역함수 정리

수학, 특히 미분적분학에서 역함수 정리는 어떤 함수가 그 영역의 한 점의 근방에서 반전될 수 있는 충분한 조건을 준다. 즉, 그 점에서 그 파생상품은 연속적이고 0이 아니라는 것이다.또한 정리는 역함수의 파생에 대한 공식을 제공한다.다변량 미적분학에서, 이 정리는 그 영역의 한 지점에서 자코비안 결정요소가 0이 아닌 모든 연속적으로 다른 벡터 값 함수로 일반화할 수 있으며, 역행의 자코비안 행렬에 대한 공식을 제공한다.복잡한 홀로모픽함수, 다지관들 간의 차별화 가능한 지도, 바나흐 공간들 간의 차별화함수 등에 대한 역함수 정리 버전도 있다.null

성명서

단일 변수의 함수에 대해, 정리에서는 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 지점 a에서 0이 아닌 파생상품과 함께 연속적으로 다른 $함수$인 경우,$$f {\$displaystyle f}$은(${\displaystyle 가}$) a의 근방에서 변위할 수 없고$$, 역함수의 파생상품은 $b{\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$)라고 기술하고 있다.${\displaystyle b=f(a)}$은(는) ${\displaystyle a}$에서 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 파생상품의 역수 값이다$.$

${\displaystyle {\bigl (}f^{-1}{\bigr )}'(b)={\frac {1}{f'(a)}}={\frac {1}{f^{-1}(b)}}}}}.}$

대체 $버전$은$$f {\$displaystyle$ f$}$이(가) 연속적이고 a 근처에 주입되며 0이 아닌 파생상품으로 a에 따라 다를 수 있다고 가정하며 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$이(가) a 근처에는 반전될$$ 수 없으며, 이와 유사하게 연속적이고 주입되는 역이며, 상기 공식도 적용된다.null

유의사항으로서, $만약{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$이(가) k ${\displaystyle k}$ -th의$$ 차이점이고, 점 a에 0이 아닌 파생상품이 $있다면{\displaystyle }$, f$${\$displaystyle f}$은(가) a의 근방에서 되돌릴 수 없고, 역도 $k{\displaystyle }$ ${\displaysty k}$ -th$$ 차이점이 있다는 것을 명확하게 알 수 있다.여기서 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$은(는) 양의 정수 또는 $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \infit }$이다$.$

둘 이상의 변수의 함수에 대해, 정리는 ${\displaystyle {}^{}}$가 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ n ${\$의 열린 집합에서 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$n$까지 연속적으로 다른 함수인 경우, 총 파생상품은 p 지점(즉, p에서 F의 Jacobian 결정인자는 th-zero)에서 반전될 수 없다고 명시한다.en F is invertible near p: an inverse function to F is defined on some neighborhood of ${\displaystyle q=F(p)}$. Writing ${\displaystyle F=(F_{1},\ldots ,F_{n})}$, this means that the system of n equations ${\displaystyle y_{i}=$$F_{i}(x_{1},\dots,x_{n}})$에는 $각각{\displaystyle {}_{}}$ p와 q의 작은 동네로 x와 y를 제한한다는 전제하에$$ $x{\displaystyle {}_{}}$1,${\displaystyle {}_{}\dots ,}$${\displaystyle {}_{}}$, x, ${\displaystyle n_{}}$ ${\$${1},\$$dots,y_{n}}},$ x와 y를 y의 고유한 솔루션이 있다$$$.$무한치수의 경우, 정리에는 F at p의 프렛셰트 파생상품이 경계 역행성을 갖는다는 추가 가설이 필요하다.null

마지막으로, 정리는 역함수 ${\displaystyle {\mathrm{F}}^{}}$- 1 ${\$이 ${\displaystyle \mathrm{지속적}}$으로 다를 수 있으며$$, $q{\displaystyle }$= F${\displaystyle }$(p ){\$displaystyle q=F(p)}의$Jacobian의 역행렬이 p:

