아페리의 정리

수학에서 아페리의 정리는 아페리의 상수 ζ(3)이 비이성적이라는 숫자 이론의 결과물이다.즉, 그 숫자

${\displaystyle \zeta(3)=\sum _{n=1}^{{n^{3}}}{\frac {1}{1}{1^{3}}}}+{\frac {1}{1}{3^}}}}}+{1}+1}\ldots = 1.12020569lds}$

p와 q가 정수인 부분 p/q로 쓸 수 없다.그 정리는 로저 아페리의 이름을 따서 명명되었다.

짝수 정수 2n(n > 0)의 리만 제타 함수의 특수 값은 베르누이 숫자의 관점에서 비합리적임을 알 수 있는 반면, 함수의 값이 홀수 정수 2n + 1(n > 1)에서 일반적 이성적인지 아닌지는 열어둔다(비합리적이라고 추측되기는 하지만).

역사

오일러는 n이 양의 정수라면 그때 증명했다.

${\displaystyle {\frac {1}{1^{2n}}+{\frac {1}{2^{2n}}+{\frac {1}{3^{2n}}}+{\frac {1}{1}}}+\ldots ={\frac {p}{q}}\pi ^{2n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{2n}}}}}}}}$

몇 가지 합리적인 숫자 p/q에 대해서.구체적으로 왼쪽의 무한 시리즈를 그가 보여 준 ((2n)으로 쓰면서.

${\displaystyle \제타(2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2n}}}{2n}}}{2(2n)!}}}$

여기서_n B는 합리적인 베르누이 숫자다.일단 π이 ⁿ 항상 비이성적이라는 것이 증명되면, 이것은 ((2n)이 모든 양의 정수 n에 대해 비이성적이라는 것을 보여주었다.

π의 측면에서 그러한 표현은 홀수 인수에 대한 소위 제타 상수, 양의 정수 n에 대한 값 ζ(2n + 1)에 대해 알려져 있지 않다.이 수량의 비율은 추측되어 왔다.

${\displaystyle {\frac {\zeta(2n+1)}{\pi ^{2n+1},}$

모든 정수 n ≥ 1에 대해 초월적이다.^[1]

이 때문에, 이상론을 가진 제타 상수들이 모두 초월적이라고 믿었음에도 불구하고, 비이성적이라는 증거를 찾을 수 없었다.그러나 1978년 6월 로저 아페리는 '수르 리리리리리히테 드 ζ(3)'라는 제목의 강연을 했다.그는 강연을 하는 과정에서 ((3)와 ((2)가 비합리적이라는 증거를 요약했고, 후자는 π의 표현에 의존하기보다는 전자와 씨름하기 위해 사용한 방법에서 단순화된 방법을 사용했다.전혀 예상치 못한 증거의 성격과 그 주제에 대한 아페리의 화려하고 매우 스케치한 접근 때문에, 청중들 중 많은 수학자들은 그 증거에 결함이 있다고 일축했다.그러나 앙리 코헨, 헨드릭 렌스트라, 알프레드 반 데르 포어튼은 아페리가 뭔가 꾸미고 있다고 의심하고 그의 증거를 확인하기 시작했다.두 달 후 그들은 아페리의 증거에 대한 검증을 마쳤고, 8월 18일 코헨은 그 증거에 대한 상세한 내용을 알려주는 강의를 했다.강연이 끝난 후 아페리 자신이 직접 연단에 올라 자신의 일부 사상의 근원을 설명했다.^[2]

아페리의 증거

아페리의 원래 증거는^[3][4] 피터 구스타프 르주네 디리클레트의 잘 알려진 비합리성 기준에 근거한 것인데, 이 기준에는 무한히 많은 coprime 정수 p와 q가 있으면 숫자 ξ은 비합리성이 있다고 기술하고 있다.

${\displaystyle \exi -{\frac {p}{q}}\right <{\frac {c}{q^{1+\i1}}}}}}}}}}$

일부 고정 c의 경우 Δ > 0.

아페리의 출발점은 ζ(3)의 연재표현이었다.

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{n=1}^{n=1}{n:1}}{n-1}^{n-1}{n^{3}{\binom {n}{n}}}}}}}.}$

대략적으로 말하면, 아페리는 그 후 위의 시리즈와 거의 같은 속도로 ζ(3)로_n,k 수렴되는 시퀀스 c를 정의했다.

${\displaystyle c_{n,k}=\sum _{m=1}^{n}{n}{m^{3}}}+{m=1}{m=1}^{k}{\frac {(-1)^{{2m^{n-}{n}{n}}}{n+m}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

그런 다음 그는 두 개의 시퀀스 a와_n b를_n 더 정의했는데, 대략 이 순서는 c가_n,k 된다.이 시퀀스들은

${\displaystyle a_{n}=\sum _{k=0}^{n}c_{n,k}{\binom {n}}{k}}^{2}{\binom {n+k}{k}}}:{2}}:$

그리고

${\displaystyle b_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}^{2}{\binom {n+k}{k}}}^{2}.}$

/b_nn 순서는 기준을 적용할 수 있을 정도로 빠르게 conver(3)에 수렴하지만, 안타깝게도 n = 2 이후는 정수가_n 아니다.그럼에도 불구하고, 아페리는 이 문제를 치료하기_n 위해 a와_n b에 적절한 정수를 곱한 후에도, 수렴 속도가 여전히 불합리성을 보장할 만큼 빠르다는 것을 보여주었다.

