라그랑지안(장론)

라그랑주 장론은 고전 장론의 형식주의이다.그것은 라그랑주 역학의 필드 이론 유사체이다.라그랑지안 역학은 각각 유한한 수의 자유도를 가진 이산 입자 계의 운동을 분석하는데 사용된다.라그랑지안 장론은 무한한 자유도를 가진 연속체와 장에 적용된다.

라그랑지안 형식주의의 발전의 한 가지 동기는, 보다 일반적으로, 고전적인 필드 이론의 경우, 양자장 이론을 수학 이론으로 받아들일 수 없게 만드는 형식적인 어려움에 의해 악명높게 시달리는 깨끗한 수학적 토대를 제공하는 것입니다.여기에 제시된 라그랑지안은 양자 등가물과 동일하지만 필드를 양자화하지 않고 고전적인 장으로 취급할 때 정의를 제공하고 편미분방정식의 수학에 대한 기존의 형식적 접근법과 양립할 수 있는 성질을 가진 해법을 얻을 수 있다.이를 통해 소볼레프 공간처럼 특성이 잘 표현된 공간에 솔루션을 공식화할 수 있습니다.그것은 존재 증명부터 형식 급수의 균일한 수렴, 잠재 이론의 일반적인 설정까지 다양한 이론들을 제공할 수 있게 한다.또한, 통찰력과 명확성은 리만 다양체 및 섬유 다발에 대한 일반화에 의해 얻어지며, 기하학적 구조를 해당 운동 방정식으로부터 명확하게 구별하고 분리할 수 있다.기하학적 구조에 대한 명확한 견해는 체른-가우스-보네 정리 및 리만-로흐 정리부터 아티야-싱거 지수 정리, 체른-시몬 이론까지 기하학적 이론에서 매우 추상적인 이론이 통찰을 얻기 위해 사용될 수 있게 했다.

개요

필드 이론에서, 독립 변수는시공간에서의 $사건 (x,$ $y,$ $z,$ t)으로 대체되거나, 보다 일반적으로 리만 다양체의 점 s로 대체된다.동작방정식이 작용원리에 의해 얻어지도록 종속변수는 시공간상의 해당 지점에서의 필드값 $\varphi (x,y,z,t)$ θ( $x, y,$ 로 $\varphi (x,y,z,t)$ 대체됩니다.

\displaystyle\frac\mathcal{S}{\delta\varphi_{i}}=0,}

여기서 동작

(\

{S

\varphi _{i}(s)

는 종속 변수

\varphi _{i}(s)

(\

displaystyle\varphi_

s

)

의 함수이며, 그 도함수 및 그 자체입니다.

{\mathcal {S}\left[\varphi _{i}\right]=\int {\mathcal {L}}\left(\varphi _{i}(s)}{\frac {\frac \varphi }}{\right}},\{\parpha}\light}

어디는 받침대};그리고 s){sα}, 그리고α=1,2,3에 의해, 색인되어 있는 시스템의 시간 변수를 포함한 n독립 변수의 집합을 나타낸다..., 그 서예의 서체 n., L{\displaystyle{{나는\mathcal}}}{⋅ ∀ α}{\displaystyle\와 같이{\cdot ~\forall \alpha)}를 의미한다, n.은 인구 밀도 그리고 d으로 사용된다 ${\displaystyle \mathrm$ {d} $^{n}s$ }는 $\mathrm {d} ^{n}s$ 필드 함수의 볼륨 형식, 즉 필드 함수의 도메인 측도입니다.

수학 공식에서 라그랑지안은 섬유 다발 위의 함수로 표현되는 것이 일반적이며, 여기서 오일러-라그랑지 방정식은 섬유 다발 위의 측지학을 지정하는 것으로 해석될 수 있다.아브라함과 마르스덴의 교과서는 현대^[1] 기하학적 개념, 즉 접선 다양체, 심플렉틱 다양체 및 접촉 기하학의 관점에서 고전 역학의 첫 번째 포괄적인 설명을 제공했다.Bleecker의 교과서는 게이지^[2] 불변 섬유 다발의 관점에서 물리학 분야 이론을 포괄적으로 제시했습니다.그러한 공식은 오래전에 알려졌거나 의심되었다.Jost는^[3] 해밀턴과 라그랑지안 형태 사이의 관계를 명확히 하고, 제1원리 등에서 스핀 다지관을 설명하며 기하학적 표현을 계속한다.현재의 연구는 벡터 공간의 발생을 텐서 대수로 대체하는 비강성 아핀 구조(때로는 "양자 구조"라고도 함)에 초점을 맞추고 있다.이 연구는 양자 그룹을 아핀 리 대수로 이해함으로써 동기를 부여받았다. (거짓말 그룹은 어떤 의미에서는 그들의 리 대수에 의해 결정되는 "강체"이다.)텐서 대수에 재구성될 때, 그들은 무한한 자유도를 갖는 "플로피"가 된다. 예를 들어, 을 참조한다.Virasoro 대수).

정의들

라그랑지안 장 이론에서, 일반화 좌표의 함수로서의 라그랑지안은 라그랑지안 밀도, 계와 그 도함수, 그리고 아마도 공간과 시간 좌표 그 자체로 대체된다.필드 이론에서 독립 변수 t는 시공간에서의 $사건 (x,$ $y,$ $z$ , t $)$ 으로 대체되거나 더 일반적으로 다지관상의 점 s로 대체된다.

종종 "라그랑지안 밀도"는 단순히 "라그랑지안"이라고 불립니다.

스칼라 필드

$\varphi$ 의 스칼라 필드 $「\displaystyle \varphi$ 의 경우, Lagrangian 밀도는 다음과 ^{[nb 1]}^[4]같이 됩니다.