${\displaystyle J_{F^{F^{-1}(q)=[J_{F}(p)]^{-1}.}$

$정리$의 하드 부분은 ${\displaystyle {\mathrm{F}}^{}}$- 1 ${\$ F$^{-1}$의 존재와 차별성이다$.$ 이것을 가정하면 역파생성 공식은 $F{\displaystyle {}^{}}$ -${\displaystyle 1^{}}$∘ F${\displaystyle }$= ${\displaystyle \text{ID}}$ ${\$ F$={\text{id$ :

${\displaystyle I=J_{F^{F^{-1}\circ F}(p)\\\J_{F^{1}:1}}(F(p)\cdot J_{F}(p)\\J_{F^{1}(q)\cdot J_{F}(p).}$

예

다음에 의해 정의된$$ $\mathb {R}$ \$mathb {R} \$mathb {R} $^{2$}\mathb {R$}$^{2}\!} 벡터 ${\displaystyle {}^{}{\mathrm{}}^{}}$ $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ 2 $displaystyle F:\}$을(를) 고려하십시오.

${\displaystyle F(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}\{e^}\sin y}\end{bmatrix}}}.}$

Jacobian 행렬은 다음과 같다.

${\displaystyle J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\{e^{x}\cos y}\end{bmatrix}}}}}}}}}$

Jacobian 결정요인(Jacobian 결정요인:

${\displaystyle \det J_{F}(x,y)=e^{2x}\cos ^{2}y+e^{2x}\sin ^{2}y=e^{2x}\,\!}$

결정 요인 $e{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle x^{}}$ $displaystyle$ e$^{2x}\!$${}$은(는) 도처에 0이 아니다.따라서 이 정리는 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ $displaystyle \mathb {R}$^{$2}\!}$의 모든 포인트 p에 대해$$F가 뒤집힐 수 없는 동네가 존재함을 보장한다.${\displaystyle \mathrm{이것}}$은 F가 전체 영역에 걸쳐서 불변성을 의미하는 것은 아니다: 이 경우 $F$는 ${\displaystyle \mathrm{주기적}}$이기 때문에 주입조차 되지 않는다: F${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= F${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$) ${\$ $)\backslash \}.$

카운터-예시

파생상품이 연속적이라는 가정을 없애면 그 기능은 더 이상 되돌릴 수 없다.For example ${\displaystyle f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})}$ and ${\displaystyle f(0)=0}$ has discontinuous derivative ${\displaystyle f'\!(x)=1-2\cos({\tfrac {1}{x}})+4x\sin({\tfrac {1}{x}})}$ and ${\displaystyle f^{}}$${\displaystyle {\prime }^{}}$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f'\!(0)=1$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$= 0 ${\displaystyle$ x$=0}$에 임의로 근접하여 사라진다$.$이러한 임계 지점은 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f$의 로컬 최대/min 지점이기 때문에 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은 $x{\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle x=0}$을(를) 포함하는 간격에 대해 일대일(그리고 변환할 수 없음)이$$ 아니다$.$ 직관적으로 경사 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$(${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= 1 ${\displaystylease f'\$points$=1}$은 경사가 지배하는 인근 지점으로 전파되지 않는다$$.약하지만 빠른 진동으로 움직인다.null

증명 방법

중요한 결과로서 역함수 정리에는 수많은 증거가 주어졌다.교과서에서 가장 흔히 볼 수 있는 증거는 바나흐 고정점 정리라고도 알려진 수축 매핑 원리에 의존한다(일반적인 미분방정식에 대한 존재의 증명과 해법의 고유성의 핵심 단계로 사용될 수도 있다).^[1][2]null

고정점 정리가 무한 차원(Banach space) 설정에 적용되기 때문에, 이 증명서는 역함수 정리의^[3] 무한 차원 버전에 즉시 일반화된다(아래 일반화 참조).null

