페리에 상수

페리에 상수

합리성	무리수
기호.	ζ(3)
표현
십진법	1.2020569031595942854...
연속분수	${\displaystyle 1+{\frac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{\ddots \qquad {}}}}}}}}}}$ 주기적인지 알 수 없음 인피니트
이진법	1.0011001110111010...
육십진법	1.33BA004F00621383...

수학에서 아페리 상수는 양의 정육면체의 역수의 합입니다. 즉, 숫자로 정의됩니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (3)&=\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{n^{3}}\\&=\lim _{n\to \infty}\left ({\frac {1}{1^{3}}+{\frac {1}{2^{3}}+\codots +{\frac {1}{n^{3}}\right)\end{aligned}}}$

여기서 ζ는 리만 제타 함수입니다. 대략 다음과^[1] 같은 값을 갖습니다.

ζ(3) = 1.202056903159594285399738161511449990764986292… (sequence A002117 in the OEIS).

상수의 이름은 로저 아페리의 이름을 따서 지어졌습니다. 양자전기역학을 이용한 전자의 자이자기비의 2차항과 3차항을 포함한 여러 물리적 문제에서 자연스럽게 발생합니다. 또한 무작위 최소 신장 트리의^[2] 분석에서 발생하며, 예를 들어 데비 모델과 스테판-볼츠만 법칙의 2차원 사례를 평가할 때 물리학에서 가끔 나타나는 지수 함수를 포함하는 특정 적분을 풀 때 감마 함수와 함께 발생합니다.

무리수

ζ3은 1978년 무리수임을 증명한 프랑스 수학자 로저 아페리의 이름을 따서 아페리 상수로 명명되었습니다. 이 결과를 아페리의 정리라고 합니다. 원래 증명은 복잡하고 파악하기 어려우며,^[4] 더 간단한 증명은 나중에 발견되었습니다.^[5]

Beukers의 단순화된 비합리성 증명은 ζ(3)에 대해 알려진 삼중 적분의 적분을 근사하는 것을 포함하며,

${\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz}}\,dx\,dy\,dz,}$

레전드르 다항식에 의해서. 특히 판 데르 푸르텐의 기사는 이러한 접근법을 기록하고 있습니다.

${\displaystyle I_{3}:=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {P_{n}(x)P_{n}(y)\log(xy)}{1-xy}}\,dx\,dy=b_{n}\zeta (3)-a_{n},}$

where ${\displaystyle I \leq \zeta (3)(1-{\sqrt {2}})^{4n}}$, ${\displaystyle P_{n}(z)}$ are the Legendre polynomials, and the subsequences ${\displaystyle b_{n},2\operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,$$n)\cdota_{n}\in \mathbb {Z}$에서 정수 또는 거의 정수입니다.

아페리의 상수가 초월적인지는 아직 밝혀지지 않았습니다.

직렬 표현

고전적인

기본 시리즈 외에도 다음과 같은 기능이 있습니다.

${\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}},}$

레온하르트 오일러는 급수를 다음과 같이 표현했습니다.^[6]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left(1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}}\right)}$

1772년에 재발견되었고, 그 후 여러 차례 재발견되었습니다.^[7]

빠른 수렴

19세기 이래로 많은 수학자들이 ζ의 소수점을 계산하기 위해 수렴 가속도 급수를 발견했습니다. 1990년대부터 이 검색은 빠른 수렴 속도를 가진 계산 효율적인 직렬에 초점을 맞추고 있습니다("알려진 숫자" 섹션 참조).

