데릭의 정리

데릭의 정리는 물리학자 G.H. 데릭의 주장으로, 공간 차원 3 이상에서 비선형파 방정식이나 비선형 클라인-고든 방정식에 대한 고정 국부적 해법이 불안정함을 보여준다.

원본 인수

솔리톤과 같은 용액을 입자로 해석하는 데 장애물로 여겨졌던 ^[1]데릭의 논문에는 비선형파 방정식에 대한 안정적 국부적 고정용액의 불존재에 대한 다음과 같은 물리적인 주장이 실려 있었다.

${\displaystyle \nabla ^{2}\theta -{\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial t^{2}}}={\frac {1}{2}}f'(\theta ),\qquad \theta (x,t)\in \mathbb {R} ,\quad x\in \mathbb {R} ^{3},}$

이제 데릭의 정리라는 이름으로 알려져 있다.($위{\displaystyle }$, f ${\displaystyle (s}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle f($${\displaystyle \mathrm{s}}$$)})$는 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ $(\displaystyle f'(0)=0}$을(를) 가진 서로 다른 함수다$$.$$

시간 독립 솔루션 $\theta {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\$의 에너지는 다음과$$ 같다.

${\d^{3}x.}$

A necessary condition for the solution to be stable is ${\displaystyle \delta ^{2}E\geq 0\,}$. Suppose ${\displaystyle \theta (x)\,}$ is a localized solution of ${\displaystyle \delta E=0\,}$. Define ${\displaystyle \theta _{\lambda }(x)=\theta (\lambda x)\,}$ where${\displaystyle \lambda }$ is an arbitrary constant, and write ${\displaystyle I_{1}=\int (\nabla \theta )^{2}d^{3}x}$, ${\displaystyle I_{2}=\int f(\theta )d^{3}x}$.그러면

${\displaystyle E_{\lambda }=\int \left[(\nabla \theta _{\lambda }}}}^{2}/d^{3}x=I_{2}/lambda ^{3}.}$

Whence ${\displaystyle dE_{\lambda }/d\lambda \vert _{\lambda =1}=-I_{1}-3I_{2}=0.\,}$ and since ${\displaystyle I_{1}>0\,}$,

$왼쪽.{\frac {d^{2}}}E_{\lambda }}{d\lambda ^{2}}\오른쪽 _{\lambda =1}=2I_{1}+12I_{2}=-2I_{1}\,<0.}$

즉, 입자의 균일한 스트레칭에 하는 변동에 대한 <0 {\displaystyle \$delta ^{2}E<0\,}.$따라서 솔루션 ${\displaystyle \theta }$( x${\displaystyle }$) ${\$은(는) 불안정하다$$.

데릭의 주장은 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\$ ${\displaystyle \mathrm{n}}$ ${\displaystyle \ge }$ 3 ${\$ 3$\,}$에 대해 통한다$.$

포코즈하프의 정체성

보다 일반적으로 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$을(를) $g{\displaystyle }$ $)$= 0 {\$displaystyle g (0)=0}$을(를) 연속적으로$$ 유지하도록 한다$.$^[2] $데노테{\displaystyle }$ G$)$ =$s$ 0초${\displaystyle }$g$t)=\int _{0}^{s(t)\,dt$

${\displaystyle u\in L_{\mathrm {loc} }^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\qquad \nabla u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad G(u(\cdot ))\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n}),\qquad n\in \mathbb {N} ,}$

방정식의 해법이 되다

${\displaystyle -}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle g}$ (${\displaystyle u}$ ) ${\displaystyle -\displayla ^{2}u=g(u$

분배의 관점에서그러면 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$이(가) 관계를 충족함$$

${\displaystyle (n-2)\int _{\mathb {R} ^{n} \nabla u(x) ^{2}\,dx=n\int _{\mathb {R} ^{n}G(u(x)\,dx,}$

《포호자예프의 정체》(포호자예프의 정체로 표기되기도 한다.)^[3]로 알려져 있다.이 결과는 처녀정리와 비슷하다.

