정점 모형

정점 모델은 볼츠만 가중치가 모델의 정점과 연관된 통계 역학 모델의 한 유형입니다(원자 또는 ^[1]^[2]입자를 나타냄).이것은 에너지와 통계적 미시 상태의 볼츠만 무게가 두 개의 인접 입자를 연결하는 결합에 기인하는 이싱 모델과 같은 가장 가까운 인접 모델과 대조된다.따라서 입자의 격자에서 정점과 관련된 에너지는 인접한 정점에 연결하는 결합 상태에 따라 달라집니다.벡터 $V\otimes V$ V $V\otimes V$ V \ \ $displaystyle$ V \ $otimes$ V \ otimes V \ }의 $V\otimes V$ 텐서 곱에 스펙트럼 매개변수가 있는 양-박스터 방정식의 모든 해는 정확히 해결 가능한 정점 모델을 산출하는 것으로 밝혀졌다.

2차원 정점 모형

모델은 임의의 수의 차원으로 다양한 기하학에 적용할 수 있지만, 주어진 결합에 대한 가능한 상태의 수는 얼마든지 가질 수 있지만, 가장 기본적인 예는 2차원 격자에 대해 발생하며, 가장 단순한 것은 각 결합이 두 개의 가능한 상태를 갖는 정사각형 격자이다.이 모델에서는 모든 입자가 다른 4개의 입자와 연결되어 있으며, 입자에 인접한 4개의 결합 각각은 결합 위의 화살표 방향으로 나타나는 2개의 가능한 상태를 가지고 있습니다.이 모델에서는 각 정점은 $2^{4}$ 의 4 $(\$ 2 $^{4})$ 의 $2^{4}$ 가능한 구성을 $2^{4}$ 할 수 있습니다.주어진 정점의 에너지는 $\varepsilon _{ij}^{k\ell }$ $\varepsilon _{ij}^{k\ell }$ $\varepsilon _{ij}^{k\ell }$ k ${\$ { $displaystyle$ \ $varepsilon$ _ { $ij$ }^{ $k$ \ ell $\varepsilon _{ij}^{k\ell }$ 로 얻을 수 있습니다.

정사각형 격자 정점 모형의 정점

격자 상태를 갖는 것은 각 결합의 상태를 할당하는 것이며, 상태의 총 에너지는 정점 에너지의 합이다.에너지가 무한 격자에 대해 발산되는 경우가 많기 때문에, 격자가 무한 크기에 가까워짐에 따라 모델은 유한 격자에 대해 연구됩니다.모델에 주기적 또는^[3] 영역적 벽 경계 조건이 부과될 수 있습니다.

논의

주어진 격자 상태에 대해, 볼츠만 무게는 대응하는 정점 상태의 볼츠만 무게의 정점에 걸쳐 곱으로 쓸 수 있다.

(\displaystyle \expair \varepsilon ({\mbox {state}})=\mbox_{\mbox{filon}\expcaps\filon_{ij}^{k\ell}}}

여기서 꼭지점에 대한 볼츠만 가중치가 기록된다.

R_{ij}^{k\ell }=\exp(-\beta \varepsilon _{ij}^{k\ell })

R_{ij}^{k\ell }=\exp(-\beta \varepsilon _{ij}^{k\ell })

R_{ij}^{k\ell }=\exp(-\beta \varepsilon _{ij}^{k\ell })

k

R_{ij}^{k\ell }=\exp(-\beta \varepsilon _{ij}^{k\ell })

=

exp

R_{ij}^{k\ell }=\exp(-\beta \varepsilon _{ij}^{k\ell })

-

R_{ij}^{k\ell }=\exp(-\beta \varepsilon _{ij}^{k\ell })

R_{ij}^{k\ell }=\exp(-\beta \varepsilon _{ij}^{k\ell })

i

R_{ij}^{k\ell }=\exp(-\beta \varepsilon _{ij}^{k\ell })

R_{ij}^{k\ell }=\exp(-\beta \varepsilon _{ij}^{k\ell })

）

R_{ij}^{k\ell }=\exp(-\beta \varepsilon _{ij}^{k\ell })

{

displaystyle R_{ij}^{k\ell

}

=\expair

\

varepsilon

_

{ij

}^{k

\ell

그리고 i, j, k, l은 정점에 부착된 4개의 모서리 각각에서 가능한 상태에 걸쳐 있다.인접 정점의 정점 상태가 허용되기 위해서는 연결 가장자리(본드)를 따라 호환성 조건을 충족해야 합니다.

시스템이 특정 시간에 주어진 상태에 있을 확률과 그에 따른 시스템 특성은 분석 형식이 필요한 분할 함수에 의해 결정됩니다.