{L}(varphi, {\boldsymbol {nabla }}}\varphi, \partial \varphi /\partial t,\mathbf {x},t})

많은 스칼라 필드의 경우

{\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},\boldsymbol {nabla }},\partial \varphi _{1}/\partial t,\ldots,\varphi _{n},\boldsymbol {n},\partial \varphi _{n})

수학 공식에서 스칼라 필드는 섬유다발상의 좌표이며, 필드의 도함수는 제트다발의 단면이라고 이해된다.

벡터 필드, 텐서 필드, 스피너 필드

위의 내용은 벡터 필드, 텐서 필드 및 스피너 필드에 대해 일반화할 수 있습니다.물리학에서 페르미온은 스피너 장에 의해 설명된다.보손은 특수한 경우로 스칼라 및 벡터 필드를 포함하는 텐서 필드로 설명된다.

예를 들어 m개의{ $displaystyle$ m $}$ 개의 $m$ 실제 값 스칼라 필드, $\varphi _{1},\dots ,\varphi _{m}$ , $display$ m $\varphi _{1},\dots ,\varphi _{m}$ { $displaystyle \varphi$ _ { $1},$ \ $varphi$ _ ${m$ 이 $있는$ 경우 필드 매니폴드는 $\mathbb {R} ^{m}$ { $displaystyle \mathbb {R}^{m$ 이 $\mathbb {R} ^{n}$ . 필드가 실제 벡터 필드일 경우, 다지형은 $\mathbb {R} ^{n}$ 입니다. $mathbb {R} ^{n$ } $\mathbb {R} ^{n}$ 。

액션.

라그랑지안의 시간 적분은 S로 $나타나는$ 작용이라고 불린다.필드 이론에서, 때때로 $라그랑지안$ L 사이에 구별이 만들어지는데, 그 중 시간 적분은 작용이다.

{S}=\int L,\mathrm {d} t,

그리고 Lagrangian

{\mathcal {L}}

L

(\

style

\mathcal

{L

{\mathcal {L}}

을 사용하여 모든 시공간에서 적분하여 작용합니다.

{\displaystyle {S}[\varphi]=\int {mathcal {L}}(varphi, {\boldsymbol {\symbla}}}\varphi,\varphi,\mathbf {x},t),\mathbrm {d}{d}{d}{d}.

라그랑지안 밀도의 공간 부피 적분은 라그랑지안이다; 3D에서는,

L=\int {mathcal {L}},\mathrm {d}^{3}\mathbf {x},

액션은 필드(및 그 파생 모델)의 함수이기 때문에 종종 "액션 함수"라고 불립니다.

볼륨 폼

중력이 존재하거나 일반적인 곡선 좌표를 사용하는 경우, 라그랑지안 ${\mathcal {L}}$ L(\ $displaystyle\mathcal {L})$ 은 ${\mathcal {L}}$ g $(\$ 의 ${\textstyle {\sqrt {g}}}$ 를 포함합니다.그러면 일반 좌표 변환에서 동작이 불변합니다.수리 문헌에서 시공간은 리만 $다양체$ M(\ $displaystyle$ M $)$ 으로 $M$ 간주되고 적분은 부피 형태가 된다.

{S}=\int _{M}{\sqrt {g}}{\cdots \cdots dx^{m}{\mathcal {L}}

여기서 ${\$ { $displaystyle$ \ $wedge }$ 는 $\wedge$ 쐐기곱이고 ${\textstyle {\sqrt {|g|}}}$ { $textstyle$ { $sqrt$ { ${\textstyle {\sqrt {|g|}}}$ g $}$ 는 ${\textstyle {\sqrt {|g|}}}$ M{\ $displaystyle$ M $M$ 의 $g$ $메트릭$ $텐서$ g {\ $displaystyle$ g $}$ 의 $|g|$ $|g|$ g의 제곱근이다. 평탄한 시공간(예를 들어 민코프스키 시공간)의 경우 단위 부피는 1이다.. ${\textstyle {\sqrt {|g|}}=1}$ $=$ $(\textstyle {g$ }}= $1)$ 이므로 ${\textstyle {\sqrt {|g|}}=1}$ 평탄한 공간에서 필드 이론을 논할 때 일반적으로 생략됩니다.마찬가지로, 쐐기곱 기호를 사용하면 다변량 미적분에서의 부피의 일반적인 개념에 대한 추가적인 통찰력을 제공하지 않으므로, 마찬가지로 이러한 기호는 제외됩니다.일부 오래된 교과서(예: Landau 및 Lifschitz)에서는 음수 기호가 (+--) 또는 (-++)인 미터법 텐서에 적합하기 때문에 (어느 경우든 행렬식이 음수이기 때문에) 볼륨 형태로 $(\$ {- $g})$ 라고 쓴다 ${\textstyle {\sqrt {-g}}}$ 일반적인 리만 다양체에 대한 필드 이론을 논할 때, 볼륨 형식은 일반적으로 $*(1)$ ( $*(1)$ ) { $displaystyle$ *(1 $)$ ${\$ {\ $displaystyle *}$ 은 $*(1)$ $*$ 호지별이다.그것은,

*(1)=syslogrt {g}}syslog^{1}\cdots\syslogdx^{m

그래서

{S}=\int _{M}*(1){\mathcal {L}

드물지 않게 위의 표기법은 완전히 불필요한 것으로 간주됩니다.

{S}=\int _{M}{\mathcal {L}

자주 볼 수 있습니다.현혹되지 마십시오. 볼륨 형식은 명시적으로 작성되지 않더라도 위의 적분에 암묵적으로 존재합니다.