A는 다음과 같은 급수 표현을 발견했습니다. A. 마르코프는 ^[8]1890년에, 1953년에 Hjortnaes에 의해 재발견되었고,^[9] 1979년에 Apéry에 의해 다시 재발견되었습니다.^[3]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {k!^{2}}{(2k)!k^{3}}}.$

다음의 급수 표현은 (점근적으로) 항당 1.43개의 새로운 소수점 자리를 제공합니다.^[10]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k-1)!^{3}(56k^{2}-32k+5)}{(2k-1)^{2}(3k)!}}.}$

다음의 급수 표현은 (점근적으로) 항당 3.01개의 새로운 소수점 자리를 제공합니다.^[11]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{64}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {k!^{10}(205k^{2}+250k+77)}{(2k+1)!^{5}}}.}$

다음의 급수 표현은 (점근적으로) 항당 5.04개의 새로운 소수점 자리를 제공합니다.^[12]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{24}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(2k+1)!^{3}(2k)!^{3}k!^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!(4k+3)!^{3}}}.}$

그것은 수백만 개의 소수 자리를 가진 아페리 상수를 계산하는 데 사용되었습니다.^[13]

다음의 급수 표현은 (점근적으로) 항당 3.92개의 새로운 소수점 자리를 제공합니다.^[14]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2k)!^{3}(k+1)!^{6}(40885k^{5}+124346k^{4}+150160k^{3}+89888k^{2}+26629k+3116)}{(k+1)^{2}(3k+3)!^{4}}}.}$

디지트 단위

1998년 브로드허스트는 임의의 이진수를 계산하여 거의 선형 시간과 로그 공간에서 상수를 구할 수 있는 급수 표현을 제공했습니다.^[15]

투 모스 수열

2022년에 토트는 다음과 같은 표현을 발견했습니다.^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum_{n\geq 1}{\frac {9t_{n-1}+7t_{n}}{n^{3}}&=8\zeta(3),\end{aligned}}}$

여기서$$(${\displaystyle t_{}}$ $n$≥ 0 ${\displaystyle (t_{n$})$_{$n\geq 0}}은$$Thue-Morse 시퀀스의 {\$displaystyle n^{\$rm {th}} 항입니다. 실제로 이는 다음 공식의 특수한 경우입니다(실제 $부분$이 1보다$$ $큰{\displaystyle }$$$모든 {\$displaystyle}$에 대해 유효합니다.).$$

${\displaystyle (2^{s}+1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n-1}}{n^{s}}}+(2^{s}-1)\sum _{n\geq 1}{\frac {t_{n}}{n^{s}}}=2^{s}\zeta (s).}$

다른이들

라마누잔은 다음과 같은 급수 표현을 발견했습니다.^[17]

${\displaystyle \zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}.}$

1998년 사이먼 플러프(Simon Plouffe)에 의해 다음과 같은 시리즈 표현이 발견되었습니다.^[18]

${\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}.}$

Srivastava(2000)는 아페리 상수에 수렴하는 많은 급수를 수집했습니다.

적분 표현

아페리 상수에는 수많은 적분 표현이 있습니다. 그 중 일부는 단순하고 다른 일부는 더 복잡합니다.

더 복잡한 공식

다른 공식은 다음을^[19] 포함합니다.

${\displaystyle \zeta (3)=\pi \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(2\arctan x)}{(x^{2}+1)\left(\cosh {\frac {1}{2}}\pi x\right)^{2}}}\,dx}$

그리고^[20]

${\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int_{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(xy)}{1-xy}}\,dx\,dy=-\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(1-xy)}{xy}}\,dx\,dy.}$

또.^[21]

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (3)&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{0}^{1}{\frac {x(x^{4}-4x^{2}+1)\log \log {\frac {1}{x}}}{(1+x^{2})^{4}}}\,dx\\&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{1}^{\infty }{\frac {x(x^{4}-4x^{2}+1)\log \log {x}}{(1+x^{2})^{4}}}\,dx.\end{align}}}$

감마 함수의 도함수에 대한 연결

${\displaystyle \zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}\Gamma '''(1)+{\tfrac {3}{2}}\Gamma '(1)\Gamma ''(1)-{\big (}\Gamma '(1){\big )}^{3}=-{\tfrac {1}{2}}\psi ^{(2)}(1)}$

또한 감마 및 다감마 함수에 대한 알려진 적분 공식을 통해 다양한 적분 표현을 유도하는 데 매우 유용합니다.^[22]

알 수 있는 숫자

아페리 상수 ζ(3)의 알려진 숫자는 지난 수십 년 동안 극적으로 증가했습니다. 이는 컴퓨터의 성능이 증가하고 알고리즘이 개선되었기 때문입니다.

