휘태커 모델

수학의 한 분야인 표현 이론에서 휘태커 모델은 집단의 함수의 공간에 유한 또는 국소 또는 글로벌 분야에 걸쳐 GL과₂ 같은 환원 대수집단의 표현을 실현하는 것이다. 그것은 E. T의 이름을 따서 명명되었다. 휘태커는 이 분야에서 일한 적이 없음에도 불구하고, (Jacquet 1966, 1967) 그룹 SL₂(R)의 경우, 대표에 관련된 기능 중 일부는 휘태커 기능이라고 지적했기 때문이다.

휘태커 모델이 없는 불가해한 표현은 때로 "폐화"라고 불리고 휘태커 모델이 있는 표현은 "유전성"이라고도 불린다. 공감 그룹 Sp의₄ 대표성 is은₁₀ 퇴보적 대표성의 가장 간단한 예다.

GL용₂ 휘태커 모델

만약 G가 대수군₂ GL이고 F가 국소군이고, τ은 F의 첨가군 고정비례문자, π은 일반 선형군 G(F)의 불가역적 표현이라면, π의 휘태커 모델은 G(F)의 함수 공간 ƒ에 대한 표현 π이다.

${\displaystyle f\leftd\pmatrix}1&b\0&1\end{pmatrix}g\right)=\tau(b)f(g).}$

Jacquet & Langlands(1970)는 Whittaker 모델을 사용하여 GL의₂ 허용 가능한 표현에 L-기능을 할당했다.

GL용_n 휘태커 모델

Let ${\displaystyle G}$ be the general linear group ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$, ${\displaystyle \psi }$ a smooth complex valued non-trivial additive character of ${\displaystyle F}$ and ${\displaystyle U}$ the subgroup of ${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$ consisting 전능하지 않은 상위 삼각형 행렬 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$에서 삭제되지 않는 문자가 형식임$$

${\displaystyle \chi(u)=\cHB(\displaystyle \cHB_{1}x_{12}+\cdots +\cdots _{n-1n}),}$

for ${\displaystyle u=(x_{ij})}$ ∈ ${\displaystyle U}$ and non-zero ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n-1}}$ ∈ ${\displaystyle F}$. If ${\displaystyle (\pi ,V)}$ is a smooth representation of ${\displaystyle G(F)}$, a Whittaker functional ${\displaystyle \lambda }$ is a continuous linear functional on ${\displaystyle V}$ such that ${\displaystyle \lambda (\pi (u)v)=\chi (u)\lambda (v)}$ for all ${\displaystyle u}$ ∈ ${\displaystyle U}$, ${\displaystyle v}$ ∈ ${\displaystyle V}$. Multiplicity one는 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$ 단일해석$$ 불가능한 경우 Whittaker 함수 공간의 치수는 최대 1과 동일하다고 명시하고 있다.

환원 그룹에 대한 Whittaker 모델

G가 분할 환원 그룹이고 U가 보렐 하위 그룹 B의 전능적 급진 그룹이라면, 표상을 위한 휘태커 모델은 유도(Gelfand-Graev) 표현 Ind^G
_U(()에 그것을 내장한 것이고, 여기서 χ은 단순한 뿌리에 해당하는 문자의 합과 같이 U의 비감소적 성격이다.

참고 항목

• Gelfand-Graev 표현, 유한한 분야에 걸친 Whitaker 모델의 대략적인 합이다.
• 키릴로프 모델

참조

• Jacquet, Hervé (1966), "Une interprétation géométrique et une généralisation P-adique des fonctions de Whittaker en théorie des groupes semi-simples", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B, 262: A943–A945, ISSN 0151-0509, MR 0200390
• Jacquet, Hervé (1967), "Fonctions de Whittaker associées aux groupes de Chevalley", Bulletin de la Société Mathématique de France, 95: 243–309, doi:10.24033/bsmf.1654, ISSN 0037-9484, MR 0271275
• Jacquet, H.; Langlands, Robert P. (1970), Automorphic forms on GL(2), Lecture Notes in Mathematics, Vol. 114, 114, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0058988, ISBN 978-3-540-04903-6, MR 0401654
• J. A. 샬리카, $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$에 대한 다중성 원 정리$,$ 2위 수학실록. 서, 제100권, 제2권(1974년), 제171권-193호.

추가 읽기

• Jacquet, Hervé; Shalika, Joseph (1983). "The Whittaker models of induced representations". Pacific Journal of Mathematics. 109 (1): 107–120. doi:10.2140/pjm.1983.109.107. ISSN 0030-8730.