\mathbb {Z} = \sum _{\mbox{states}}\exparet\varepsilon({\mbox{state}})

여기서 β=1/kT, T는 온도, k는 볼츠만의 상수이다.시스템이 특정 상태(마이크로스테이트)에 있을 확률은 다음과 같습니다.

(\displaystyle\frac\varepsilon({\mbox{state})}{\mathbb {Z}}}

따라서 시스템의 에너지 평균값은 다음과 같이 주어진다.

(\displaystyle \varepsilon \rangle = sum frac {\mbox { states}\varepsilon \exp}{\mbox { states}\exp\sum \varepsilon }}}=kT^{2}{\frac {\partial }{\partial T}}\ln \mathbb {Z}}

분할 함수를 평가하려면 먼저 정점 행의 상태를 조사합니다.

정사각형 격자 정점 모형의 정점 행

외부 에지는 내부 결합에 대한 합계가 있는 자유 변수입니다.따라서 행 파티션 함수를 형성합니다.

T_{i_{1}k_{N}^{i'_{1}\ell_{1}\ell_{N}=\sum_{r_{1},\display,r_{N-1}}R_{i_{1}k_{{1}}{{{n}}}_R}_{{{{n}}}}}}_{r}}}}_{{r}}}}}}_{{{r_R}}}}}}}}}}}}}}}}}_{{{r}}}}}

이는 보조 n차원 벡터 공간 V로 재구성할 수 있으며 $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ 은 { v $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ , $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ }({ $v_{1},\ldots, v_{n$ 및 $R\in End(V\otimes V)$ E n $R\in End(V\otimes V)$ V $R\in End(V\otimes V)$ )({ $displaystyle$ R $\in$ End $(V\otimes$ V $))$ 이다 $R\in End(V\otimes V)$ .

R(v_{i}\otimes v_{j}=\sum _{k,\ell}R_{ij}^{k\ell}v_{k}\otimes v_{\ell}

$T\in End(V\otimes V^{\otimes N})$ T $T\in End(V\otimes V^{\otimes N})$ $T\in End(V\otimes V^{\otimes N})$ d ( $T\in End(V\otimes V^{\otimes N})$ V $T\in End(V\otimes V^{\otimes N})$ N $){$ $displaystyle$ T $\in$ End $(V\otimes$ V $^{\otimes$ N $})$ 는 다음과 같습니다 $T\in End(V\otimes V^{\otimes N})$ .

({displaystyle T(v_{i_{1}}\otimes v_{k_{N})=\sum _{i'_{1},\ell _{1},\ell \ell _{N}}T_{i_{1}\dots k_{1}}^{N})

따라서 T는 다음과 같이 쓰여질 수 있음을 암시한다.

T=R_{0N}\cdots R_{02}R_{01

여기서 지수는 R이 작동하는 $V\otimes V^{\otimes N}$ 곱 V $V\otimes V^{\otimes N}$ V $V\otimes V^{\otimes N}$ N ${\$ V $\otimes$ V $^{\otimes$ N}}의 $V\otimes V^{\otimes N}$ 인자를 나타낸다.주기 경계 $i_{1}=i'_{1}$ $i_{1}=i'_{1}$ $=$ ${\$ { $display i_{1$ }= $i'_$ 1}인 첫 번째 행의 결합 상태를 합하면 다음과 같다.

{\displaystyle(\operatorname {trace}_{V}(T)_{k_{1}\dots k_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}}

여기서 $\tau =\operatorname {trace} _{V}(T)$ = $\tau =\operatorname {trace} _{V}(T)$ V $\tau =\operatorname {trace} _{V}(T)$ ( $T$ ) \ displaystyle \ $displays =$ \ $operatorname {$ displays } $_$ { $V$ }( $T)}$ 는 $\tau =\operatorname {trace}_{{V}}(T)$ 행-전송 행렬입니다.

정사각형 격자 정점 모형에서 두 행의 정점

기여도를 두 행에 걸쳐 합하면 결과는 다음과 같습니다.