아페리 상수 ζ의 알려진 십진수 수(3)

날짜.	십진법	계산 수행 위치
1735	16	레온하르트 오일러
알 수 없는	16	아드리앙 마리 레전드레
1887	32	토마스 요하네스 슈틸트제스
1996	520000	그레그 J. 수수료 & 사이먼 플러프
1997	1000000	브루노 하이블 & 토마스 파파니콜라우
1997년 5월	10536006	패트릭 데미첼
1998년2월	14000074	세바스티안 웨데니우스키
1998년3월	32000213	세바스티안 웨데니우스키
1998년7월	64000091	세바스티안 웨데니우스키
1998년12월	128000026	세바스티안 웨데니우스키[1]
2001년9월	200001000	곤도 시게루 & 자비에 구르돈
2002년2월	600001000	곤도 시게루 & 자비에 구르돈
2003년2월	1000000000	패트릭 데미첼 & 자비에 구던[23]
2006년4월	10000000000	콘도 시게루 & 스티브 파글리아룰로
2009년1월21일	15510000000	알렉산더[24] J. 예 & 레이먼드 찬
2009년2월15일	31026000000	알렉산더[24] J. 예 & 레이먼드 찬
2010년9월17일	100000001000	알렉산더[25] 예
2013년9월23일	200000001000	로버트 J. 세티[25]
2015년8월7일	250000000000	론 왓킨스[25]
2015년12월21일	400000000000	디판잔 나그[26]
2017년8월13일	500000000000	론 왓킨스[25]
2019년 5월 26일	1000000000000	이안 커트리스[27]
2020년 7월 26일	1200000000100	김승민[28][29]

역수

The reciprocal of ζ(3) (0.8319073725807... (OEIS에서 수열 A088453)은 N이 무한대에 접근할 때 N보다 작은 3개의 양의 정수가 이 값에 접근하는 공통 소인수를 공유하지 않을 확률에서 임의로 선택된 3개의 양의 정수가 상대적으로 소수일 확률입니다. (n개의 양의 정수에 대한 확률은 1/ζ(n)) 같은 의미에서 임의로 선택한 양의 정수가 1보다 큰 정수의 세제곱으로 균등하게 나누어지지 않을 확률입니다. (n번째 거듭제곱에 의한 나눗셈이 없을 확률은 1/ζ(n))

ζ까지 연장(2n+1)

많은 사람들이 ζ(3)이 제타 함수의 다른 값에 비합리적이라는 아페리의 증명을 기묘한 논법으로 확장하려고 시도했습니다. 무한히 많은 숫자 ζ(2n + 1)은 무리수여야 하며 숫자 ζ(5), ζ(7), ζ(9) 및 ζ(11) 중 적어도 하나는 무리수여야 합니다.

참고 항목

• 리만 제타 함수
• 바젤 문제 — ζ(2)
• 역수의 합 목록

메모들

참고문헌

더보기

• Ramaswami, V. (1934), "Notes on Riemann's ${\displaystyle \zeta }$-function", J. London Math. Soc., 9 (3): 165–169, doi:10.1112/jlms/s1-9.3.165.
• Nahin, Paul J. (2021). In pursuit of zeta-3 : the world's most mysterious unsolved math problem. Princeton. ISBN 978-0-691-22759-7. OCLC 1260168397.{{cite book}}: CS1 maint: 위치 누락 게시자(링크)

외부 링크

• Weisstein, Eric W., "Apéry's constant", MathWorld
• Plouffe, Simon, Zeta(3) or Apéry constant to 2000 places, archived from the original on 2008-02-05, retrieved 2005-07-29
• Setti, Robert J. (2015), Apéry's Constant - Zeta(3) - 200 Billion Digits, archived from the original on 2013-10-08.

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