범용 포물선 상수

보편 포물선 상수는 수학 상수다.

이 값은 포물선에 대하여 격자 직장에 의해 형성된 포물선 부분의 호 길이의 비율로 정의된다.초점 파라미터는 초점 길이의 두 배다.그 비율은 P로 표시된다.^[1][2][3]도표에서 격자직장은 파란색으로, 격자직장은 빨간색으로, 초점 매개변수는 녹색으로 그려진다.(포자직장의 초점은 F점, 다이렉트릭스는 L점)

P의^[4] 값은

${\displaystyle P=\ln(1+{\sqrt{2}})+{\sqrt{2}}=2.29558714939\dots }$

(OEIS에서 시퀀스 A103710).원과 포물선은 원뿔 부분 중에서 보편적인 상수를 가지고 있다는 점에서 독특하다.타원과 하이퍼볼라의 유사 비율은 타원의 편심도에 따라 달라진다.이것은 모든 원이 비슷하고 모든 포물선이 비슷하지만 타원이나 하이퍼볼라는 그렇지 않다는 것을 의미한다.

파생

$y$= $x\frac{{}^{}}{}$ $\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}$ $\frac{4}{}$ $\frac{{}^{}}{\mathrm{}}$ ${\$ y$={\frac {x^{2}}{4f}}}$을 포물선의 방정식으로$$ 취한다.초점 파라미터는 $p{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathrm{f}}$ ${\displaystyle p=2f}$이고 세미라투스 직장은 $\ell {\displaystyle }$= 2 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ell =2f}$이다$.$

특성.

P는 초월수다.

증명. P가 대수학이라고 가정해 보자.그러면 ${\displaystyle P}$- ${\displaystyle 2}$= ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1\sqrt{\mathrm{}}}$+ 2${\displaystyle }$) ${\displaystyle \!\ P-{\sqrt{2}}=\ln(1+{\sqrt{2}})}$도 대수학이어야 한다$$.하지만 린데만-위어스트라스 정리, ${\displaystyle e{}^{}}$ ${\displaystyle {\ln }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {(1\sqrt{\mathrm{}}}^{}}$+ 2${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle 1}$+ ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ ${\$은(는) 초월일 텐데$$, 그렇지 않다.그러므로 P는 초월적이다.

P는 초월적이기 때문에 비이성적이기도 하다.

적용들

단위 사각형에서 임의로 선택한 점에서 중심까지의 평균 거리는 다음과^[5] 같은 평균 거리는

${\displaystyle d_{\text{avg}={P \over 6}}$

증명하다.

${\displaystyle {\reged}d_{\text{avg}}&::8\int_{0}^{0}{0}^{x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}\,dy\,dx\\&=8\int _{0}^{1 \over 2}{1 \{{}x^{2}(\ln(1+{\sqrt{2}})+{\sqrt{2}})+{\x\&=4}P\int _{0}^{1 \over 2}x^{2}\,dx\\&={P \over 6}\end{arged}}}}$

참조 및 각주