아슈테카 변수

일반상대성이론의 ADM 공식에서 스페이스타임은 공간 조각과 시간 축으로 나뉜다. 기본 변수는 공간 슬라이스에 대한 유도$$ $측정지표{\displaystyle {}_{}{q}_{}}$ a${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$ ) b ( )$${\$displaystyle q_{ab}(x)}$와 측정지표의 ${\displaystyle {결합모멘텀}^{}}$ K $a{\displaystyle {}^{}}$ a ${\displaystyle a^{}}$ ${\displaystyle b}$( x${\displaystyle }$) {\$displaystyle K^{ab}($x)}로$$취하며, 이는 유도 측정지표가 시간에 어떻게 진화하는지 측정한다.^[1] 이것들은 미터법 표준 좌표들이다.

1986년 Abhay Ashtekar는 새로운 표준 변수 집합인 Ashtekar (new) 변수를 도입하여 SU(2) 게이지 영역과 그 보완 변수의 관점에서 3차원 공간 슬라이스에 대한 미터법 표준 변수를 다시 쓰는 특이한 방법을 나타내었다.^[2]

개요

아슈테카 변수는 표준적 일반상대성이론의 연결표현이라고 불리는 것을 제공하며, 이는 양자 일반상대성이론의^[3] 루프표현과 양자 중력 및 양자 홀로노미 이론으로 이어졌다.^[4]

직교하는$$ 세 개의 벡터 필드 E ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle a_{}^{}}$ ${\$ $i{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle }$3 ${\displaystyle$ i$=1,2,3}$을(를) 소개한다.

${\$$E_{i}^{a}E_{j}^{b$

${\displaystyle {Ei}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$는 삼합체 또는 드리베인(독일어 문자 그대로 번역, "삼족")이라고 불린다$$. 이제 두 가지 다른 유형의 지수가 있는데, "${\displaystyle \mathrm{공간}}$" 지수 $a{\displaystyle }$, b${\displaystyle }$, ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a,b,c}$가 곡면 공간에서 정규 지수처럼 동작하는$$ 것과 같이 동작하는 것과 "내부" $지수{\displaystyle }$ i${\displaystyle }$, j${\displaystyle }$, ${\displaystyle k}$ , k$${\$displaystyle i,j,k}$이다(내부 지수를 올리고 내리는 상응하는 "metric"는 단순히 $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$.$\displaystyle$\ \ $_{ij}.$ dual drei-bein $E{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle a_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$을(를) 다음과$$ 같이 정의하십시오.

${\$$E_{i}^{b$ .

그리고 나서 우리는 두 개의 정형외과적 관계를 갖게 된다.

${\displaystyle \delta ^{ij}=q^{ab}E_{a}^{i}E_{b}^{j}}}}}$

where ${\displaystyle q^{ab}}$ is the inverse matrix of the metric ${\displaystyle q_{ab}}$ (this comes from substituting the formula for the dual drei-bein in terms of the drei-bein into ${\displaystyle q^{ab}E_{a}^{i}E_{b}^{j}}$ and using the orthogonality of the drei-beins).

그리고

${\displaystyle E_{i}^{a}E_{b}^{i}=\delta_{b}^{a}}}$

(이는 $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ =${\displaystyle {}_{}{q}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ E ${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle B_{}^{}}$ E ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 계약에서 비롯된다.$E_{j}^{b$}^{$b}E_{i}^{a$}}}:{a$}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle c_{}^{}}$ i$${\$displaystyle E_{c}^{i}}}}$이(가) 있고 E ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$의 선형 독립성을 사용함). 그러면 첫 번째 직교 관계(${\displaystyle E_{}^{}}$ i ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ i${\displaystyle {}_{}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ b ${\displaystyle {}_{}^{}}$ Δ b ${\$}^{i$}=\delta _{b}^{a$에서 그 사실을 쉽게 확인할 수 있다.

${\displaystyle q^{ab}=\sum _{i,j=1}^{3}\ij}E_{i}^{a}^{a}E_{j}^{b}=\sum _{i=1}^{3}E_{i}^{a}E_{i}^{b}}}}$

우리는 drei-beins의 관점에서 역 메트릭에 대한 공식을 얻었다 - drei-bein은 메트릭의 "${\displaystyle {\mathrm{제곱근}}^{}}$"으로 생각할 수 있다(물리적 의미는 기본 ${\displaystyle {Ei}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$$displaystyle$ $q$$^{$$i}^{a$ )는 기준 Ei a {\$displaystyle$ ${\displaystyle q^{}}$^{$ab$ 국부적으로 평탄하다는 것이다. 사실 정말로 고려되는 것은

${\displaystyle (d\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{e}}$ ${\displaystyle \mathrm{t}}$ (${\displaystyle q}$ )${\displaystyle \underset{}{\overset{}{q}}}$ ${\displaystyle a^{}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{1}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{\stackrel{}{}}_{}^{}}$ E${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}^{}}$~${\displaystyle {}_{}^{}}$ ~ ${\displaystyle {}_{}^{}{\stackrel{}{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle(\mathrm {det})(q)q^{ab}=\sum _{i=1}^{3}{\tilde{E}}^{e}}}_{{E}^}}}}{b$

