영의 격자

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수학에서 영의 격자는 부분적으로 순서가 정해진 집합과 모든 정수 칸막이에 의해 형성된 격자다.그것은 일련의 논문에서 대칭 집단의 대표이론을 개발한 알프레드 영의 이름을 따서 명명되었다.영의 이론에서, 지금 영 도표라고 불리는 사물들과 그 위에 있는 부분적인 질서가 열쇠, 심지어 결정적인 역할을 했다.영의 격자는 대수학 콤비네이터학에서 두드러지게 나타나서 스탠리(1988)의 의미에서 차동 포셋의 가장 단순한 예를 형성한다.그것은 또한 아핀 리 알헤브라의 크리스탈 베이스와도 밀접하게 연결되어 있다.

정의

영의 격자는 Young 도표(또는 Ferrers 도표)를 포함시켜 정렬된 모든 정수 분할에 의해 부분적으로 정렬된 집합 Y이다.

의의

영의 격자의 전통적인 적용은 모든 n에 대한 대칭 그룹 S의_n 되돌릴 수 없는 표현과 그들의 분기 특성을 특징 0으로 설명하는 것이다.수정할 수 없는 표현의 동등성 클래스는 파티션이나 Young 다이어그램에 의해 매개될 수 있으며, S에서 S까지의_{n + 1n} 제한은 다중성이 없으며, q가 Young의 격자에서 p를 포함하는 경우에만 파티션 q로 S의_{nn + 1} 표현에 포함되어 있다.이 절차를 반복하면, S를 칸막이_n p로 수정 불가능한 표현으로 영의 반역학적 기초에 도달하는데, 이것은 형태 p의 표준 Young tableaux에 의해 색인화된다.

특성.

• poset Y는 등급이 매겨진다: 최소 요소는 ∅이고, 0의 고유한 파티션이며, n의 파티션은 n등급이다.격자에서 비교 가능한 두 개의 칸막이를 부여하면 칸막이와 같은 의미로 그 칸막이가 정렬되고, 각 중간 등급의 중간 칸막이가 적어도 하나 이상 존재한다는 뜻이다.
• 양자리 Y는 격자형이다.두 칸막이의 만남과 결합은 해당 영 도표의 교차점과 결합에 의해 주어진다.교차로와 조합으로 모임과 가입 운영이 대표되는 격자이기 때문에 분배 격자다.
• 칸막이 p가 영의 격자 k 요소를 일부 k 동안 덮는 경우 k + 1 요소로 덮인다.p로 덮인 모든 파티션은 영 다이어그램의 "코너" 중 하나를 제거하면 찾을 수 있다(행과 열의 끝에 있는 상자).p를 덮고 있는 모든 칸막이는 영 다이어그램에 "이중 코너" 중 하나를 추가하면 찾을 수 있다(도표 바깥쪽의 칸막이와 칸막이의 첫 번째 칸막이가 된다).첫 번째 행에는 항상 이중 코너가 있고, 서로 다른 행의 이중 코너에는 지정된 속성을 나타내는 앞 행의 코너가 있다.
• 구별되는 파티션 p와 q가 모두 Y의 k 요소를 포함하는 경우 k는 0 또는 1이고 p와 q는 k 요소로 덮인다.쉬운 말로: 두 칸막이는 양쪽이 모두 포함하는 하나의 (3번째) 칸막이를 가질 수 있다(각각 각각의 칸막이는 다른 칸막이에 속하지 않는 하나의 칸막이를 가질 수 있다). 이 경우, 두 칸막이를 모두 포함하는 칸막이가 하나(4번째 칸막이는 그들의 다이어그램의 결합이다).
• ∅과 p사이의 포화 사슬은 모양 p의 표준 Young tableaux: 체인의 도표는 번호 매기기 순서로 표준 Young tableau의 도표의 상자를 추가함으로써 자연적으로 편향된다.보다 일반적으로, q와 p 사이의 포화 체인은 skew 형태 p/q의 skew 표준 tableaux와 함께 자연적인 편향에 있다.
• 영의 격자의 뫼비우스 함수는 0, ±1 값을 취한다.그것은 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle \mu(q,p)={\put{case}-1(-1)^{p - q }&{\text}{{}텍스트{} 스큐 다이어그램이 분리된 제곱합인 경우}\\&\text{(공통 가장자리 없음);}}\\[10pt]0&{\text{filename}.\end{case}}}$

치측 대칭

일반적으로 영의 격자는 하세 도표로 그려지며, 하세 도표에는 같은 등급의 모든 요소가 하층 위 동일한 높이로 표시된다.Suter(2002)는 영의 격자의 일부 하위 집합을 다른 방법으로 묘사하는 것이 몇몇 예기치 않은 대칭을 나타낸다는 것을 보여주었다.

칸막이

${\displaystyle n+\cdots +3+2+1}$

n번째 삼각형 숫자의 경우 계단으로 보이는 Ferrers 도표가 있다.Ferrers 도표가 계단 아래에 있는 직사각형인 가장 큰 요소는 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{array}{c}\underbrace {1+\cdots \cdots \cdots +1} _{n{\text{ terms}}}\\\underbrace {2+\cdots \cdots +2} _{n-1{\text{ terms}}}\\\underbrace {3+\cdots +3} _{n-2{\text{ terms}}}\\\vdots \\\underbrace {{}\quad n\quad {}} _{1{\text{ term}}}\end{array}}}$

영의 격자에는 이 형태의 칸막이만이 바로 아래에 하나의 요소만을 가지고 있다.Suter는 이러한 특정 파티션보다 작거나 같은 모든 요소의 집합이 영의 격자에 기대되는 양쪽 대칭뿐 아니라 회전 대칭인 n+1 순서의 회전 그룹이 이 양자에 작용한다는 것을 보여주었다.이 집합은 양쪽 대칭과 회전 대칭을 모두 가지므로, 반드시 (n + 1) 대칭이 있어야 한다: (n + 1) 대칭 그룹은 이 집합에 충실하게 작용한다.이 세트의 사이즈는 2이다ⁿ.

예를 들어, n = 4일 때 직사각형 Ferrers 다이어그램을 가진 "staircase" 아래의 최대 요소는

1 + 1 + 1 + 1

2 + 2 + 2

3 + 3

4

이 칸막이 아래에 놓여 있는 영의 격자 부분집합은 양쪽 대칭과 5배 회전 대칭을 모두 가지고 있다.따라서 이음매 그룹 D는₅ 영의 격자의 이 부분집합에 충실하게 작용한다.

참고 항목

• 영-피보나치 격자
• 브라텔리 도표

참조

• Misra, Kailash C.; Miwa, Tetsuji (1990). "Crystal base for the basic representation of ${\displaystyle U_{q}({\widehat {\mathfrak {sl}}}(n))}$". Communications in Mathematical Physics. 134 (1): 79–88. Bibcode:1990CMaPh.134...79M. doi:10.1007/BF02102090. S2CID 120298905.
• Sagan, Bruce (2000). The Symmetric Group. Berlin: Springer. ISBN 0-387-95067-2.
• Stanley, Richard P. (1988). "Differential posets". Journal of the American Mathematical Society. 1 (4): 919–961. doi:10.2307/1990995. JSTOR 1990995.
• Suter, Ruedi (2002). "Young's lattice and dihedral symmetries". European Journal of Combinatorics. 23 (2): 233–238. doi:10.1006/eujc.2001.0541.