사다리꼴 법칙

함수 f(x)(파란색)는 선형 함수(빨간색)에 의해 근사치된다.

수학에서, 그리고 좀 더 구체적으로 수치 분석에서 사다리꼴 규칙(사다리꼴 규칙 또는 사다리꼴 규칙이라고도 함—용어에 대한 자세한 내용은 사다리꼴 참조)은 명확한 적분을 근사하기 위한 기법이다.

\int _{a}^{b}f(x)\,dx.

사다리꼴 규칙은 사다리꼴로 $f(x)$ ) $f(x)$ 함수의 그래프 아래 영역을 근사하고 그 영역을 계산하는 방식으로 작동한다. 그 뒤를 잇는다.

\int_{a}^{b}f(x)\,dx\tx\cdot(b-a)\cdot {1}{2}}(f(a)+f(b)).

사다리꼴 규칙은 좌우 리만 합계를 평균하여 얻은 결과로 볼 수 있으며, 때로는 이렇게 정의되기도 한다. 적분은 통합 간격을 분할하고 사다리꼴 규칙을 각 하위 간격에 적용하고 결과를 합산하여 훨씬 더 잘 추정할 수 있다. 실제로 이 "체인" (또는 "복합") 사다리꼴 규칙은 대개 "사다리꼴 규칙과 통합"하는 것을 의미한다. }}[a, b]{\displaystyle[a,b]}를=-10<>x1개체, ⋯<>)N− 1<>)N)b{\displaystyle a=x_{0}<, x_{1}<, \cdots <, x_{N-1}<, x_{의 파티션{)k}{\displaystyle\와 같이{x_{k}\자.정기{k\displaystyle}-th subinterval의 N}=b}과Δ)k{\displaystyle\Delta x_{k}} 길이를 말한다. (즉, $\Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}$ $\Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}$ $\Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}$ = $\Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}$ $\Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}$ - $\Delta x_{k}=x_{k}-x_{k-1}$ ${\$ $그런$ 다음

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k})}{2}}\Delta x_{k}={\tfrac {\Delta x}{2}}\left(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+2f(x_{4})+\cdots +2f(x_{N-1})+f(x_{N}\오른쪽).

사다리꼴 규칙이 무엇이고 단계 크기가 감소함에 따라 근사치의 오차가 어떻게 감소하는지 보여주는 애니메이션

[a,b]

[a,b]

,

[a,b]

[a,b]

{\

displaystyle [a,b]}

의 불규칙한 간격 분할에 사용되는 "체인 사다리꼴 규칙"의 그림

[a,b]

근사치는 파티션의 분해능이 증가함에 $\Delta x_{k}$ 따라 더 정확해진다(즉, 더 큰 $N$ ${\displaystyle N$ $\Delta x_{k}$ $\Delta x_{k}$ $\Delta x_{k}$ ${\$ 흔히 그렇듯이 파티션의 간격이 일정한 경우 계산 효율을 위해 공식을 단순화할 수 있다.

아래에서 논의한 바와 같이 사다리꼴 규칙을 사용하여 추정된 확정 적분 값의 정확도에 오차 한계를 두는 것도 가능하다.

역사

2016년 한 논문은 기원전 50년 이전에 사다리꼴 규칙이 황토를 따라 목성의 속도를 통합하기 위해 바빌론에서 사용되었다고 보고한다.^[1]

수치적 구현

불균일 격자

격자 간격이 균일하지 않을 경우 공식을 사용할 수 있다.

\int_{a}^{b}f(x)\,dx\대략 \sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k-1})+f(x_{k}}}}{2}}\delta x_{k}}}}}}