오일러-라그랑주 방정식

오일러-라그랑주 방정식은 필드 $\varphi$ (\ $displaystyle \varphi)$ 의 $\varphi$ 측지학적 흐름을 시간의 함수로 설명한다. ${\$ { $display$ \ $varphi$ $\varphi$ {\ $\varphi$ with with with taking taking taking taking taking taking taking taking taking 、

({displaystyle 0=mathcal {S}}{\delta \varphi }}=\int _{M}*(1)\left(-\mu }\frac {\mathcal {L}}}{\partial(\partial(\partial_{\mathcal {\mathcal {\mu}\mu}}}\varphi}}}) {\fright frac}{{\fr}}} {\partial} {\fright})}

경계 조건과 관련하여 풀면 오일러-라그랑주 방정식을 얻을 수 있다.

\displaystyle \frac {\partial \varphi }=\frac {\mu } \partial (\partial _ {\mu }\varphi )\partial (\partial _ {\mu }\partial _\fright )}

예

라그랑지안의 관점에서 다양한 물리적 시스템이 필드 상에서 공식화되었습니다.다음은 필드 이론에 관한 물리학 교과서에서 볼 수 있는 가장 일반적인 것들의 샘플입니다.

뉴턴 중력

뉴턴 중력의 라그랑주 밀도는 다음과 같습니다.

{L}(\mathbf {x},t)=-{1 \over 8\pi G}(\nabla \Phi(\mathbf {x},t)^{2}-\rho(\mathbf {x},t)\Phi(\mathbf {x},t})})

여기서

δ

는 중력전위,

δ

는 질량밀도,

G

(m³·kg⁻¹·s⁻²)는 중력상수이다.

{\mathcal {L}}

L

(\

의

{\mathcal {L}}

단위는 J·m입니다⁻³.여기서 상호작용항은 kg·m⁻³ 단위의 연속질량밀도θ를 포함한다.필드에 점 소스를 사용하면 수학적으로 어려움이 생기기 때문에 이것이 필요합니다.

이 라그랑지안은 L ${\mathcal {L}}=T-V$ - $({displaystyle {L}}=T-V$ 의 ${\mathcal {L}}=T-V$ 로 쓸 수 있으며, T $=$ - $T=-(\nabla \Phi )^{2}/8\pi G$ δ $T=-(\nabla \Phi )^{2}/8\pi G$ ) $T=-(\nabla \Phi )^{2}/8\pi G$ 2 / $T=-(\nabla \Phi )^{2}/8\pi G$ $T=-(\nabla \Phi )^{2}/8\pi G$ G({ $displaystyle$ T=-(\ $nabla \Phi)^2/8\pi$ G $)$ 는 $T=-(\nabla \Phi )^{2}/8\pi G$ $T=-(\nabla \Phi )^{2}/8\pi G$ $V=\rho \Phi$ 을 제공한다.시간 경과에 따른 변화에 대처하기 위해 어떻게 이것이 수정될 수 있는지에 대해서는 노드스트롬의 중력 이론을 참조하십시오.이 형식은 스칼라 필드 이론의 다음 예에서 다시 정의됩니다.

$δ$ 에 대한 적분의 변동은 다음과 같습니다.

\displaystyle \mathcal {L}}(\mathbf {x},t)=-\rho(\mathbf {x},t)\display \Phi(\mathbf {x},t)-{2 \over 8\pi G}(\nabla \Phi(\mathbf {x},t},t)\cdoti(\la\Rh)\Rh)}

부품별로 적분하고, 총적분을 폐기하고, δ로 나눕니다.공식은 다음과 같습니다.

\displaystyle 0=-\rho (\mathbf {x},t)+{\frac {1}{4\pi G}}\nabla \cdot \phi (\mathbf {x},t)}

이는 다음과 같습니다.

(\displaystyle 4\pi G\rho (\mathbf {x},t)=\displayla ^{2}\Phi (\mathbf {x},t)})

중력에 대한 가우스의 법칙을 만들어냅니다.

스칼라 장 이론

$V(\phi )$ V $V(\phi )$ $V(\phi )$ ) { $displaystyle$ V $(\phi)}$ 내에서 $V(\phi )$ 이동하는 스칼라 필드의 라그랑지안은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

{\mathcal {L}} = phi - V ( \ phi ) = phi _ { \ mu } \ phi _ { \ mu } \ phi } \ phi _ { \ phi } { \ phi ^ 2 }}}g_{n}\phi ^{n}

스칼라 이론이 T

T=mv^{2}/2

T=mv^{2}/2

v

T=mv^{2}/2

/

T=mv^{2}/2

({

display style

T

=mv^{2}/2

로 쓰여진 자유점 입자의 운동 항에 대한 학부 교과서

L=T-V

L

L=T-V

-

L=T-V

V ({

displaystyle

L

=T-V})

와

L=T-V

닮은 것은 우연이 아니다.스칼라 이론은 전위 속에서 움직이는 입자의 장 이론이다.

V(\phi )

) {

style

V

(\phi)}

가

V(\phi)

멕시코 모자 전위일 때 생성되는 필드를 힉스 필드라고 합니다.

시그마 모형 라그랑지안

시그마 모델은 원이나 구와 같은 리만 다양체에서 움직이도록 제한된 스칼라 점 입자의 움직임을 설명합니다.이는 스칼라 및 벡터 필드의 경우, 즉 평평한 다지관 상에서 이동하도록 구속된 필드를 일반화합니다.라그랑지안은 일반적으로 세 가지 동등한 형태 중 하나로 쓰여집니다.

