사전첨가분류

수학에서, 특히 범주 이론에서, 사전 가독성 범주는 Abelian 그룹의 범주, 즉 Abelian 그룹의 범주보다 더 풍부한 범주인 Ab의 다른 이름이다.즉, Ab-category C는 C의 모든 홈셋 Hom(A,B)이 아벨 그룹 구조를 가지며, 모형의 구성은 그룹 운영에 분산된다는 의미에서 이선형이다.수식:

f\put (g+h)=(f\put g)+(f\put h)

그리고

(f+g)\noth h=(f\put h)+(g\put h),

여기서 +는 그룹 작업이다.

일부 저자는 사전 가독성 범주에 대해 가독성 범주라는 용어를 사용했지만, 여기서는 특정 특수 가독성 범주에 대해 이 용어를 예약하는 현재의 추세를 따른다(아래 § 특수 사례 참조).

예

추가 전 범주의 가장 명백한 예는 범주 Ab 그 자체다.더 정확히 말하면, Ab는 폐쇄적인 단면체 범주다.여기서 공통성은 매우 중요하다; 그것은 두 집단 동형성의 합이 다시 동형성이라는 것을 보장한다.대조적으로 모든 그룹의 범주는 닫히지 않는다.자세한 내용은 중위수 범주를 참조하십시오.

기타 일반적인 예:

특히 링R을 통한 (왼쪽) 모듈의 범주:
- 필드 K에 걸친 벡터 공간의 범주
링 위에 있는 행렬의 대수, 글 첨가물 범주에서 설명한 범주로 생각됨.
어떤 반지든 하나의 물건만을 가진 범주로 생각되는 것은 사전 가산적인 범주다.여기서 형태론의 구성은 단지 고리 곱셈일 뿐이며 독특한 홈 세트는 기초 아벨리안 그룹이다.

이를 통해 무엇을 생각해야 할지에 대한 아이디어를 얻을 수 있을 것이다. 자세한 예는 아래의 § 특수 사례에 대한 링크를 참조하십시오.

기본 속성

모든 홈셋 홈(A,B)은 아벨 그룹이기 때문에 0원소를 가지고 있다.이것은 A에서 B까지의 영점 형태론이다.형태론의 구성은 이선형이기 때문에 제로 형태주의와 (어느 쪽이든) 다른 형태론의 구성은 또 다른 제로 형태론이어야 한다.구성을 곱셈과 유사하게 생각한다면, 0에 의한 곱셈은 항상 0의 산물이 된다는 것을 말해주는 것인데, 이것은 친숙한 직관이다.이 비유를 확대하면, 일반적으로 구성이 이선화되어 있다는 사실은 덧셈보다 곱셈의 분포성이 된다.

이러한 사실들은 우리가 링에서 곱셈을 구성으로 정의한다면, 사전 첨가 범주의 단일 물체 A에 초점을 맞추어서, 내형성 홈셋 Hom(A,A)은 링이라고 말한다.이 반지는 A의 내형성 고리다.반대로 모든 고리(정체성을 가진)는 어떤 부가적인 범주의 어떤 물체의 내형성 고리다.실제로 링 R이 주어지면 우리는 단일 물체 A를 가지도록 사전첨가 범주 R을 정의할 수 있고, 홈(A,A)을 R로 하고, 구성도 링 곱셈으로 할 수 있다.R은 아벨 그룹이고 링의 곱셈은 이린어(분산)이기 때문에, 이것은 R을 사전 첨가 범주로 만든다.범주 이론가들은 종종 링 R과 범주 R을 같은 것의 서로 다른 두 가지 표현으로 생각할 것이다. 그래서 특히 비뚤어진 범주 이론가는 반지를 정확히 하나의 개체(단일체가 하나의 개체만을 가진 범주로 볼 수 있는 것과 같은 방식으로)를 가진 사전 부가적인 범주로 정의할 수 있을 것이다.반지의 구조는 우리에게 모노이드(monoid)를 준다.

이와 같이 사전 가산형 범주는 링의 일반화로 볼 수 있다.이상, 제이콥슨 급진주의, 요인 링과 같은 링 이론의 많은 개념들은 이 설정에 대한 직접적인 방법으로 일반화될 수 있다.이러한 일반화를 기록하려고 할 때, 사전 첨가 범주의 형태론을 "일반화된 고리"의 "요소"로 생각해야 한다.