균일 격자

동일한 $N$ $N$ 으로N {\ $displaystyle$ N $}$ 패널로 축소된 도메인의 경우 상당한 단순화가 발생할 수 있다. 내버려두다

\Delta x_{k}=\Delta x={\frac {b-a}{엔}

적분에 대한 근사치가 되다

{\begin}\int _{a}^{b(x)\,dx&\ 약 {\frac {\delta x}{2}}\sum _{k=1}^{N}\왼쪽(x_{k-1}+f(x_{k}\rigin}\right)\\[6pt]&={\frac {\Delta x}{2}}(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+\dotsb +2f(x_{N-1})+f(x_{N}))\\[6pt]&={\frac {\Delta x}{2}}\left(f(x_{0})+f(x_{N}+2\sum _{k=1}^{{N-1}f(x_{k}\right)\\[6pt]&=\Delta x\left(\sum _{k=1}^{{N-1f(x_{k})+{\frac {f(x_{N})+f(x_{0}}}{2}}\오른쪽)\end{aigned}}}}}}}}}}}

계산하는 함수의 평가가 더 적게 필요하다.

오류분석

사다리꼴 규칙 근사치가

a=2

= 2

a=2

a=2

b=8

=

b=8

b=8

의 간격에 대해 스트립이 많을수록 향상되는 방법을 보여주는 애니메이션

b=8

N

N

의 간격 수가 증가함에

N

따라 결과의 정확도도도도도 높아진다.

복합 사다리꼴 규칙의 오류는 적분 값과 숫자 결과 간의 차이:

{\text{error}}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]

a와^[2] b 사이에는 다음과 같은 숫자 exists이 존재한다.

{\text{error}}=-{\frac {(b-a)^{3}{12N^{2}}f"(\xi )

따라서 통합이 위로 오목하게 되어(따라서 양의 두 번째 파생상품이 있는 경우), 오차는 음이고 사다리꼴 규칙은 참값을 과대평가한다. 이것은 기하학적 그림에서도 볼 수 있다: 사다리꼴은 곡선 아래의 모든 영역을 포함하며 그 위로 뻗어나간다. 마찬가지로 오목함수는 곡선 아래 면적이 설명되지 않기 때문에 과소평가되지만 위에서 계산된 것은 없다. 근사치되는 적분 간격이 변곡점을 포함하면 오차를 식별하기가 더 어렵다.

N → ∞에 대한 점근오차 추정치는 다음과 같다.

{\text{error}}=-{\frac {(b-a)^{2}}{{12N^{2}}:{\big [}f'-f'(a){\big ]}+O(N^{-3)

이 오차 추정치의 추가 용어는 오일러-매클라우린 합계 공식에 의해 제시된다.

오류를 분석하기 위해 다음과 같은 몇 가지 기법을 사용할 수 있다.^[3]

사다리꼴 규칙의 수렴 속도는 함수의 평활도 등급의 정의로 사용할 수 있다는 주장이 있다.^[7]

증명

$h={\frac {b-a}{N}}$ h $h={\frac {b-a}{N}}$ = $h={\frac {b-a}{N}}$ - N ${\$ h $={\frac {b-a}{$ $N}}}$ and $a_{k}=a+(k-1)h$ . Let $g_{k}(t)={\frac {1}{2}}t[f(a_{k})+f(a_{k}+t)]-\int _{a_{k}}^{a_{k}+t}f(x)dx$ be the function such that ${\display$ $style g_{k}(h) }$ 은(는) 간격 중 하나에 대한 사다리꼴 규칙의 오류로 $|g_{k}(h)|$ $[a_{k},a_{k}+h]$ [ $[a_{k},a_{k}+h]$ , $[a_{k},a_{k}+h]$ + $[a_{k},a_{k}+h]$ $[a_{k},a_{k}+h]$ ${\displaystyle [a_{k},a_{k}+h$ 그러면

{\dg_{k} \overdt}={1 \overd2}[f(a_{k}+t)+f(a_{k}+t)]+{1 \over 2}t\cdot f'(a_{k}+t)-f(a_{k}+t),},}

그리고

{\d^{d^{2}g_{k}\overdt^{2}}={1 \over 2}t\cdot f"(a_{k}+t).