유한 치수 대체 증명은 콤팩트 세트의 기능에 대한 극값 정리에 달려 있다.^[4]null

그러나 또 다른 증거는 뉴턴의 방법을 사용한다. 뉴턴은 효과적인 버전의 정리를 제공할 수 있는 이점이 있다: 함수의 파생에 대한 한계는 함수가 되돌릴 수 없는 이웃의 크기에 대한 추정을 의미한다.^[5]null

역함수 정리 증명

그 역 함수 정리 국가는 개방적인 집합 U{U\displaystyle}에 만약 f{\displaystyle f}은 C1vector-valued 기능, 그때 det f′(를)≠ 0{\displaystyle\det f^{\prime}(를)\neq 0}일 경우 만일이 C1vector-valued 기능 g{\displaystyle g}b근처에 정의된)f(를)은{\displaystyle. b=$g{\displaystyle (x}$)가$$ 있는 $f(a)}$ =$$ {\$displaystyle g(f(x$)=x$$$}$ = {\$displaystyle a}$ 및$$ $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle g)(}$ y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= $b{\displaystyle }$ ${\displaystyle b}$ 근처에$$ ${\displaystyle \mathrm{있는}}$ f(a)} = y ${\displaystystyle f(g)(y)=y$$\}.$이것은 피카르와 구르사트에 의해 반복적인 계획을 이용하여 처음 확립되었다: 기본적인 생각은 수축 매핑 정리를 이용하여 고정된 점 정리를 증명하는 것이다.파생상품을 취하면 $g{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$( ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$( g (${\displaystyle y}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ g$^{\prime }(y)=f^{}\prime }(g)(y)^{-1}$를 따른다$.$

체인 규칙은 ${\displaystyle \mathrm{행렬}}$ $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$(${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ f$^{\premy }(a)}$과 $g{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}b)}$ ${\displaystyle g^{\premy }(b)$이 각각 invers임을 의미한다$$.$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$과 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$의 연속성은 각각 국소적으로 교차하는 동형체임을 의미한다$$.존재를 증명하기 위해, $f{\displaystyle }$( 0${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ f$(0)=0$$},$ $f{\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$′${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle 0}$) = ${\displaystyle f^{\prime$}($0)=$라고 진술 변환 후 가정할 수 있다.$I$ 이렇게 $하여{\displaystyle }$a =${\displaystyle \mathrm{b}}$ = 0$${\$displaystyle$ a$=b=0$

By the fundamental theorem of calculus if ${\displaystyle u}$ is a C¹ function, ${\textstyle u(1)-u(0)=\int _{0}^{1}u^{\prime }(t)\,dt}$, so that ${\textstyle \ u(1)-u(0)\ \leq \sup _{0\leq t\leq 1}\ u^{\prime }(t)\ }$.${\displaystyle \mathrm{설정}}$ $u{\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle x}$+ t${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$- x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle t}$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle u(t)=f(x+t(x^{\-x))=f($x+t(x^{\-x))-x(x$^{\premium }-x$ 그 뒤를 따른다.

${\displaystyle \f(x^{\premy }-x+x^{\premy }\leq \x^{\premy }\\x\ x-x\x\x\ x-x\x\x\x\x\x\x\x\x\x\x\x\x\xxx\xxxx\x\x\x\x\x\x\xxxxxxxxxxx\x\x\x\xx^x^xx\xx\x^x^ x-x$

너무나‖ f′())− 나는‖에<12{\textstyle)f'())-I\ <,{1\over 2}}‖)‖<>자, 0{\displaystyle \delta>0}, δ{\displaystyle)x\<>\delta}. 예를 들어는 y‖<>δ/2{\displaystyle)y\<>\delta /2}을 정의하고 ‖)n{\displaystyle x_{n}}x. 유도에 의해δ 을 선택하0 돌아선 0{\displaysty$르 x_{0}=0}$ 및 $x$ ${\displaystyle {\mathrm{n}}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n_{}}$+ y${\displaystyle }$- ${\displaystyle f}$ (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+y-f(x_{n})}$.가정들은 , x < ${\displaystyle \\\,\,\,\ x^{\primate }\\\delta$}}}이(가) 있다면, 그 다음은 Δ ${\$displaystyle \,\$delta$ \}이라고 한다.