{\mathcal {L}}=mathrm {1}{2}\mathrm {*\mathrm {d}\phi}

\mathrm {d}

서 d

\

는

\mathrm{d}

미분입니다.등가 표현은

{\mathcal {L}}=sum frac {{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}(\phi)\sum ^{\mu}\phi _{i}\phi _{i

g_{ij}

j

g_{ij}

{\

displaystyle g_{ij}}

g_{ij}

즉, 필드 ian

\phi _{i}

{\

displaystyle \phi

_

{i}

는

\phi _{i}

매니폴드의 좌표 차트의 로컬 좌표일 뿐입니다.세 번째 일반적인 형태는

({displaystyle {Mathcal {L}}=black {1}{2}}\mathrm {tr}\left(L_{\mu}L^{\mu}\right)}

와 함께

L_{\mu}=U^{-1}\partial_{\mu}U

U

U\in \mathrm {SU} (N)

U

U\in \mathrm {SU} (N)

(

U\in \mathrm {SU} (N)

N )

U\in \mathrm {SU} (N)

\

displaystyle

U \

in

\

mathrm

{

SU （ N

）

U\in \mathrm {SU} (N)

Lie group SU ( N ) 。이 그룹은 임의의 Lie 그룹 또는 보다 일반적으로 대칭 공간으로 대체할 수 있습니다.트레이스는 숨어있는 Killing 형식일 뿐입니다.Killing 형식은 필드 다양체에 2차 형식을 제공하고, 라그랑지안은 이 형식의 풀백일 뿐입니다.또는 라그랑지안은 베이스 시공간으로의 마우러-카르탄 형태의 풀백으로도 볼 수 있다.

일반적으로 시그마 모델은 위상 솔리톤 용액을 나타냅니다.이들 중 가장 유명하고 잘 연구된 것은 스카이미온으로, 시간의 테스트를 견뎌낸 핵자의 모델 역할을 한다.

특수상대성이론의 전자기학

점입자, 즉 하전입자가 전자기장과 상호작용하는 것을 고려합니다.교호작용 항

-q\phi(\mathbf {x}(t)+q{\dot {mathbf {x}(t)}\cdot \mathbf {A}(\mathbf {x}(t)})

A·s·m⁻³ 단위의 연속 전하 밀도 θ와 A·m⁻² 단위의 전류

\mathbf {j}

j(\

displaystyle \mathbf

{

j})

를 포함하는

\mathbf {j}

용어로 대체됩니다.전자장에 대한 라그랑지안 밀도는 다음과 같습니다.

{L}(\mathbf {x},t)=-\rho(\mathbf {x},t)\phi(\mathbf {x},t)+\mathbf {j}(\mathbf {A}(\mathbf {A},0+tilon})_phi(\mathbf {x})

$이것$ 을 ,에 대해서 변화시키면, 다음과 같이 됩니다.

\displaystyle 0=-\rho (\mathbf {x},t)+\ilon _{0}\cdot \mathbf {E} (\mathbf {x},t)}

가우스의 법칙을 만들어내죠

대신 A $(\$ 에 $\mathbf {A}$ 달라집니다.

\displaystyle 0=\mathbf {j}(\mathbf {x},t)+\ilon _{0}{\dot {mathbf {E}}}-{1 \over \mu _{0}}\times \mathbf {B}(\mathbf {x},t})

암페르의 법칙을 만들어내죠

텐서 표기법을 사용하면 이 모든 것을 보다 간결하게 쓸 수 있습니다.항 $-\rho \phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} \cdot \mathbf {A}$ ( $-\rho \phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} \cdot \mathbf {A}$ , $-\rho \phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} \cdot \mathbf {A}$ t ) + ${\$ $-\rho \phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} \cdot \mathbf {A}$ {\ $displaystyle -\rho \phi (\mathbf {x}$ , $t)+\mathbf {j}$ \ $cdot \mathbf {A} }$ 는 $-\rho \phi (\mathbf {x} ,t)+\mathbf {j} \cdot \mathbf {A}$ 실제로는 두 개의 4 벡터의 내적이다.전하 밀도를 현재의 4벡터로, 전위를 전위 4벡터로 패키징합니다.이 두 개의 새로운 벡터는

j^{\mu}=(\rho,\mathbf {j})\display A_{\mu}=display\phi,\mathbf {A})}

그런 다음 상호작용 항을 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\displaystyle -\rho \phi +\mathbf {j} \cdot \mathbf {A} =j^{\mu}A_{\mu}}

또한, 우리는 E 및 B

F_{\mu \nu }

를 전자기

F_{\mu \nu }

F

F_{\mu \nu }

µ {\

display style

F_

{\mu \nu

F_{\mu \nu }

로 알려진 것으로 패키징할 수 있습니다. 이 텐서는 다음과 같이 정의합니다.

F_{\mu \nu}=\display_{\mu}A_{\nu}-\display_{\mu}A_{\mu}

우리가 찾고 있는 용어는

{\silon _{0} {E} {{2} - {1 \over {2\mu _{0}} {B} {B} = - {\frac {1} {4\mu _{0} F^{\mu } - {\frac {0} {0

우리는 민코프스키 메트릭을 사용하여 EMF 텐서의 지수를 높였다.이 표기법에서 맥스웰의 방정식은

\displaystyle \mu \nu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu \nu }\silon ^{\mu \nu \nu \nu }F_{\lambda \nu } =0}

여기서 θ는 Levi-Civita 텐서이다.그래서 로렌츠 벡터와 텐서의 관점에서 쓰여진 특수 상대성 이론에서의 전자기학에 대한 라그랑주 밀도는

{\displaystyle {L}(x)=j^{\mu }(x)A_{\mu }(x)-{\frac {1}{4\mu _{0}}F^{\mu \nu }(x)F^{\mu \nu }(x)

이 표기법에서 고전 전자기학은 로렌츠 불변 이론이라는 것이 명백하다.등가원리에 의해 전자성의 개념을 ^[5]^[6]곡면 시공간으로 확장하는 것이 간단해진다.

전자기학과 양-밀스 방정식

미분 형식을 사용하여, 리만 ${\mathcal {M}}$ M({style $\display\mathcal {M}})$ 에서 ${\mathcal {M}}$ 진공 상태에서의 전자기 작용 S는 다음과 같이 쓸 수 있다(자연 단위, $c$ = $δ 0$ = $1$ 사용).