첨가제 펑터

$C$ $C$ 및 $D$ $D$ 이(가) 사전 추가 범주인 $D$ 경우 functor $F:C\rightarrow D$ : $F:C\rightarrow D$ → $F:C\rightarrow D$ ${\displaystyle F:$ $C$ $\rightarrow D}$ 도 범주 $A$ b {\ $displaystyle Ab}$ 에 대해 농축된 경우 가법이다 $F:C\rightarrow D$ $Ab$ 즉, $F$ $F$ 은(는) $C$ $C$ 의 $A$ $B$ $개체$ A {\ $displaystyle$ $A$ } $및$ $F:{\text{Hom}}(A,B)\rightarrow {\text{Hom}}(F(A),F(B))$ ${\displaystyle$ B $F:{\text{Hom}}(A,B)\rightarrow {\text{Hom}}(F(A),F(B))$ 이 $F:{\text{Hom}}(A,B)\rightarrow {\text{Hom}}(F(A),F(B))$ 있는 $F:{\text{Hom}}(A,B)\rightarrow {\text{Hom}}(F(A),F(B))$ 에만 가법적이다 $F$ $.$ $홈}(A,B)\오른쪽 화살표 {\text{$ $홈}($ Hom})( $F(A),F(B)}}$ 는 $F:{\text{Hom}}(A,B)\rightarrow {\text{Hom}}(F(A),F(B))$ 집단 동형성이다.가독성 이전 범주들 사이에서 연구된 대부분의 functors는 가법적이다.

For a simple example, if the rings $R$ and $S$ are represented by the one-object preadditive categories $C_{R}$ and $C_{S}$ , then a ring homomorphism from $R$ to $S$ is represented by an additiv $C_{R}$ functor는 $C_{R}$ R $C_{R}$ {\ $displaystyle C_{R}$ 에서 $C_{R}$ $C_{S}$ S $C_{S}$ {\ $displaystyle C_{S$ }까지 $C_{S}$ 그리고 반대로 C R {\displaystyle C_{S $}$ 까지입니다.

$C$ $C$ 과 $C$ $D$ $D$ 이(가) 범주이고 $D$ $D$ $D$ 이(가) 사전 $D$ 가독성이면 자연 변환이 자연적으로 추가될 수 있기 때문에 펑터 범주 $D^{C}$ ${\$ 도 사전 가독성이 $D^{C}$ 된다. $C$ $C$ 도 사전 가독성이 있는 $C$ 경우, 추가 펑커의 ${\text{Add}}(C,D)$ ${\text{Add}}(C,D)$ (C ${\text{Add}}(C,D)$ , ${\text{Add}}(C,D)$ ) ${\text{Add}(C,D)$ 범주 및 이들 사이의 모든 자연 변환도 사전 가독성이 있다.

후자의 예는 링 위에 있는 모듈의 일반화로 이어진다.언제 C{C\displaystyle}은one-objectpreadditive 범주는 반지에 해당하는 만약 C{C\displaystyle}은preadditive 범주, 그 모드(C):=을 넣(C, Ab){\displaystyle{\text{모드}}(C)\mathbin{:)}{\text{추가}}(C,Ab)}C{C\displaystyle}.[표창 필요한]에 대한 모듈 범주라고 불린다. R{\display $스타일 R$ 이것은 (왼쪽) $R$ $R$ -modules의 $R$ 일반 범주로 감소한다.다시 말하지만, 사실상 모듈 이론의 모든 개념은 이 설정으로 일반화될 수 있다.

R-선형 범주

보다 일반적으로는 R-선형 범주라 불리는 정류 링 $R$ 에 걸쳐 모듈의 단일 범주보다 강화된 범주 $C$ 를 고려할 수 있다.즉, 각 홈 집합 ${\text{Hom}}(A,B)$ ${\text{Hom}}(A,B)$ , B ${\text{Hom}}(A,B)$ ) ${\displaystyle {\text{$ $C$ 의 ${\text{Hom}}(A,B)$ $홈}(A,B)}$ 은 R-모듈의 구조를 가지며, 형태론의 구성은 R-비닐라이다.

두 개의 R-선형 범주 사이의 functors를 고려할 때, R-선형 범주, 즉 각 홈 집합에서 R-선형 지도를 유도하는 범주로 한정하는 경우가 많다.

바이프로덕트

추가 전 범주에 있는 유한한 모든 제품은 또한 결합물이 되어야 하며, 반대로 결합물이 되어야 한다.사실, 첨가 전 범주의 유한 제품 및 공동 생산물은 다음과 같은 바이프로덕트 조건에 의해 특성화할 수 있다.

