피복관계

수학, 특히 순서 이론에서 부분 순서가 있는 집합의 포함 관계는 바로 이웃인 비교 가능한 요소들 사이의 이항 관계다. 피복 관계는 일반적으로 Hasse 도표를 사용하여 부분 순서를 그래픽으로 표현하기 위해 사용된다.

정의

Let ${\displaystyle X}$ be a set with a partial order ${\displaystyle \leq }$. As usual, let ${\displaystyle <}$ be the relation on ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle x<y}$ if and only if ${\displaystyle x\leq y}$ and ${\displaystyle x\neq y}$.

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ 및$$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$을(를) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 요소가 되도록$$ 두십시오$.$

그리고 y{이\displaystyle}){\displaystyle)} 서면을 덮x ⋖ y{\displaystyle x\lessdot y}, 만약 x<> 베{\displaystyle x<, y}과성이 없어 원소 z{z\displaystyle}가 x<>z<> 베{\displaystyle x<, z<, y}. Equivalently, y{이\displaystyle}을 덮){\displaystyle. x}이 interv${\displaystyle \mathrm{al}}{\displaystyle }$[ x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [x,$${\displaystyle y}$$]}}$은(는) 2개씩 구성된 세트 { x${\displaystyle }$,${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$이다$.$

$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle ⋖}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x\lessdot y}$이$($가)$$있을 때 y {\$displaystyle y}$은$($는) x {\displaystyle $x}$의 표지라고$$ 한다$.$ 일부 저자는 커버 관계에서$$ 그러한 쌍$({\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle (x,y)}$을 나타내는 용어를 사용하기도 한다.

예

• 유한한 선형 순서 집합 {1, 2, ..., n}에서 i + 1은 1과 n - 1 사이의 모든 i에 대해 i를 포함한다(그리고 다른 포함 관계는 없다).
• 집합 S의 동력 집합의 부울 대수에서, S의 부분 집합 B는 A에 없는 하나의 원소를 추가하여 A로부터 B를 얻는 경우에만 S의 부분 집합 A를 포괄한다.
• 모든 음이 아닌 정수의 칸막이로 형성된 영의 격자에서는 여분의 셀을 추가하여 μ의 영 도표에서 μ의 영 도표를 얻은 경우에만 칸막이 μ를 덮는다.
• 타마리 격자의 피복 관계를 묘사한 하세 도표는 연상체의 골격이다.
• 유한한 분포 격자의 커버 관계는 중앙 그래프를 형성한다.
• 통상적인 총주문 ≤이 있는 실수의 경우 표지 세트가 비어 있다. 다른 숫자는 커버하지 않는다.

특성.

• 부분 순서 집합이 유한한 경우, 그 피복 관계는 부분 순서 관계의 전이적 감소다. 따라서 부분적으로 정렬된 세트는 Hasse 다이어그램에 의해 완전히 설명된다. 한편, 표준 순서가 있는 합리적 숫자와 같이 밀도 높은 순서에서는 어떤 요소도 다른 요소를 커버하지 않는다.

참조

• Knuth, Donald E. (2006), The Art of Computer Programming, Volume 4, Fascicle 4, Addison-Wesley, ISBN 0-321-33570-8.
• Stanley, Richard P. (1997), Enumerative Combinatorics, vol. 1 (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-55309-1.
• Brian A. Davey; Hilary Ann Priestley (2002), Introduction to Lattices and Order (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-78451-4, LCCN 2001043910.