$이제$ $f$ $\left\vert f''(x)\right\vert \leq f''(\xi ),$ ( $\left\vert f''(x)\right\vert \leq f''(\xi ),$ ) $\left\vert f''(x)\right\vert \leq f''(\xi ),$ $\left\vert f''(x)\right\vert \leq f''(\xi ),$ $\left\vert f''(x)\right\vert \leq f''(\xi ),$ ( $\left\vert f''(x)\right\vert \leq f''(\xi ),$ ) $\left\vert f''(x)\right\vert \leq f''(\xi ),$ , ${\$ $displaystyle$ $\left\vert f"(x)\right\vert \leq f"(\xi })$ 이(가 $)$ 충분히 부드럽다면 $f$ 이 값을 $\left\vert f''(x)\right\vert \leq f''(\xi ),$ 유지한다고 가정합시다. 그 뒤를 잇는다.

\left\vert f"(a_{k}+t)\right\vert \leq f"(\xi )

which is equivalent to $-f''(\xi )\leq f''(a_{k}+t)\leq f''(\xi )$ , or ${\displaystyle -{\frac {f''(\xi )t}{2}}\leq g_{k}''(t)\leq {\frac {f''(\xi )t}{2}}.$ $}$

$g_{k}'(0)=0$ $g_{k}'(0)=0$ $g_{k}'(0)=0$ ( $g_{k}'(0)=0$ ) $g_{k}'(0)=0$ = 0 $g_{k}'(0)=0$ 및 $g_{k}(0)=0$ ( 0 $g_{k}(0)=0$ ) $g_{k}(0)=0$ = $g_{k}(0)=0$ {\ $displaystyle g_{k}($ 0)= $0}$ 이므로 $g_{k}(0)=0$

\int _{0}^{t}g_{k}"(x)dx=g_{k}'(t)

그리고

\int _{0}^{t}g_{k}'(x)dx=g_{k}(t).

이 결과를 통해 우리는

-{\frac {f"(\xi )t^{2}}:\leq g_{k}'(t)\leq {\frac {f"(\xi )t^{4}}}}

그리고

-{\frac {f"(\xi )t^{3}{12}}\leq g_{k}(t)\leq {\frac {f"(\xi )t^{3}}}}}

$t=h$ = h $t=h$ 허용 $t=h$

-{\frac {f"(\xi )h^{3}{12}}\leq g_{k}(h)\leq {f"(\xi )h^{3}{12}}}.

발견된 모든 로컬 오류 용어를 합쳐서

\sum _{k=1}^{N}g_{k}(h)={\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx.

하지만 우리는 또한

-\sum _{k=1}^{N}{{n}{3}}}}{12}}}\leq \sum _{k=1}g_{k}(h)\leq \{k=1}{{{n}}{fr=1}(xi ){12}}}}}}}}

그리고

\sum \{k=1}^{N}{\frac {f"(\xi )h^{3}}{12}={\frac {f"(\xi )h^{3}N}}}},

하도록

-{\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}\leq {\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]-\int _{a}^{b}f(x)dx\leq {\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}.

따라서 총 오차는 다음 범위로 제한된다.

{\text{error}}=\int _{a}^{b}f(x)dx-{\frac {b-a}{N}}\left[{f(a)+f(b) \over 2}+\sum _{k=1}^{N-1}f\left(a+k{\frac {b-a}{N}}\right)\right]={\frac {f''(\xi )h^{3}N}{12}}={\frac {f''(\xi )(b-a)^{3}}{12N^{2}}}.

주기 및 피크 함수

사다리꼴 규칙은 주기적인 기능을 위해 빠르게 수렴된다. 이는 Euler-Maclaurin 합계식의 쉬운 결과로서, 만약 $f$ ${\displaystyle$ $f$ $}$ 이 $f$ $p$ (가) $기간$ T{\ $displaystyle T}$ 과(와) 연속적으로 다른 경우(와)라고 한다.