후기 교정쇄

Within a year of Apéry's result an alternative proof was found by Frits Beukers,^[5] who replaced Apéry's series with integrals involving the shifted Legendre polynomials ${\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)}$. Using a representation that would later be generalized to Hadjicostas's formula, Beukers showed that

${\displaystyle \int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {-\log(xy)}{1-xy}}{\tilde {P_{n}}}(x){\tilde {P_{n}}}(y)dxdy={\frac {A_{n}+B_{n}\zeta (3)}{\operatorname {lcm} \left[1,\ldots ,n\right]^{3}}}}$

일부 정수 A와_n B의_n 경우(OEIS: A171484 및 OEIS: A171485)부분적 통합과 ζ(3)이 합리적이고 a/b와 같다는 가정을 이용하여 결국 부커스는 불평등을 도출했다.

${\displaystyle 0<{\frac {1}{b}}\leq \왼쪽 A_{n}+B_{n}\제타(3)\오른쪽 \leq 4\왼쪽({\frac {4}{5}\오른쪽)^{n}}}}$

가장 오른쪽의 표현은 0이 되기 쉬우므로 결국 1/b 이하로 떨어져야 하기 때문에 모순이다.

와딤 주딜린의 보다 최근의 증거는 아페리의 원래 증거를 더욱 연상시키며,^[6] 유리 네스테렌코의 네 번째 증거와도 유사하다.^[7]이러한 나중의 증명들은 다시 ((3)이 0이 되는 경향이 있지만 어떤 양의 상수에 의해 아래에 경계되는 시퀀스를 구성함으로써 합리적이라는 가정으로부터 모순을 도출한다.그것들은 초기하학 계열에 의존하기 때문에 이전의 교정보다 다소 덜 투명하다.

상위 제타 상수

어페리와 부커스는 시리즈 표현 덕분에 ζ(2)에서도 작업할 수 있도록 교정 작업을 간소화할 수 있었다.

${\displaystyle \zeta (2)=3\sum _{n=1}^{\inflat }{\frac {1}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}}}.}$

아페리의 방법의 성공으로 인해, ξ의₅ 번호 that에 대한 수색이 행해졌다.

${\displaystyle \zeta (5)=\xi _{5}\sum _{n=1}^{n=1}{n-1}^{n-1}:{n-1}:{n-1}{5}{\binom {2n}{n}}}}}}}}.}$

만약 그러한 ξ이₅ 발견된다면, 아페리의 정리를 증명하는 데 사용된 방법들은 ζ(5)이 비이성적이라는 증거에 효과가 있을 것으로 기대될 것이다.불행히도, 광대한 컴퓨터 searching[8]너무나 지속적인 찾기, 사실상 지금 알려져 있다면 ξ5과 정도의 대부분의 25살에, 만약 그것이 대수적 수, 그 다음에 최소 다항식의 계수, 적어도 10383, 그렇게 더 높은 이상한 제타 상수에 일하러 아페리 증거를 확장하고 거대한어야 한다 존재하는지 미스터리 한 보이지 않는다 실패했다.kely일하기 위해

그럼에도 불구하고, 이 분야에서 일하는 많은 수학자들은 조만간 돌파구가 마련될 것으로 기대하고 있다.^[when?][9]실제로 와딤 주딜린과 탕구이 리보알의 최근 연구는 무한히 많은 수의 숫자 ζ(2n + 1)가 비이성적이어야 하며,^[10] 그 숫자 5(5), 7(7), 9(9), 11(11) 중 적어도 하나는 비이성적이어야 한다는 것을 보여주었다.^[11]이들의 작업은 제타함수의 값에 선형 형태를 사용하며, 이들을 바탕으로 제타함수의 값에 의해 확장된 벡터 공간의 치수를 홀수 정수로 묶는 것으로 추정한다.Zudilin이 그의 리스트를 단지 하나의 숫자로 더 줄일 수 있다는 희망은 실현되지 않았지만, 이 문제에 대한 연구는 여전히 활발한 연구 영역이다.더 높은 제타 상수는 물리학에 응용된다: 그것들은 양자 스핀 체인의 상관관계 함수를 설명한다.^[12]

참조

외부 링크

• Huylebrouck, Dirk (2001). "Similarities in Irrationality Proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3)" (PDF). Amer. Math. Monthly. 108 (3): 222–231. doi:10.2307/2695383. JSTOR 2695383.