{\mathbf {S}}[\mathbf {A}=-\int _{\mathcal {M}}\left({\frac {1}{2}},\mathbf {F}\mathbf {F} -\mathbf {A}\right)

여기서 A는 전자전위 1형, J는 전류 1형,

F

는 전계강도 2형, 별은 호지별 연산자를 나타낸다.이것은 위의 섹션과 정확히 같은 라그랑지안입니다만, 여기서의 처리는 좌표 자유입니다.적분자를 기반으로 확장하면 동일하고 긴 표현이 생성됩니다.양식에는 좌표 차이가 내장되어 있으므로 양식에서는 추가 통합 측정이 필요하지 않습니다.액션의 변화는

\displaystyle \mathrm {d} {ast} \mathbf {F} = mathbf {J} .}

맥스웰의 전자기 전위 방정식입니다.F =

dA

를

대입

하면 필드에 대한 방정식이 즉시 생성됩니다.

\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {F} = 0}

왜냐하면

F는 정확한 형태이기 때문이다.

A 필드는 U(1) 파이버번들 상의 아핀 접속으로 이해할 수 있습니다.즉, 고전 전기역학, 그 모든 효과와 방정식은 민코프스키 시공간에서 원 다발의 관점에서 완전히 이해될 수 있다.

양-밀스 방정식은 전자기학의 Lie 그룹 U(1)를 임의의 Lie 그룹으로 대체함으로써 위와 정확히 같은 형태로 작성될 수 있다.표준 모델에서는 일반적으로 S $\mathrm {SU} (3)\times \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {U} (1)$ ( $\mathrm {SU} (3)\times \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {U} (1)$ ) × $\mathrm {SU} (3)\times \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {U} (1)$ $\mathrm {SU} (3)\times \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {U} (1)$ ( 2 $\mathrm {SU} (3)\times \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {U} (1)$ ) × U ( $\mathrm {SU} (3)\times \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {U} (1)$ ) \ $display$ \ $mathrm { SU }$ ( 3 ) \ times \ $mathrm$ { $SU$ } ( $2$ ) \ times \ $mathrm { U }$ ( 1 )로 $\mathrm {SU} (3)\times \mathrm {SU} (2)\times \mathrm {U} (1)$ 간주됩니다.어떤 경우에도 양자화를 수행할 필요가 없습니다.양-밀스 방정식은 역사적으로 양자장론에 뿌리를 두고 있지만, 위의 방정식은 순전히 ^[2]^[3]고전적인 것입니다.

Chern-Simon 기능

상기와 같은 맥락에서, 1차원에서의 동작, 즉 접촉 형상 설정에서의 동작을 고려할 수 있다.이것에 의해, Chern-Simon 는 기능합니다.라고 쓰여 있다

\displaystyle {\mathbcal {S}[\mathbf {A}=\int _{\mathcal {M}}\mathrm {tr} \left(\mathbf {A} \frac {2} {3}}\mathbf {A} \mathbf {A} \mathbf} \t}}

체른-사이먼 이론은 거대한 통일 이론에서 찾을 수 있는 광범위한 기하학적 현상에 대한 장난감 모델로서 물리학에서 깊이 탐구되었다.

긴츠부르크-란다우 라그랑지안

긴츠부르크-란다우 이론의 라그랑지안 밀도는 스칼라 장 이론의 라그랑지안과 양-밀스 작용의 라그랑지안을 결합한다.다음과 같이 ^[7]쓸 수 있다.

{L}(psi,A)=\vert F\vert ^{2}+\vert D\psi \vert ^{2}+{\frac {1}{4}\left(\display -\vert \psi \vert ^{2}\right)^{2}

여기서 {\

{ \

displaystyle

\psi

\psi

}는

\psi

\mathbb {C} ^{n}

\mathbb {C} ^{n}

\

displaystyle \mathbb {C}

^ {

n

을(를) 가진 벡터 번들의 섹션입니다.

{\

{

displaystyle \psi }

는

\psi

초전도체의 순서 파라미터에 해당하며, 두 번째 항이 유명한 "솜브레로 모자" 전위임을 확인한 후 힉스 필드에 해당합니다.

필드

A

(\displaystyle

A

)

는

A

(비-Abelian) 게이지 필드,

즉

Yang-Mills 필드,

F(\

displaystyle

F

)

는

F

필드 강도입니다.긴즈부르크-란다우 함수에 대한 오일러-라그랑주 방정식은 양-밀스 방정식이다.

D{\star}D\psi = specfrac {1}{2}}\left(\display-\vert \psi \vert ^{2}\right)\psi

그리고.

D{\star}F=-\operatorname {Re}\displayle D\psi,\psi \rangle

여기서

{\(\

은

{\star }

호지 별 연산자, 즉 완전 반대칭 텐서입니다.이 방정식은 양-밀스-힉스 방정식과 밀접하게 관련되어 있습니다.또 다른 밀접하게 연관된 라그랑지안은 세이버그-비텐 이론에서 발견된다.

디라크 라그랑지안

디랙 필드의 라그랑지안 밀도는 다음과 같습니다.^[8]

({displaystyle {L}}={psi}}(i\hbar cc}\!!)\!/\-mc^{2}\psi }

여기

서

\psi

{

displaystyle \psi }

는

\psi

Dirac 스피너,

{\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}

0

{\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}

（ \

displaystyle

{ \

psi

} = \ psi ^ { \ psi } = \ psi ^ { \ psi } }는 Dirac 인접,

{\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}

{\partial }\!\!\!/

/ { \

displaystyle

\

pr }

\ spinterfict }는

{\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}

Dir!

