휘태커 함수

수학에서 휘태커 함수는 휘태커 방정식의 특수한 해법으로, 휘태커(1903)가 용액과 관련된 공식을 보다 대칭적으로 만들기 위해 도입한 결합초기하 방정식의 변형된 형태다. 보다 일반적으로, Jacquet(1966, 1967)은 지역 분야에 걸쳐 환원집단의 휘태커 기능을 도입했는데, 여기서 휘태커가 연구한 기능은 본질적으로 지역장이 실수이고 집단이 SL₂(R)인 경우다.

휘태커 방정식은

${\dxyle {\frac{d^{2}w}{dz^{2}}+\왼쪽{{1}{1}{1}{1}{1}{1}{4}}+{z}+{1/4-\mu ^{2}}:{z^{2}}\w)=0.}$

0에 정격 단수점, irregular에 불규칙 단수점을 가지고 있다. 두 가지 해결책은 Whitaker_κ,μ 함수 M_κ,μ(z), W(z)에 의해 제공되며, 이는 Kummer의 결합초기하 함수 M과 U에 의해 정의된다.

${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }\왼쪽(z\right)=\exp \left(-z/2\오른쪽)z^{\mu +{1}{1}Mu -\tfrac {1}{1}{1},1+2\z\right)}$

${\displaystyle W_{\kappa ,\mu }\왼쪽(z\오른쪽)=\exp \left(-z/2\오른쪽)z^{\mu +{\tfrac{1}{1}:{1}2}}U\왼쪽(\mu -\kappa +{\tfrac {1}{2}},1+2\mu,z\오른쪽).}$

Whitaker 함수 M ${\displaystyle {\mu }_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}\mu }$ (${\displaystyle {}_{}}$z${\displaystyle }$) ${\displaystyle M_{\kappa ,\mu }(z)$ $및$ W ${\displaystyle {\mu }_{}}$, ${\displaystyle {\mu }_{}}$ (${\displaystyle z}$ ) ${\displaystyle W_{\kappa ,\mu$}}}}는$$μ의 반대 값을 가진 함수들과 동일하며$$, 다시 말하면 고정 μ의 함수로 간주된다. κ과 z가 실제일 때 함수는 μ의 실제 및 가상 값에 대한 실제 값을 제공한다. 이러한 μ의 기능은 이른바 쿰메르 공간에서 역할을 한다.^[1]

휘태커 함수는 휘태커 모델이라 불리는 그룹 SL₂(R)의 특정 표현 계수로 나타난다.

참조

• 아브 밀턴, Stegun, Irene은 앤, eds.(1983년)[6월 1964년]."13장".Formulas, Graphs,과 수학적 표로 핸드 북 수학의 함수입니다.응용 수학 시리즈이다. 55(10원래 인쇄의 추가로 수정 작업과 교정을 9재판(1972년 12월) 제1판).워싱턴 DC, 뉴욕:미국 상무부, 표준국의 도버 출판사.를 대신하여 서명함. 504,537.아이 에스비엔 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036.MR0167642.LCCN 65-12253.장 14를 참조하십시오.
• Bateman, Harry (1953), Higher transcendental functions (PDF), 1, McGraw-Hill.
• Brychkov, Yu.A.; Prudnikov, A.P. (2001) [1994], "Whittaker function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Daalhuis, Adri B. Olde (2010), "Whittaker function", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
  • Jacquet, Hervé (1966), "Une interprétation géométrique et une généralisation P-adique des fonctions de Whittaker en théorie des groupes semi-simples", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B, 262: A943–A945, ISSN 0151-0509, MR 0200390
• Jacquet, Hervé (1967), "Fonctions de Whittaker associées aux groupes de Chevalley", Bulletin de la Société Mathématique de France, 95: 243–309, doi:10.24033/bsmf.1654, ISSN 0037-9484, MR 0271275
• Rozov, N.Kh. (2001) [1994], "Whittaker equation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press.
• Slater, Lucy Joan (1960), Confluent hypergeometric functions, Cambridge University Press, MR 0107026.
• Whittaker, Edmund T. (1903), "An expression of certain known functions as generalized hypergeometric functions", Bulletin of the A.M.S., Providence, R.I.: American Mathematical Society, 10 (3): 125–134, doi:10.1090/S0002-9904-1903-01077-5

추가 읽기

• Hatamzadeh-Varmazyar, Saeed; Masouri, Zahra (2012-11-01). "A fast numerical method for analysis of one- and two-dimensional electromagnetic scattering using a set of cardinal functions". Engineering Analysis with Boundary Elements. 36 (11): 1631–1639. doi:10.1016/j.enganabound.2012.04.014. ISSN 0955-7997.
• Gerasimov, A. A.; Lebedev, Dmitrii R.; Oblezin, Sergei V. (2012). "New integral representations of Whittaker functions for classical Lie groups". Russian Mathematical Surveys. 67 (1): 1–92. arXiv:0705.2886. Bibcode:2012RuMaS..67....1G. doi:10.1070/RM2012v067n01ABEH004776. ISSN 0036-0279.
• Baudoin, Fabrice; O’Connell, Neil (2011). "Exponential functionals of brownian motion and class-one Whittaker functions". Annales de l'Institut Henri Poincaré, Probabilités et Statistiques. 47 (4): 1096–1120. Bibcode:2011AIHPB..47.1096B. doi:10.1214/10-AIHP401. S2CID 113388.
• McKee, Mark (April 2009). "An Infinite Order Whittaker Function". Canadian Journal of Mathematics. 61 (2): 373–381. doi:10.4153/CJM-2009-019-x. ISSN 0008-414X.
• Mathai, A. M.; Pederzoli, Giorgio (1997-03-01). "Some properties of matrix-variate Laplace transforms and matrix-variate Whittaker functions". Linear Algebra and Its Applications. 253 (1): 209–226. doi:10.1016/0024-3795(95)00705-9. ISSN 0024-3795.
• Whittaker, J. M. (May 1927). "On the Cardinal Function of Interpolation Theory". Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society. 1 (1): 41–46. doi:10.1017/S0013091500007318. ISSN 1464-3839.
• Cherednik, Ivan (2009). "Whittaker Limits of Difference Spherical Functions". International Mathematics Research Notices. 2009 (20): 3793–3842. arXiv:0807.2155. doi:10.1093/imrn/rnp065. ISSN 1687-0247. S2CID 6253357.
• Slater, L. J. (October 1954). "Expansions of generalized Whittaker functions". Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 50 (4): 628–631. Bibcode:1954PCPS...50..628S. doi:10.1017/S0305004100029765. ISSN 1469-8064.
• Etingof, Pavel (1999-01-12). "Whittaker functions on quantum groups and q-deformed Toda operators". arXiv:math/9901053.
• McNamara, Peter J. (2011-01-15). "Metaplectic Whittaker functions and crystal bases". Duke Mathematical Journal. 156 (1): 1–31. arXiv:0907.2675. doi:10.1215/00127094-2010-064. ISSN 0012-7094. S2CID 979197.
• Mathai, A. M.; Pederzoli, Giorgio (1998-01-15). "A whittaker function of matrix argument". Linear Algebra and Its Applications. 269 (1): 91–103. doi:10.1016/S0024-3795(97)00059-1. ISSN 0024-3795.
• Frenkel, E.; Gaitsgory, D.; Kazhdan, D.; Vilonen, K. (1998). "Geometric realization of Whittaker functions and the Langlands conjecture". Journal of the American Mathematical Society. 11 (2): 451–484. doi:10.1090/S0894-0347-98-00260-4. ISSN 0894-0347. S2CID 13221400.