\sum \{k=0}^{N-1}f(kh)h=\int_{0}^{0}^{T}f(x)\,dx+\\sum_{k=1}^{k=1}{nll바닥 p/2\rfloor }{\frac {B_{2k}}{{2k(2k)!}}}}}(f^{{0-1)-f^{(2k-1)}(0)---(1)-^{p}h^{p}\int_{0}^{0}^{0}^{T}{\tilde{B}_{p}(x/T)f^{(p)}(x)\,\mathrm {d}x}x

여기서 $h:=T/N$ $h:=T/N$ $h:=T/N$ / N $h:=T/N$ 및 $h:=T/N$ ${\tilde {B}}_{p}$ ~ ${\tilde {B}}_{p}$ ${\$ $displaystyle$ ${\tilde{B}_{p}}$ 는 $p$ 베르누이 $다항식$ 의 $주기적$ 확장이다 ${\tilde {B}}_{p}$ $.$ ^[8] 주기성으로 인해 엔드포인트의 파생상품이 취소되고 오류가 $O(h^{p})$ $O(h^{p})$ $O(h^{p})$ ) ${\displaystyle$ O $(h^{p})$ 입니다 $O(h^{p})$

가우스, 기하급수적으로 수정된 가우스와 같은 피크 유사 기능 및 무시할 수 있는 통합 한계에서 파생상품을 갖는 기타 기능에도 유사한 효과를 사용할 수 있다.^[9] 정확도가 1%인 사다리꼴 규칙에 의한 가우스 함수의 전체 적분 평가는 단 4점을 사용하여 수행할 수 있다.^[10] 심슨의 법칙은 같은 정확도를 얻기 위해서는 1.8배 이상의 점수를 필요로 한다.^[10]^[11]

오일러-매클라우린 합계식을 보다 높은 차원으로 확장하기 위한 노력이 어느 정도 이루어졌지만,^[12] 보다 높은 차원에 있어서의 사다리꼴 규칙의 급속한 정합화를 증명하는 가장 직접적인 증거는 푸리에 시리즈의 정합화로 문제를 줄이는 것이다. 이 추론에서는 p ${\displaystyle$ f}이 $($ $가)$ $p$ 이 $p$ $있는$ n {\ $displaystyle n}$ -차원 $n$ 공간에서 주기적인 경우 $f$ , 수렴 $O(h^{p/d})$ 는 $O(h^{p/d})$ O( $O(h^{p/d})$ p $O(h^{p/d})$ {\ $displaysty$ O $(h^{p/d$ 매우 큰 차원에 대해서는 Monte-Carlo 통합이 가장 가능성이 높다는 것을 보여준다. 더 나은 선택이지만, 2차원과 3차원의 경우 등분 표본 추출이 효율적이다. 이는 상호 격자 내 원시 세포에 대한 등분비 샘플링을 Monkhorst-Pack 통합으로 알려진 계산 솔리드 스테이트 물리학에서 활용된다.^[13]

"경계" 함수

C에² 없는 함수의 경우 위에 주어진 오차범위는 적용되지 않는다. 그러나 이러한 대략적인 기능에 대한 오차 한계는 도출될 수 있으며, 이는 일반적으로 위에 주어진 $O(N^{-2})$ ( $O(N^{-2})$ - $O(N^{-2})$ ) $N$ 의 동작보다 $N$ $O(N^{-2})$ 함수 평가 $N$ ${\$ $displaystyle$ N $}$ 의 수와 더 느린 수렴을 나타낸다. 흥미롭게도, 이 경우 사다리꼴 규칙은 동일한 수의 함수 평가에 대한 심슨의 규칙보다 더 명확한 경계를 가지고 있다.^[14]

적용 가능성 및 대안

사다리꼴 규칙은 뉴턴-코테스 공식이라고 불리는 숫자 통합 공식의 한 계열이며, 중간점 규칙은 사다리꼴 규칙과 유사하다. 심슨의 규칙은 같은 가족의 또 다른 구성원이며, 일반적으로 모든 특정한 경우는 아니지만 지속적으로 두 배씩 차이가 나는 기능에 대한 사다리꼴 규칙보다 융합 속도가 빠르다. 그러나 다양한 등급의 거친 기능(평활도가 약한 기능)의 경우 사다리꼴 규칙은 일반적으로 심슨의 규칙보다 더 빠른 정합성을 가진다.^[14]

더욱이 사다리꼴 규칙은 주기적인 기능이 그 기간에 걸쳐 통합될 때 극히 정확해지는 경향이 있어, 이를 다양한 방법으로 분석할 수 있다.^[7]^[11] 피크 기능에도 유사한 효과를 사용할 수 있다.^[10]^[11]