\!/}

은

{\partial }\!\!\!/

(는)

\gamma ^{\sigma }\partial _{\sigma }

슬래시 표기법입니다(\

displaystyle \gamma

^{\

sigma

}\

partial

_

{\sigma

고전 이론에서는 Dirac 스피너에 특별히 초점을 맞출 필요가 없습니다.와일 스피너는 보다 일반적인 토대를 제공합니다; 그것들은 시공간에서 클리포드 대수로 직접 구성될 수 있습니다; 구조는 임의의 수의 ^[3]차원으로 작동하며, 디락 스피너는 특별한 경우로 나타납니다.와일 스피너는 리만 다양체의 메트릭을 위한 비엘바인에 사용될 수 있다는 추가적인 이점을 가지고 있습니다; 이것은 대략적으로 말해서, 휘어진 시공간에서 스피너를 일관되게 공식화하는 방법인 스핀 구조의 개념을 가능하게 합니다.

양자역학적 라그랑지안

QED의 라그랑지안 밀도는 게이지 불변 방식으로 디락 필드의 라그랑지안과 전기 역학의 라그랑지안을 결합합니다.그 이유는 다음과 같습니다.

{\mathcal {L}}_{\mathrm {Q}ED} = bar {psi }}(i\hbar c{D}\!!\!\!/\ - mc^{2}\psi - {1 \over 4 \mu _{0}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu

F^{\mu \nu }

서 F

F^{\mu \nu }

† {\

displaystyle

F

^{\mu \nu }}

은

F^{\mu \nu }

전자기 텐서, D는 게이지 공변 도함수,

{D}\!\!\!\!/

/\

\!/}

은

{D}\!\!\!\!/

\gamma ^{\sigma }D_{\sigma }

(는

D_{\sigma }=\partial _{\sigma }-ieA_{\sigma }

\gamma ^{\sigma }D_{\sigma }

D_{\sigma }=\partial _{\sigma }-ieA_{\sigma }

displaystyle

D_{\sigma }=\partial _{\sigma }-ieA_{\sigma }

{\

sigma

}

의 파인만 표기법입니다.

A_{\sigma }

서

D_{\sigma }=\partial _{\sigma }-ieA_{\sigma }

D =

D_{\sigma }=\partial _{\sigma }-ieA_{\sigma }

\

displaystyle D_{\sigma

} = \

displaystyle D_{\sigma }

A_{\sigma }

。

위에 '양자'라는 단어가 나오긴 했지만, 이것은 역사적 유물입니다.디락 필드의 정의는 양자화를 전혀 필요로 하지 않으며, 클리포드 ^[3]대수의 첫 번째 원리로 구성된 순수하게 반정류 바일 스피너의 고전적인 분야로 쓰여질 수 있습니다.완전한 게이지 불변 고전 공식은 Bleecker로 ^[2]제공됩니다.

양자 색역학적 라그랑지안

양자 색역학의 라그랑지안 밀도는 하나 이상의 질량이 큰 디락 스피너에 대한 라그랑지안과 게이지장의 역학을 설명하는 양-밀스 작용에 대한 라그랑지안을 결합한다; 결합된 라그랑지안은 게이지 불변이다.다음과 같이 ^[9]쓸 수 있다.

{L}_{\mathrm {QCD} =\sum _{n}{\bar {psi }}_{n}\left(i\hbar c{D}\!\!\!/\-m_{n}c^{2}\right)\psi _{n}-{1 \over 4}G^{\alpha }_{\mu \nu }G_{\alpha }{\mu \nu }

여기서 D는 QCD 게이지 공변량 도함수이고, n = 1, 2, ...6은 쿼크 유형을

G^{\alpha }{}_{\mu \nu }\!

하고, G

G^{\alpha }{}_{\mu \nu }\!

μ

G^{\alpha }{}_{\mu \nu }\!

{\

displaystyle

G

^{\alpha }{}_{\mu

\nu

}\!}

는

G^{\alpha }{}_{\mu \nu }\!

글루온 전계 강도 텐서입니다.상기의 전기역학 사례에 대해서는, 상기의 「양자」의 출현은, 그 역사적 발전만을 인정하고 있다.라그랑지안과 그 게이지 불변성은 순수하게 ^[2]^[3]고전적인 방식으로 공식화되고 처리될 수 있다.

아인슈타인 중력

물질장이 존재할 때 일반 상대성 이론의 라그랑주 밀도는 다음과 같다.

{\mathcal {L}}_{\text}GR}}={L}_{\text{}EH}}+{\mathcal {L}_{\text{matter}}=pifrac {c^{4}}{16\pi G}}\left(R-2\Lambda \right)+{\mathcal {L}}_{\text{matter}}}}

여기서

\Lambda

\

Lambda)

는

\Lambda

우주 상수이고

,

R(\

displaystyle

R

)

은

R

곡률 스칼라이며, 이는 메트릭 텐서와 수축된 리치 텐서이며, Ricci 텐서는 크로네커 델타와 수축된 리만 텐서이다.

{\mathcal {L}}_{\text{EH}}

EH의

{\mathcal {L}}_{\text{EH}}

적분(

style {mathcal {L}}_{\text{})

EH}}}

은

{\mathcal {L}}_{\text{EH}}

아인슈타인으로 알려져 있다.힐베르트 액션리만 텐서는 조력 텐서이며, 시공간의 미터법 연결을 정의하는 크리스토펠 기호와 크리스토펠 기호의 도함수로 구성됩니다.중력장 자체는 역사적으로 미터법 텐서에 기인한다; 현대의 관점은 그 연결이 "더 근본적"이라는 것이다.이는 비틀림이 0이 아닌 접속을 쓸 수 있다는 것을 이해했기 때문입니다.지오메트리를 조금도 변경하지 않고 메트릭을 변경합니다.실제 "중력이 점들을 가리키는 방향"(예를 들어 지구 표면에서, 그것은 아래로 향하는 방향)에 대해서, 이것은 리만 텐서에서 유래한다: 이것은 움직이는 물체가 느끼고 반응하는 "중력장"을 설명하는 것이다. (이 마지막 진술은 "힘장" 자체가 없다; 움직이는 물체는 측지학을 따라야 한다.)연결부에 의해 설명되는 매니폴드.「직선」으로 이동한다).