${\displaystyle \Vert }$ ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$)${\displaystyle }$- ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle {}^{\mathrm{}}}$′ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle x}$ -${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime \mathrm{}}^{}}$ ‖ ${\displaystyle {}^{}}$ / ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \f(x^{\premy }-f(x$^{\premium }-$x^{}-x+x^{}\leq \x-x^{}\/2$}$$.

In particular ${\displaystyle f(x)=f(x^{\prime })}$ implies ${\displaystyle x=x^{\prime }}$. In the inductive scheme ${\displaystyle \ x_{n}\ <\delta }$ and ${\displaystyle \ x_{n+1}-x_{n}\ <\delta /2^{n}}$.따라서${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle (x_{n}}}$은(는) $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에 해당하는 Cauchy 시퀀스 입니다$.$ 필요에$$ 따라 $구성{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$) = ${\displaystyle y}${\$displaystyf(x)=y}.$null

)f− 1{\displaystyle g=f^{)}}은 C1그 g확인하려면 불평등까지도록 f(x+h))f())+k{\displaystyle f(x+h)=f())+k}. 위, ‖ h− k‖<>너무나‖ h‖/2<‖ k‖<>2‖ h‖{,{\displaystyle g(y+k)=x+h}, x+hg(y+k))‖ h‖/2{\displaystyle)h-k\<>)h\ /2}를 쓴다.\displaystyle$\ h\ /2<\ k\ <2\ h\ }$. On the other hand if ${\displaystyle A=f^{\prime }(x)}$, then ${\displaystyle \ A-I\ <1/2}$. Using the geometric series for ${\displaystyle B=I-A}$, it follows that ${\displaystyle \ A^{-1}\ <2}$. But then

${\displaystyle {\ g(y+k)-g(y)-f^{\prime }(g(y))^{-1}k\ \over \ k\ }={\ h-f^{\prime }(x)^{-1}[f(x+h)-f(x)]\ \over \ k\ }\leq 4{\ f(x+h)-f(x)-f^{\prime }(x)h\ \over \ h\ }}$

$k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$과 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle h}$이(가) 0인 경향이$$ 있으므로 $g{\displaystyle }$ ${\displaystyle g}$이(가${\displaystyle )}$ $g{\displaystyle {}^{\mathrm{}}y}$ )${\displaystyle }$= $가)$ = ${\displaystyle {\mathrm{g}}^{}}$ with¹($가)$ = g(y )${\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\$임을 $증명$한다$.$

위의 증거는 유한한 차원 공간에 대해 제시되지만 바나흐 공간에도 동일하게 잘 적용된다.만약 반전 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) > 1{\$displaystyle k>1}$과^k(와 같다면, 역시 그 역함수인 것이다.${\displaystyle 이}$는 지도 $F{\displaystyle }$( A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$를 사용한 유도로 나타난다.연산자의$$ $A^{-1}$는 모든 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$에 대해 C이다^k($$유한 차원에서는 행렬의 역행렬이 결정 인수로 나눈 애드주게이트 행렬로 주어지기 때문에 이는 기본적인 사실이다).^[6][7] 여기서 증명하는 방법은 앙리 카르탄, 장 디유도네, 세르게 랑, 로저 고데먼트, 라르스 회만데르의 책에서 찾을 수 있다.null

일반화

다지관

역함수 정리는 서로 다른 다지관들 사이의 서로 다른 지도의 관점에서 다시 해석될 수 있다.이러한 맥락에서 정리에서는 다른 ${\displaystyle \mathrm{종류}}$의 지도 $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$→ N ${\displaystyle F:$$M\to N}($$클래스{\displaystyle {}^{}}$ C ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$ C$^{1}$의 경우),$$ $F{\displaystyle }${\$displaystyle F}$의 차등인 경우$,$

${\displaystyle dF_{p:T_{p}M\to T_{F(p)}N}$

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 $점{\displaystyle }$ p$${\$displaystyle p}$에 선형 이형성이 있는 경우$$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 열린 근린 $U{\displaystyle }$ ${\\displaystyle$U}이(가) 존재하며 다음과 같은 특징이$$ 있다.