해밀턴식 해석

We may write the equation ${\displaystyle \partial _{t}^{2}u=\nabla ^{2}u-{\frac {1}{2}}f'(u)}$ in the Hamiltonian form ${\displaystyle \partial _{t}u=\delta _{v}H(u,v)}$, ${\displaystyle \partial _{t}v=-\delta _{u}H(u,$$v$${\displaystyle )\},<img\; alt="\backslash partial\; \_\{t\}v=-\backslash delta\; \_\{u\}H(u,v)"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/0c91509949c95f72e60cfca7a7d81e7dc364d2b4"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:17.664ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="78">}$ 여기서 $u{\displaystyle }$ , ${\displaystyle v}${\$displaystyle$ ${\displaystyle {}^{}}$$,\,v}$은(는) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ R ${\displaystyle n\mathbb{}{}^{}}$, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \in }$ R ${\$의 함수로서$$ 해밀턴 함수는 다음과 같다$.$

${\displaystyle H(u,v)=\int _{\mathb {R} ^{n}\좌({\frac {1}{1}{2}} v ^{2}+{\frac {1}{1}2}} \nabla u ^{2}+{1}{2}}f(u)\rig)\,dx,}$

및 $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $\delta$ \delta $_{u}H\,$$\Delta {\displaystyle {}_{}}$ v ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 H$,v)$의 $변동파생상품$이다$.$

Then the stationary solution ${\displaystyle u(x,t)=\theta (x)\,}$ has the energy ${\displaystyle H(\theta ,0)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left({\frac {1}{2}} \nabla \theta ^{2}+{\frac {1}{2}}f(\theta )\right)\,d^{n}x}$ and방정식을 만족시키다

${\displaystyle 0=\partial _{t}\theta(x)=-\partial _{u}H(\theta ,0)={\frac {1}{1}{2}}E(\theta ),}$

with ${\displaystyle E'\,}$ denoting a variational derivative of the functional ${\displaystyle E=\int _{\mathbb {R} ^{n}}[\vert \nabla \theta \vert ^{2}+f(\theta )]\,d^{n}x}$. Although the solution ${\displaystyle \theta (x)\,}$ is a critical point of ${\displaystyle }$E((E′(θ부터))0{\displaystyle E'(\theta)=0\,}), 데릭의 d2dλ 2E(θ(λ)))<>λ=1{\displaystyle \lambda =1\,}에서 0{\displaystyle{\frac{{2d^}}{d\lambda \,^{2}}}E(\theta(\lambda)))<0}, 따라서 너(x, t))θ()){\displaystyl을 보여 준다.eu(x$t)=\theta (x)\,}$은(는) 에너지 $기능{\displaystyle }$ H ${\$ H$\,}$의 국소 최소값의 지점이 아니기$$ 때문에 물리적으로 용액 $\theta {\displaystyle }$ (${\displaystyle }$x${\displaystyle }$) ${\$은(는) 불안정할 것으로 예상된다$.$국소화된 정지 상태의 에너지를 최소화하지 않는 관련 결과(n${\displaystyle }$= ${\displaystyle 3}${\$displaystyle$ n$=3$에 대해 작성된 인수와 함께, 도출이 치수 $n{\displaystyle }$≥ $[\displaystyle n\geq 2$는 1963년 R.H. Hobart에 의해 얻어졌다.^[4]

선형 불안정성과의 관계

(어떤 공간 차원에서도) 비선형파 방정식에 대한 국부적인 고정용액의 선형적(또는 지수적) 불안정성은 P. 카라게오르기스와 W.A.에 의해 입증된다.2007년 스트라우스 ^[5]부장님

지역화된 시간 주기 솔루션의 안정성

데릭은 이러한 어려움에서 벗어날 수 있는 몇 가지 가능한 방법들을 설명하는데, 여기에는 기초 입자들이 시간에 구애받지 않고 주기적으로 일정하게 국부적인 해결책에 해당할 수 있다는 추측이 포함된다.Indeed, it was later shown^[6] that a time-periodic solitary wave ${\displaystyle u(x,t)=\phi _{\omega }(x)e^{-i\omega t}\,}$ with frequency ${\displaystyle \omega \,}$ may be orbitally stable if the Vakhitov–Kolokolov stability criterion is satisfied.

참고 항목

• 궤도안정성
• 포코즈하프의 정체성
• 바키토프-콜로콜로프 안정성 기준
• 처녀정리

참조