일반 상대성 이론의 라그랑지안은 양-밀스 방정식과 명백히 유사한 형태로 쓰여질 수도 있다.이것은 아인슈타인-양-밀스 작용 원리라고 불립니다.이는 대부분의 미분 지오메트리가 아핀 연결과 임의의 Lie 그룹을 가진 번들에서 "괜찮게" 작동한다는 점에 주목함으로써 이루어집니다.그런 다음, 그 대칭 그룹, 즉 프레임 필드의 SO(3,1)를 연결하면 ^[2]^[3]위의 방정식을 얻을 수 있습니다.

이 라그랑지안을 오일러-라그랑주 방정식으로 대체하고 $g_{\mu \nu }$ $g_{\mu \nu }$ g $g_{\mu \nu }$ $†$ {\ $display$ style $g_{\mu \nu$ }}를 $g_{\mu \nu }$ 필드로 하여 아인슈타인 장 방정식을 구한다.

\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }\Lambda = scfrac {8\pi G}{c^{4}}T_{\mu \nu },}

T_{\mu \nu }

μ

T_{\mu \nu }

μ

T_{\mu \nu }

{\

displaystyle T_{\mu \nu }}

는

T_{\mu \nu }

에너지 운동량 텐서이며 다음과 같이 정의됩니다.

T_{\mu \nu}\equiv {frac {-2}{\mathrt {-g}}{\mathrm {L}}{\mathrm {g}}}{\display g^{\mu \nu }}= 2frac {-mathcal {-cal}}}}{\frac {-}{\mathcal {-cal {-}}}}}}{\frac {-c}}{\cal}{\cal}}{\cal}

g

서 g

\displaystyle

g는

g

매트릭스로 간주할 때 메트릭 텐서의 결정 요인이다.일반적으로 일반 상대성 이론에서 라그랑주 밀도의 작용의 통합 척도는 -

{\textstyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}

{\textstyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}

4

{\textstyle {\sqrt {-g}}\,d^{4}x}

{\

textstyle

{\

sqrt

{-

g}},d^{4}x

이다.이것은 미터법 행렬식의 근이 야코비안 행렬식과 동일하기 때문에 적분 좌표를 독립적으로 만든다.마이너스 부호는 메트릭시그니처의 결과입니다(결정식 자체는 ^[5]음수입니다).이는 앞에서 설명한 볼륨 형태가 평탄하지 않은 시공간에서 나타나는 예입니다.

일반상대성이론의 전자기학

일반상대성이론의 라그랑주 밀도에는 아인슈타인도 포함되어 있다.힐베르트 액션.순수 전자파 라그랑지안은 정확히 ${\mathcal {L}}_{\text{matter}}$ L $(\$ 입니다.라그랑지안은

{\mathcal {L}}(x)&=j^{\mu }(x)-{1 \over 4\mu _{0}F_{\mu \nu }(x)F_{\rho \nu }(x)\mu ^{g}\&=mathcal {L}_{\text{Maxwell}}+{\mathcal {L}}_{\text{아인슈타인-힐버트}}.\end { aligned}

이 라그랑지안은 위의 평탄한 라그랑지안의 민코프스키 메트릭을 보다 일반적인 (가능성이 있는) $g_{\mu \nu }(x)$ $g_{\mu \nu }(x)$ μ $g_{\mu \nu }(x)$ ( $g_{\mu \nu }(x)$ ){ $display g_{\mu \nu$ }( $x$ x)로 간단히 대체함으로써 얻을 수 있습니다. 이 라그랑지안을 사용하여 전자파 필드가 존재하는 상태에서 아인슈타인 필드 방정식을 생성할 수 있습니다.에너지-모멘텀 텐서는

T^{\mu \nu }(x)=syslogfrac {2}{-g(x)}}{\frac {\frac g_{\mu \nu }(x)}}{\mathcal {S}_{\text{Maxwell}}=syslogfrac {1}{\mu {\mu}{{\mu}{{{\mu}}}{{{{\mu(x}}}}}}}{F}}}}}}{좌}}}}{좌

이 에너지 운동량 텐서는 트레이스리스(traceless)라는 것을 보여줄 수 있다.

T=g_{\mu \nu }T^{\mu \nu }=0

아인슈타인 장 방정식의 양쪽의 흔적을 취하면

R=-{\frac {8\pi G}{c^{4}}}T

따라서 에너지 운동량 텐서의 트레이스리스란 전자기장의 곡률 스칼라가 사라진다는 것을 의미합니다.아인슈타인 방정식은 다음과 같습니다.

R^{\mu \nu }=blac {8\pi G}{c^{4}}{\flac {1}{\mu _{0}}\left({F^{\mu}}})_{\fracda }(x)F^{\nu \nu \nu }{\nu }{\flac1}{{4} {\nu } } {g} }

추가적으로, 맥스웰의 방정식은

D_{\mu }F^{\mu \nu }=-\mu _{0}j^{\nu }

D_{\mu }

서 Dμ

D_{\mu }

{\

displaystyle D_{\mu}}

는

D_{\mu }

공변 미분입니다.자유 공간의 경우 전류 텐서를 0

j^{\mu }=0

μ = 0

과 동일하게 설정할 수 있습니다. 자유

공간

의 구형 질량 분포를 중심으로 아인슈타인과 맥스웰의 방정식을 모두 풀면 정의 라인 요소(자연 단위로 쓰여지고 ^[5]Q로

전하

):