{\displaystyle(\operatorname {trace}_{V}(T))_{k_{1}\dots k_{N}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}(\operatorname {trace}_{V}(T)_{{D}})_{{n}{dots}^{n}

첫 번째 두 행을 연결하는 수직 결합에 대한 합계를 구하면 $((\operatorname {trace} _{V}(T))^{2})_{j_{1}\dots j_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}$ 값이 나옵니다. ( $((\operatorname {trace} _{V}(T))^{2})_{j_{1}\dots j_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}$ ( $((\operatorname {trace} _{V}(T))^{2})_{j_{1}\dots j_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}$ $((\operatorname {trace} _{V}(T))^{2})_{j_{1}\dots j_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}$ ( $((\operatorname {trace} _{V}(T))^{2})_{j_{1}\dots j_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}$ ) $((\operatorname {trace} _{V}(T))^{2})_{j_{1}\dots j_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}$ ) 2 ) j $((\operatorname {trace} _{V}(T))^{2})_{j_{1}\dots j_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}$ ... $((\operatorname {trace} _{V}(T))^{2})_{j_{1}\dots j_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}$ $((\operatorname {trace} _{V}(T))^{2})_{j_{1}\dots j_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}$ … $((\operatorname {trace} _{V}(T))^{2})_{j_{1}\dots j_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}$ ... $((\operatorname {trace} _{V}(T))^{2})_{j_{1}\dots j_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}$ N ( ( ( ( \ $operatorname { trace$ } $_$ { $V （$ T ) $）^{2} _$ { $j_{ N }$ \ $dots$ } \ $ell$ { $dots }$

M 행의 경우, 이것은

{{displaystyle}({V}(T)^{M})_{\ell '_{1}\dots \ell '_{N}}^{\ell _{1}\dots \ell _{N}}}

주기적인 경계조건을 수직열에 적용하여 전달행렬 $\tau$ (\style $\display\display)$ 로 $\tau$ 분할함수를 표현할 수 있다.

\mathbb {Z} =\operatorname {display} _{V^{\otimes N}}(\tau ^{M})\sim \sim \discda _{max}^{M}

여기서 $\lambda _{max}$ $\lambda _{max}$ {\ $displaystyle$ $\tau$ \ $displayda$ _ ${$ $max$ $}$ 는 $\lambda _{{max}}$ $\tau$ {{ $displaystyle$ \display $\tau$ 의 최대 고유값입니다. $\tau ^{M}$ M ${\$ displaystyle \display $}$ 의 $\tau$ 고유값은 M의 제곱에 대한 $\tau$ $\tau$ 의 고유값이며, $M\rightarrow \infty$ $displaystyle$ \ $right$ infrow \row }의 $\tau ^{M}$ 고유값입니다. $ty$ $M\rightarrow \infty$ 가장 큰 고유값의 거듭제곱이 다른 값보다 훨씬 커집니다.트레이스는 고유값의 합계이므로 Z $(\$ 의 $\mathbb {Z}$ 계산 문제는 $\tau$ (\ $displaystyle \tau$ 의 최대 고유값을 찾는 문제로 감소합니다. 이는 그 자체로 또 다른 연구 분야입니다.However, a standard approach to the problem of finding the largest eigenvalue of $\tau$ is to find a large family of operators which commute with $\tau$ . This implies that the eigenspaces are common, and restricts the possible space of solutions.이러한 통근 연산자군은 일반적으로 양자 그룹의 연구와 통계 역학을 관련짓는 양-박스터 방정식을 통해 찾을 수 있다.

통합성

정의:정점 모델은 다음과 같이 $\forall \mu ,\nu ,\exists \lambda$ , μ, μ $,$ $\forall \mu ,\nu ,\exists \lambda$ { $displaystyle \forall \mu,\nu,\exists \lambda}$ 의 경우에 통합할 $\forall \mu ,\nu ,\exists \lambda$ 수 있습니다.

R_{12}(\lambda)R_{13}(\mu)R_{23}(\nu)=R_{23}(\nu)R_{13}(\mu)R_{12}(\lambda)

이것은 정점 에너지의 가능한 의존성에 대응하는 Yang-Baxter 방정식의 매개 변수화된 버전이며, 따라서 볼츠만은 온도, 외부 필드 등과 같은 외부 매개변수에 R의 가중치를 부여한다.

적분성 조건은 다음 관계를 의미합니다.

제안:통합 가능한 정점 모델의 경우 위와 같이 $\lambda ,\mu$ , $μ,$ \ $lambda,$ \ $mu$ } 및 $\lambda ,\mu$ $\displaystyle \nu }$ 가 $\nu$ 정의되어 있습니다.

\displaystyle R(\lambda)(1\otimes T(\mu))(T(\nu)\otimes 1)=(T(\nu)\otimes 1)(1\otimes T(\mu)R(\lambda)}

V $V\otimes V\otimes V^{\otimes N}$ V $V\otimes V\otimes V^{\otimes N}$ V $V\otimes V\otimes V^{\otimes N}$ N $V\otimes V\otimes V^{\otimes N}$ {\ $displaystyle$ V $\otimes$ V $^{\otimes$ N $V\otimes V\otimes V^{\otimes N}$ 의 내형상으로서, $R(\lambda )$ 서 $R(\lambda )$ $R(\lambda )$ ) $R(\lambda )$ {\ $displaystyle$ R $(\lambda$ )은 $R(\lambda )$ 텐서 곱의 처음 두 벡터에 작용합니다.