which involves the densitized drei-bein ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$ instead (densitized as ${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}={\sqrt {\det(q)}}E_{i}^{a}}$). $하나$는 E${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}^{}}$~ ${\displaystyle {}_{}^{}}$로부터 회복된다. ${\$ 측정값은 결정 인자에 의해 주어진$$ 인수에 곱한다. $E{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}^{}}$~ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$와 ${\displaystyle {Ei}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$는 같은 정보를 포함하고$$ 있으며, 재배열되었을 뿐이라는 것은 분명하다. 이제 ${\displaystyle {}_{\stackrel{}{}}^{}}$~ ${\displaystyle i_{}^{}}$ {\$displaystyle {\tilde{E}_{i}^{a}}}$에 대한 선택은 고유하지$$ 않으며, 실제로 내부 지수 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle i}$에 대한 로컬 공간 회전을 (역행) 메트릭을 변경하지 않고$$ 수행할 수 있다. $이것$은 ${\displaystyle S}$ U${\displaystyle }$(${\displaystyle 2}$ ) ${\디스플레이 스타일 SU$(2$)$ 게이지$$ 불변성의 기원이다. 이제 내부 지수를 가진 물체에서 작업을 하려면 적절한 파생상품(공변량 파생상품)을 도입해야 하는데, 예를 들어 $V{\displaystyle {}_{}^{}}$ i ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$의 공변량 파생상품은 다음과 같다$$.

${\displaystyle D_{a}V_{i}^{b}=\partial _{a}V_{i}^{b}-\Gamma_{a\;\i}^{a\;\i}^{j}^{j}^+\c}{b}V_{i}^{c}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\mathrm{여기}}_{}^{}}$서 $\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle a_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$는 일반적인 Levi-Civita 연결이고 $\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle a_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$ ${\$는 이른바 스핀 연결이다. 구성 변수를 다음으로 지정

${\displaystyle A_{a}^{i}=\감마_{a}^{i}+\beta K_{a}^{i}}}}}}$

where ${\displaystyle \Gamma _{a}^{i}=\Gamma _{ajk}\epsilon ^{jki}}$ and ${\displaystyle K_{a}^{i}=K_{ab}{\tilde {E}}^{bi}/{\sqrt {\det(q)}}}$. The densitized drei-bein is the conjugate momentum variable of this three-dimensional SU(2) gauge 필드(또는 연결) $A{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ j ${\$ 포아송 브래킷 관계를 만족한다는 점에서

${\displaystyle \{\tilde{E}_{i}^{a}(x),$$A_{b}^{j$}^{j$}(y)\}=8\pi G_{\mathrm {Newton}}}\beta \delta _{b}^{a}\delta _{i}^{j}\delta$^{$3}(x-y$ .

상수 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta }$은(는) Immirzi 파라미터로, 뉴턴의 상수 G ${\displaystyle {N\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{e}}_{}}$ w ${\displaystyle {\mathrm{o}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{o}}_{}}$ ${\$을(를) 다시 계산하는 요인이다$.$ 밀도가 높은 드레빈(drei-bein)은 위에서 논의한 바와 같이 메트릭을 재구성하는 데 사용할 수 있으며 연결은 외측 곡면성을 재구성하는 데 사용할 수 있다. 아슈테카르 변수는 선택 $\beta {\displaystyle }$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \beta =-i}($상상수의 음수)에 해당하며, ${\displaystyle a_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$는 다음으로 치랄 스핀 연결로 불린다$$. 이러한 스핀 연결을 선택한 이유는 아슈테카르가 표준적 일반 상대성, 즉 LQG의 해밀턴적 제약이라는 가장 골치 아픈 방정식을 훨씬 단순화할 수 있었기 때문이다. 이러한 선택은 그의 새로운 변수에서 두 번째, 만만치 않은, 용어를 소멸시켰고 나머지 기간은 다항식이 되었다. 이것은 표준 양자 중력 프로그램에 대한 새로운 희망을 불러일으켰다.^[5] 그러나 그것은 특정한 어려움을 가져왔다. 아슈테카르 변수는 해밀턴계를 단순화하는 미덕이 있었지만 변수가 복잡해지는 문제가 있다.^[6] 이론을 정량화할 때 복잡한 일반 상대성 이론과 반대로 실제 일반 상대성을 회복하도록 하는 것은 어려운 일이다. 또한 아슈테카르가 함께 작업한 해밀턴식 제약은 원래 해밀턴식 대신 밀도화된 버전, 즉 $H{\displaystyle \stackrel{}{}}$ ~${\displaystyle }$= ${\displaystyle det}$ (${\displaystyle \sqrt{q}}$)${\displaystyle \sqrt{}}$H ${\displaystyle{H}={\sqrt{\det(q)}H$ 양자 사업자에게 이 양을 홍보하는 데 심각한 어려움이 있었다. 아슈테카르의 형식주의를 실제 연결(${\displaystyle }$ {\$displaystyle \beta }$ real values$$)에 일반화할 수 있었고, 특히 1996년 2기와 함께 원래의 해밀턴안을 단순화하는 방법을 고안한 사람은 토마스 티만이었다. 그는 또한 이 해밀턴의 제약을 루프 표현 내에서 잘 정의된 양자 연산자에게 촉진시킬 수 있었다.^[7][8]

리 스몰린과 테드 제이콥슨, 그리고 조셉 사무엘은 독립적으로 일반 상대성 이론의 테트라딕 팔라티니 작용 원리의 자기 이중적 제형을 고려함으로써 이론의 사실상 라그랑지적 제형이 존재한다는 것을 발견했다.^[9][10][11] 이 증거들은 스핀들 관점에서 제시되었다. 트라이애드 측면에서 새로운 변수에 대한 순전히 시간적 증거로서 골드버그가^[12] 제시했고 헤노 외 연구진이 테트라드를 제시하였다.^[13]

참조

추가 읽기

• Ashtekar, Abhay (1986). "New Variables for Classical and Quantum Gravity". Physical Review Letters. 57 (18): 2244–2247. Bibcode:1986PhRvL..57.2244A. doi:10.1103/PhysRevLett.57.2244. PMID 10033673.