\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {2M}{r}}+{\frac {Q^{2}}+{r}}\right)\mathrm {d} t^{2}-\left(1-{\frac {2M}}+{r}}{r}}}{r}}{r}}{r}}{r}}{r}}}}{r}}}}{r}}}}}}}}

칼루자-클레인 ^[2]이론은 (5차원을 사용하여) 전자기 라그랑지안과 중력 라그랑지안을 통합할 수 있는 한 가지 방법을 제공한다.실제로 앞에서 설명한 Yang-Mills 방정식과 마찬가지로 아핀 다발을 구성하고 4차원 부분과 1차원 부분에 대한 작용을 별도로 고려합니다.7-sphere가 4-sphere와 3-sphere의 산물로 작성될 수 있거나 11-sphere가 4-sphere와 7-sphere의 산물이라는 것과 같은 인수분석은 모든 것에 대한 이론이 발견되기 시작한 초기에 많은 부분을 차지했습니다.안타깝게도, 7-sphere는 모든 Standard 모델을 포함하기에 충분한 크기가 아니어서 이러한 희망을 꺾었습니다.

기타 예

"Background Field"의 줄임말인 BF 모델 라그랑지안은 평평한 시공간 매니폴드에 쓰여질 때 사소한 역동성을 가진 시스템을 묘사합니다.위상학적으로 사소하지 않은 시공간에서 시스템은 사소하지 않은 고전적 해법을 가지며, 이는 솔리톤 또는 인스턴스론으로 해석될 수 있다.다양한 확장이 존재하여 위상장 이론의 기초를 형성합니다.

「」를 참조해 주세요.

메모들

^ 라그랑주 밀도의 모든 도함수와 좌표를 다음과 같이 생략하는 것은 표기법의 표준 남용이다. $({displaystyle {L}}(varphi,\partial _{\mu}\varphi,x_{\mu})})$ 사방팔방을 보다 $μ$ 는 값 0(시간 좌표의 경우)과 1, 2, 3(공간 좌표의 경우)을 취하는 지수이므로 정확히 하나의 도함수 또는 좌표만 존재합니다.일반적으로 모든 공간 및 시간 도함수는 라그랑지안 밀도로 나타납니다. 예를 들어 데카르트 좌표에서 라그랑지안 밀도는 완전한 형태를 갖습니다. ${L}\left(\varphi), {\frac {\partial \varphi}{\partial y}, {\frac {\partial z}, {\frac {\partial \varphi}{\partial z}, {\frac {\partial \varpartial \varphi} t$ 여기도 같은 것을 쓰지만to을 사용해서 모든 공간 도함수를 벡터라고 줄여서 씁니다.

인용문

^ 랄프 에이브러햄과 제롤드 E.Marsden, (1967년) "역학의 기초"
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f David Bleecker, (1981) "게이지 이론과 변이 원리" 애디슨 웨슬리
^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f 위르겐 요스트, (1995) "리만 기하학과 기하학적 해석", 스프링거
^ Mandl, F.; Shaw, G. (2010). "Lagrangian Field Theory". Quantum Field Theory (2nd ed.). Wiley. p. 25–38. ISBN 978-0-471-49684-7.
^ ^a ^b ^c Zee, Anthony (2013). Einstein gravity in a nutshell. Princeton: Princeton University Press. pp. 344–390. ISBN 9780691145587.
^ Cahill, Kevin (2013). Physical mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107005211.
^ Jost, Jürgen (2002). "The Ginzburg–Landau Functional". Riemannian Geometry and Geometric Analysis (Third ed.). Springer-Verlag. pp. 373–381. ISBN 3-540-42627-2.
^ Itzykson-Zuber, 예3-152
^ 클로드 이틱슨과 장 베르나르 주버, (1980년) "양자장이론"

[4] 라그랑주 밀도의 모든 도함수와 좌표를 다음과 같이 생략하는 것은 표기법의 표준 남용이다. $({displaystyle {L}}(varphi,\partial _{\mu}\varphi,x_{\mu})})$ 사방팔방을 보다 $μ$ 는 값 0(시간 좌표의 경우)과 1, 2, 3(공간 좌표의 경우)을 취하는 지수이므로 정확히 하나의 도함수 또는 좌표만 존재합니다.일반적으로 모든 공간 및 시간 도함수는 라그랑지안 밀도로 나타납니다. 예를 들어 데카르트 좌표에서 라그랑지안 밀도는 완전한 형태를 갖습니다. ${L}\left(\varphi), {\frac {\partial \varphi}{\partial y}, {\frac {\partial z}, {\frac {\partial \varphi}{\partial z}, {\frac {\partial \varpartial \varphi} t$ 여기도 같은 것을 쓰지만to을 사용해서 모든 공간 도함수를 벡터라고 줄여서 씁니다.

[1] 랄프 에이브러햄과 제롤드 E.Marsden, (1967년) "역학의 기초"

[Bleecker-2] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f David Bleecker, (1981) "게이지 이론과 변이 원리" 애디슨 웨슬리

[jost-3] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f 위르겐 요스트, (1995) "리만 기하학과 기하학적 해석", 스프링거

[Mandl-5] Mandl, F.; Shaw, G. (2010). "Lagrangian Field Theory". Quantum Field Theory (2nd ed.). Wiley. p. 25–38. ISBN 978-0-471-49684-7.

[zee-6] Zee, Anthony (2013). Einstein gravity in a nutshell. Princeton: Princeton University Press. pp. 344–390. ISBN 9780691145587.

[7] Cahill, Kevin (2013). Physical mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781107005211.

[8] Jost, Jürgen (2002). "The Ginzburg–Landau Functional". Riemannian Geometry and Geometric Analysis (Third ed.). Springer-Verlag. pp. 373–381. ISBN 3-540-42627-2.

[9] Itzykson-Zuber, 예3-152

[10] 클로드 이틱슨과 장 베르나르 주버, (1980년) "양자장이론"

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