이어서 오른쪽의 양쪽에 R $R(\lambda )^{-1}$ ( $R(\lambda )^{-1}$ ) - $R(\lambda )^{-1}$ (\ $displaystyle$ R $(\lambda )^{-1})$ 을 $R(\lambda )^{{-1}}$ 곱하고 다음과 같은 결과를 갖는 트레이스 연산자의 순환 특성을 사용합니다.

결과: $R(\lambda )$ ( $R(\lambda )$ ) $R(\lambda )$ \ $displaystyle$ R ( \ $lambda$ $\forall \lambda$ )가 $R(\lambda )$ 반전 가능한 $\forall \lambda$ 정점모델의 경우 전송행렬 $\tau (\mu )$ ( \ $displaystyle$ $\tau (\mu )$ \ $forall$ \ $lambda$ )는 $\tau (\nu ),\ \forall \mu ,\nu$ ( $\tau (\nu ),\ \forall \mu ,\nu$ ) , $\tau (\nu ),\ \forall \mu ,\nu$ ) , $\tau (\nu ),\ \forall \mu ,\nu$ , \ $display$ style \ $tau$ ( $\tau (\mu )$ $\$ $nu )$ 와 통신합니다 $\tau (\mu )$ $.$

이것은 용해 가능한 격자 모델의 해에서 양-박스터 방정식의 역할을 보여준다.Since the transfer matrices $\tau$ commute for all $\lambda ,\nu$ , the eigenvectors of $\tau$ are common, and hence independent of the parameterization.이러한 통근 전송 행렬을 찾는 것은 많은 다른 유형의 통계 기계 모델에 나타나는 반복적인 주제이다.

위의 R의 정의로부터, 2개의 n차원 벡터 공간의 텐서 곱에 있는 양-박스터 방정식의 모든 해에는, 각각의 결합이 가능한 $\{1,\ldots ,n\}$ $\{1,\ldots ,n\}$ 1 $\{1,\ldots ,n\}$ $}{표시 스타일$ \{1 $,\ldots,n$ 에 있을 수 있는 대응하는 2차원 해결 가능한 정점 모델이 존재하며, 여기서 R은 끝 동형이다 $.$ { $\{|a\rangle \otimes |b\rangle \},1\leq a,b\leq n$ $\{|a\rangle \otimes |b\rangle \},1\leq a,b\leq n$ $\{|a\rangle \otimes |b\rangle \},1\leq a,b\leq n$ $\{|a\rangle \otimes |b\rangle \},1\leq a,b\leq n$ , $\{|a\rangle \otimes |b\rangle \},1\leq a,b\leq n$ a , b $\{|a\rangle \otimes |b\rangle \},1\leq a,b\leq n$ n \ $displaystyle$ \ { $a$ \ $rangle$ \ $otimes$ b \ $rangle$ \ , $1 \leq$ a , $b$ \ $leq$ n $\{|a\rangle \otimes |b\rangle \},1\leq a,b\leq n$ 으로 스팬된 공간에 있습니다.이것은 주어진 양자 대수에 대응하는 해결 가능한 모델을 찾기 위해 주어진 양자 대수의 모든 유한 차원 불가축 표현의 분류에 동기를 부여합니다.

주목할 만한 정점 모델

6버텍스 모델
8버텍스 모델
19버텍스 모델(Izergin-Korepin 모델)

레퍼런스

^ R.J. Baxter, 통계역학 모델을 정확히 해결했습니다, 런던, 학술 출판사, 1982.
^ V. Chari와 A.N. Pressley, Quantum Groups 가이드, 케임브리지 대학 출판부, 1994
^ V.E. Korepin et al., 양자 역산란법과 상관 함수, 뉴욕, 케임브리지 대학 프레스 신디케이트, 1993
^ A. G. Izergin과 V. E. Korepin, 양자 샤바트-미하일로프 모델에 대한 역산란 방법 접근법.수학물리학에서의 커뮤니케이션, 79, 303(1981)

[1] R.J. Baxter, 통계역학 모델을 정확히 해결했습니다, 런던, 학술 출판사, 1982.

[2] V. Chari와 A.N. Pressley, Quantum Groups 가이드, 케임브리지 대학 출판부, 1994

[3] V.E. Korepin et al., 양자 역산란법과 상관 함수, 뉴욕, 케임브리지 대학 프레스 신디케이트, 1993

[4] A. G. Izergin과 V. E. Korepin, 양자 샤바트-미하일로프 모델에 대한 역산란 방법 접근법.수학물리학에서의 커뮤니케이션, 79, 303(1981)

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