 주사 CPk → CPk+1, km그리고 4.9초 만 ∈ N*의 proje의 cohomology의 이러한 프레젠테이션으로 호환되는 잘 되어 있다.ctive 공간이다.이것은 n = 1에 대한 제안서를 증명한다.

호모토피 섬유 순서가 있다.

${\displaystyle \mathb {S} ^{2n-1}\to BU(n-1)\to BU(n)}$

Concretely, a point of the total space ${\displaystyle BU(n-1)}$ is given by a point of the base space ${\displaystyle BU(n)}$ classifying a complex vector space ${\displaystyle V}$, together with a unit vector ${\displaystyle u}$ in ${\displaystyle V}$; together they classify ${\displaystyle u^{\perp }<V}$ while the splitting ${\displaystyle V=(\mathbb {C} u)\oplus u^{\perp }}$, trivialized by ${\displaystyle u}$, realizes the map ${\displaystyle BU(n-1)\to BU(n)}$ representing direct sum with ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

기신 시퀀스를 적용하면 정확한 시퀀스가 길다.

${\displaystyle H^{p}(BU(n)){\overset {\smile d_{2n}\eta }{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n)){\overset {j^{*}}{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n-1)){\overset {\partial }{\longrightarrow }}H^{p+1}(BU(n))\longrightarrow \cdots }$

섬유의 Gysin Sequence[표창 필요한]의 속성까지 어디η{\displaystyle \eta}것이 근본적인 클래스 S2n− 1{\displaystyle \mathbb{S}^{2n-1}}., j({\displaystyle j^{*}}은 승법 준동형;유도에 의해, H∗ BU(n− 1){\displaystyle H^{*}(n-1)}생성됩니다. 과 요소들에 의해<- ${\displaystyle p<-1$ 여기서 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \partial$}은$($는) 0이어야 하며, 따라서 $j{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ j$^{*}$은(는) 굴절적이어야 한다$$.$∗{\$은(는) 항상 추상적이어야 한다$$. 다항 링의 보편적 특성에 의해 각 발전기에 대한 프리이미지를 선택하면 승법적 분할이 유도된다.따라서 정확성에 따라${\displaystyle {}_{}}$ d ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \smile d_{2n}\eta }}$은(는) 항상 주입식이어야$$ 한다.따라서 우리는 고리 동형성에 의해 분할된 짧은 정확한 시퀀스를 가지고 있다.

${\displaystyle 0\to H^{p}(BU(n)){\overset {\smile d_{2n}\eta }{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n)){\overset {j^{*}}{\longrightarrow }}H^{p+2n}(BU(n-1))\to 0}$

따라서 $H{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$(${\displaystyle B}$ U${\displaystyle }$( n${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$(${\displaystyle B}$ ${\displaystyle U}$( n${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ H$^{*}(BU(n)))$를 결론짓는다.$=H^{*}(BU(n-1)][c_{2n}]}$ 여기서$$ $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2n}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{2n}=d_{2n}\eta$ $\}.$ 이렇게 하면 유도가 완료된다.

BU(n)의 K-이론

그 cohomology 이론은 스펙트럼 KU{KU\displaystyle}에 의해 나타나는 이 경우, KU∗(BU(n))≅ Z[t, 하루에 500파운드 − 1][경우 c1.c, n]]{\displaystyle KU^{*}(연소도(n))\cong \mathbb{Z}[t,t^{-1}][-LSB- c_{1},...,c_{n}]해결},[2], KU∗(BU(n)){\displa 위상 단지 K이론을 고려해 보세요.ystβ 0{\displaystyle \beta_{0}에 핀란드 국영 방송 KU_ᆫ(연소도(n))}은 자유 Z[t, 하루에 500파운드 − 1]{\displaystyle \mathbb{Z}[t,t^{-1}]}모듈}과 β n≥에 나는{\displaystyle \beta_{i_{1}이었고 넌 결코 모르네 나는 1… β}}\beta _{i_{r}\ldots}나는 j>0{\displaystylen\geq i_{j}>0}과≤ n{\displaystyle r\leq r. n}.[3]이 설명에서 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$( ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle U}$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle KU_{*}(BU(n)})$의 제품 구조는 휘트니 벡터 번들의 합계가 제공한$$ ${\displaystyle B}$ U ${\displaystyle BU}$의 H-공간 구조에서 나온다$$.이 제품은 폰트랴긴 제품이라고 불린다.