그러나 비주기적 함수의 경우 일반적으로 가우스 사분법 및 클렌쇼-커티스 사분법처럼 뚜렷하게 간격을 두는 방법이 훨씬 더 정확하다. 클렌쇼-커티스 사분법은 주기적 통합의 관점에서 임의적 통합을 표현하기 위한 변수의 변화로 볼 수 있으며, 이때 사다리꼴 규칙이 적용될 수 있다.경솔하게

참고 항목

메모들

^ Ossendrijver, Mathieu (Jan 29, 2016). "Ancient Babylonian astronomers calculated Jupiter's position from the area under a time-velocity graph". Science. 351 (6272): 482–484. doi:10.1126/science.aad8085. PMID 26823423. S2CID 206644971.
^ 앳킨슨(1989, 방정식 5.1.7)
^ (Weideman 2002, 페이지 23, 섹션 2)
^ 앳킨슨(1989, 방정식 5.1.9)
^ 앳킨슨(1989, 페이지 285)
^ 부담 & 연금술사(2011, 페이지 194) (도움말)
^ Jump up to: ^a ^b (라만 & 슈마이서 1990)
^ Kress, Rainer (1998). Numerical Analysis, volume 181 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag.
^ Goodwin, E. T. (1949). "The evaluation of integrals of the form". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 45 (2): 241–245. doi:10.1017/S0305004100024786. ISSN 1469-8064.
^ Jump up to: ^a ^b ^c Kalambet, Yuri; Kozmin, Yuri; Samokhin, Andrey (2018). "Comparison of integration rules in the case of very narrow chromatographic peaks". Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems. 179: 22–30. doi:10.1016/j.chemolab.2018.06.001. ISSN 0169-7439.
^ Jump up to: ^a ^b ^c (Weideman 2002)
^ "Euler-Maclaurin Summation Formula for Multiple Sums". math.stackexchange.com.
^ Thompson, Nick. "Numerical Integration over Brillouin Zones". bandgap.io. Retrieved 19 December 2017.
^ Jump up to: ^a ^b (Cruz-Uribe & Neugebauer 2002)

참조

Atkinson, Kendall E. (1989), An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-50023-0
Rahman, Qazi I.; Schmeisser, Gerhard (December 1990), "Characterization of the speed of convergence of the trapezoidal rule", Numerische Mathematik, 57 (1): 123–138, doi:10.1007/BF01386402, ISSN 0945-3245, S2CID 122245944
Burden, Richard L.; Faires, J. Douglas (2000), Numerical Analysis (7th ed.), Brooks/Cole, ISBN 978-0-534-38216-2
Weideman, J. A. C. (January 2002), "Numerical Integration of Periodic Functions: A Few Examples", The American Mathematical Monthly, 109 (1): 21–36, doi:10.2307/2695765, JSTOR 2695765
Cruz-Uribe, D.; Neugebauer, C. J. (2002), "Sharp Error Bounds for the Trapezoidal Rule and Simpson's Rule" (PDF), Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, 3 (4)

외부 링크

트라페지움 공식. I.P. 마이소프스키크, 수학 백과사전, ed. M. 헤이즈윙클
사다리꼴-규칙 사다리꼴의 수렴에 관한 참고사항
부스트가 제공하는 사다리꼴 사다리꼴 사다리꼴 사다리꼴의 구현.수학

[1] Ossendrijver, Mathieu (Jan 29, 2016). "Ancient Babylonian astronomers calculated Jupiter's position from the area under a time-velocity graph". Science. 351 (6272): 482–484. doi:10.1126/science.aad8085. PMID 26823423. S2CID 206644971.

[2] 앳킨슨(1989, 방정식 5.1.7)

[w0223-3] (Weideman 2002, 페이지 23, 섹션 2)

[4] 앳킨슨(1989, 방정식 5.1.9)

[5] 앳킨슨(1989, 페이지 285)

[6] 부담 & 연금술사(2011, 페이지 194) (도움말)

[rs90-7] Jump up to: ^a ^b (라만 & 슈마이서 1990)

[8] Kress, Rainer (1998). Numerical Analysis, volume 181 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag.