물체 B는 물체₁ A, ..., Aif의_n 바이프로덕트로서 투영 형태_j p: B → A와_j 주입 형태ismsi가_j 있는 경우에만:A_j → B, 즉 (i₁∘p₁) + ··· + (i_n∘p_n)는 B의 신분 형태론, p_j∘i는_j 신분 형태론이다.A_j, 그리고_j p∘i는_k j와 k가 구별될 때마다 A에서_k A까지의_j 영점 형태론이다.

이 바이프로덕트는 직접 합에 대한 표기법을 빌려서 A₁ · ··· ⊕ A라고_n 표기하는 경우가 많다.이것은 Ab와 같이 잘 알려진 사전 첨가 범주의 바이프로덕트가 직접 합이기 때문이다.그러나 Ab와 같은 일부 범주에서는 무한 직접 합이 타당하지만 무한 바이프로덕트는 이치에 맞지 않는다.^{[citation needed]}

사례 n = 0에서 biproduct 조건은 대폭 단순화된다. B의 정체성 형태론이 B에서 그 자체로 영점 형태론인 경우에만 B가 무효형 형태론이고, 홈셋 Hom(B,B)이 사소한 고리인 경우 동등하게 B가 귀점형이다.유의할 점은 귀무 바이프로덕트는 단자(무효 제품)와 초기(무효 복사물)가 모두 되기 때문에 사실상 영 객체가 된다는 것이다.실제로 "제로 오브젝트"라는 용어는 제로 오브젝트가 제로 그룹인 Ab와 같은 사전 가산 카테고리의 연구에서 유래되었다.

모든 바이프로덕트가 존재하는 부가성 범주를 (0개 객체를 포함) 가법이라고 한다.부가적인 범주의 맥락에서 주로 유용한 두피 유도체에 대한 추가 사실은 그 주제에서 찾을 수 있다.

낟알과 코커넬

사전 가독성 범주의 홈 집합은 0 형태론을 가지고 있기 때문에 커널과 코커넬의 개념은 타당하다.즉, f: A → B가 사전 첨가 범주의 형태론이라면, f의 커널은 f의 등가물이고, 0의 형태론은 A에서 B로 등가물림인 반면, f의 코커넬은 f의 등가물림과 이 제로 형태론이다.제품이나 코프로덕트와 달리, f의 커널과 코커넬은 일반적으로 첨가 전 범주에서 같지 않다.

링 위에 아벨리아 그룹이나 모듈의 사전적 범주를 전문으로 할 때, 이러한 커널의 개념은 동형성의 커널의 일반적인 개념과 일치하는데, 만약 어떤 것이 f: A → B의 일반 커널 K를 내장 K → A로 식별한다면 말이다.단, 일반적인 사전 첨가 범주에서는 커널 및/또는 코커넬이 없는 형태론이 존재할 수 있다.

홈셋에는 커널과 코커넬과 아벨 그룹 구조 사이에 편리한 관계가 있다.f와 g의 평행 형태론을 고려할 때, f와 g의 등가체는 g - f의 알맹이에 불과하며, 등가공자에 대해서는 유사 사실이 사실이다.2진수 이퀄라이저에 대한 대체 용어 "차이 커널"은 이 사실에서 유래한다.

모든 바이프로덕트, 커널, 코커넬이 존재하는 사전첨가성 범주를 프리-아벨리안이라고 한다.주로 아벨 이전 범주의 맥락에서 유용한 사전 첨가 범주의 커널과 코커넬에 대한 추가 사실은 그 주제에서 찾을 수 있다.

특례

이러한 가독성 이전의 범주의 특례는 대부분 위에서 언급되어 왔지만, 참고하기 위해 여기에 모여 있다.

반지는 정확히 하나의 물체를 가진 사전 첨가 범주다.
첨가제 범주는 모든 유한 양피 유도체가 있는 사전 첨가제 범주다.
아벨 이전 범주는 모든 커널과 코커넬을 포함하는 첨가 범주다.
아벨 범주(Abelian category)는 모든 단동형(monomorphism)과 경동형(epimorphism)이 정상일 정도로 아벨 이전의 범주다.

가장 일반적으로 연구되는 첨가제 이전의 범주들은 사실 아벨의 범주들이다. 예를 들어, Ab는 아벨의 범주다.

참조

니콜래 포페스쿠; 1973;; 아카데미 프레스, 주식회사; 절판
Charles Weibel; 1994;;;;; Cambridge Univ.누르다

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