The following seems to be a computation of ${\displaystyle KU_{*}BU(n)}$, where ${\displaystyle KU_{*}BU(n)}$ gets a ring structure from the tensor product H-space structure on ${\displaystyle BU}$. The statement needs clarification.

위상학 K 이론은 수치 대칭 다항식의 관점에서 분명히 알려져 있다.

K 이론은 K 이론이₀ Bott 주기성 정리에 의해 2주기이고 BU(n)는 복합 다지관의 한계이므로 CW 구조로 되어 균일한 차원에 세포만 있는 이상 K 이론이 사라지기 때문에 연산 K 이론은 K 이론으로 줄어든다.

Thus ${\displaystyle K_{*}(X)=\pi _{*}(K)\otimes K_{0}(X)}$, where ${\displaystyle \pi _{*}(K)=\mathbf {Z} [t,t^{-1}]}$, where t is the Bott generator.

K₀(BU(1))는 H_∗(BU(1); Q) = Q[w]의 서브링으로 간주되는 w 단위의 숫자 다항식의 링이며, 여기서 w는 tutological 번들에 이중적인 요소다.

n-토러스에서 K₀(BTⁿ)는 n 변수의 숫자 다항식이다.지도ⁿ K₀(BTⁿ) → K₀(BU(n)는 분할 원리를 통해 U(n)의 최대 토러스인 만큼 위에 있다.지도는 대칭지도다.

${\displaystyle f(w_{1},\reason,w_{n})\mapsto {\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}f(x_{\sigma(1)},\dots,x_{\sigma(n)}}}$

그리고 이미지는 다음과 같은 통합 조건을 만족하는 대칭 다항식으로 식별할 수 있다.

${\displaystyle {n \n \n},n_{2},\ldots,n_{r}f(k_{1},\dots,k_{n}})\in \mathbf {Z}}을(를) 선택하십시오.$

어디에

${\displaystyle {n \선택 k_{1},k_{2},\ldots,k_{m}}={\frac {n!}{k_{1}!\,k_{2}!\cdots k_{m}!}}}$

다항계수 $및{\displaystyle {}_{}}$ k ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle k_{}}$ ${\$n}}}는 각각 n ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$…,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$회$$ 반복된 r 고유 정수를 포함한다$$.

참고 항목

• O(n)에 대한 공간 분류
• 위상 K이론
• 아티야-야니히 정리

메모들

참조

• J. F. Adams (1974), Stable Homotopy and Generalised Homology, University Of Chicago Press, ISBN 0-226-00524-0 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$( ${\displaystyle B}$ U${\displaystyle }$( n${\displaystyle }$)${\displaystyle KU^{*}(BU(n)})$ 및$$ $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ast }_{}}$(${\displaystyle \mathrm{BU}(}$n${\displaystyle )\}}$ ${\displaysty KU_{*}(BU(n)})}$의 계산이 포함되어 있다$.$
• S. Ochanine; L. Schwartz (1985), "Une remarque sur les générateurs du cobordisme complex", Math. Z., 190 (4): 543–557, doi:10.1007/BF01214753 $모든{\displaystyle {}_{}}$ 소형 연결 ${\displaystyle \mathrm{Lie}}$ 그룹에 $대한{\displaystyle {}_{}}$ K $(BG$ ) {\$displaystyle$ K_${$0}($BG)}$에 대한 설명을 K ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}K}$) ${\displaystyle K_{0}(K)}$ -comodule로$$ 포함$$.
• L. Schwartz (1983), "K-théorie et homotopie stable", Thesis, Université de Paris–VII $K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}B}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle (n}$)${\displaystyle K_{0}(BU(n))})$에 대한 명시적 설명
• A. Baker; F. Clarke; N. Ray; L. Schwartz (1989), "On the Kummer congruences and the stable homotopy of BU", Trans. Amer. Math. Soc., American Mathematical Society, 316 (2): 385–432, doi:10.2307/2001355, JSTOR 2001355