[9] Goodwin, E. T. (1949). "The evaluation of integrals of the form". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 45 (2): 241–245. doi:10.1017/S0305004100024786. ISSN 1469-8064.

[:0-10] Jump up to: ^a ^b ^c Kalambet, Yuri; Kozmin, Yuri; Samokhin, Andrey (2018). "Comparison of integration rules in the case of very narrow chromatographic peaks". Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems. 179: 22–30. doi:10.1016/j.chemolab.2018.06.001. ISSN 0169-7439.

[w02-11] Jump up to: ^a ^b ^c (Weideman 2002)

[12] "Euler-Maclaurin Summation Formula for Multiple Sums". math.stackexchange.com.

[13] Thompson, Nick. "Numerical Integration over Brillouin Zones". bandgap.io. Retrieved 19 December 2017.

[cun02-14] Jump up to: ^a ^b (Cruz-Uribe & Neugebauer 2002)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

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hide v t 미적분학.
프레살쿨루스	이항 정리 오목함수 연속함수 요인 유한차이 자유 변수 및 경계 변수 함수의 그래프 선형함수 라디안 롤의 정리 세컨트 경사 접선
한계	불확정형 함수의 한계 단측한도 수열의 한계 근사순번 (ε, Δ)-한계의 정의
미분학	파생상품 미분 미분방정식 미분 연산자 평균값 정리 표기법 라이프니츠의 표기법 뉴턴의 표기법 차별화 규칙 직선성 힘 합계 체인 L'Hepital's girls 제품 라이프니츠 장군의 통치 지수 기타 기법 암묵적 분화 역함수 규칙 및 분화 로그 유도화 관련금리 정지점 제1차 파생상품시험 2차파생성시험 극값정리 맥시마와 미니마 추가 애플리케이션 뉴턴의 방법 테일러의 정리
적분 미적분학	해독제 호 길이 기본 속성 집적 상수 미적분학의 기본 정리 통합 기호 아래 차별화 부품별 통합 대체에 의한 통합 삼각 측량 오일러 위어스트라스 적분 부분분수 2차 적분 사다리꼴 법칙 볼륨 와셔법 셸 방식
벡터 미적분학	파생상품 컬 방향파생상품 발산 그라데이션 라플라시안 기본 정리 라인 통합 그린스 스톡스 가우스
다변량 미적분학	발산정리 기하학 헤시안 행렬 야코비안 행렬과 결정인자 라그랑주 승수 라인 적분 매트릭스 다중 적분 부분파생상품 표면 적분 부피 적분 고급 주제 미분형식 외부파생상품 일반화 스톡스의 정리 텐서 미적분학
시퀀스 및 시리즈	산술-기하 시퀀스 계열의 종류 교대로 이항체 푸리에 기하학 조화 무한 힘 마클로린 테일러 텔레스코핑 수렴 시험 아벨의 교대계열 코시 응결 직접 비교 디리클레트 적분 한계비교 비율 뿌리 용어
특수 기능 와 숫자	베르누이 수 e (계속 상수) 지수함수 자연 로그 스털링의 근사치
미적분학의 역사	적정성 브룩 테일러 콜린 매클라우린 대수 일반성 고트프리트 빌헬름 라이프니즈 최소값 소수점 미적분학 아이작 뉴턴 플럭시온 연속성의 법칙 레온하르트 오일러 플럭션의 방법 기계식 이론의 방법
목록	차별화 규칙 지수함수의 통합 목록 쌍곡선 함수의 통합 목록 역 쌍곡선 함수의 통합 목록 역삼각계 함수의 통합 목록 비합리적인 기능의 통합 목록 로그 함수의 통합 목록 합리적인 기능의 통합 목록 삼각함수의 통합 목록 세컨트 큐방트 한계 목록 통합 목록
기타 항목	미분 기하학 곡면성 곡선의 표면의 오일러-마클라우린 공식 가브리엘 혼 통합 비 22/7이 π을 초과한다는 증거 레지오몬타누스의 각도 최대화 문제 스타인메츠 고체

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