${\displaystyle F _{U:U\to F(U)}$

차이점형이다.이는 p와 F(p)를 포함하는 M과 N의 연결된 구성요소가 이미 dF가_p 이소모르프라는 가정으로부터 직접적으로 암시된 것과 같은 차원을 가지고 있음을 의미한다는 점에 유의한다.만약 F의 파생상품이 M의 모든 지점 p에서 이형성이라면 지도 F는 국부적 차이형성이다.null

바나흐 공간

역함수 정리도 바나흐 공간 X와 Y 사이의 서로 다른 지도로 일반화할 수 있다.^[8]U를 X와 $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle U}$→ Y $[\$$U\to Y\!}$은(는) 지속적으로 다른 함수를 가지며, 0에서 F의 F의 Féchet 파생상품 ${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ $[\$이(가) Y에 대한 X의 경계선 이형성이라고 가정한다.그 다음 $Y$에는${\displaystyle }$F ( ${\displaystyle 0}$) ${\$의 열린 인접지역 V가 존재하며, ${\displaystyle \mathrm{지속적}}$으로 서로 다른 지도 G${\displaystyle }$: V${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\$V$\to X\!}$의 모든 Y에 대해$$ $F{\displaystyle (G}$( ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F(G)(y)=y}$과 같은 경우더욱이 $G{\displaystyle }$( ${\displaystyle y}$) ${\$은(는) $F{\displaystyle }$(${\displaystyle x}$) = ${\displaystyle y}${\$displaystyle F(x)=y\}$ 등식 중 유일하게 충분히 작은 솔루션 x이다$.$

바나흐 다지관

이 두 가지 일반화 방향은 바나흐 다지관의 역함수 정리에서 결합할 수 있다.^[9]null

상수 순위 정리

역함수 정리(그리고 암묵적 함수 정리)는 점 근처에 일정한 순위를 가진 매끄러운 지도를 그 점 근처의 특정한 정상 형태로 넣을 수 있다는 것을 기술하는 상수 순위 정리의 특수한 경우라고 볼 수 있다.^[10]구체적으로 $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle M}$→ N ${\displaystyle F:$$M\to N}$은(는$)$ p$지점$ ${\displaystyle \mathrm{근처}}$에 일정한 순위를 가지며$$$,$ 그 다음 p의$$$U$와 V의 개방된 이웃인 ${\displaystyle F}$의 U와$$F의 V가 있다${\displaystyle (}$p$$ )[\$displaysty F(p)\!}$와 차이점 $u{\displaystyle }$: T ${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle U}$ ${\$$T_{p}M\to U\!}$ $및$ v${\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {F(p}_{}}$) ${\displaystyle {}_{}}$→ V ${\$$F$ (${\displaystyle U}$) ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle V}$ ${\$ V$\!}$ 및$$ ${\displaystyle {\mathrm{파생상품}}_{}}$ d F : ${\displaystyle {}_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle F_{}}$(${\displaystyle {}_{}}$ )${\displaystyle }$N $displaysty dF_{p}:$$T_{p}M\to T_{F(p)}$$N\!}$은(는) $v{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle u}$ ${\$ F$\circle u\!}$과(와) 같다$.$ 즉, F는 p 근처에 있는 그것의 파생상품을 "모양"한다.$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$의 인접 지역에서 순위가 일정하게 유지되는$$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p}의 점$집합은 M의 개방된$$ 밀도 하위 집합이다. 이는 순위 함수의 반비례성의 결과물이다.따라서 일정한 순위 정리는 도메인의 일반 지점에 적용된다.null

F의 파생상품이 p점에서 주입(resp. exjective)된 경우, p의 근방에서 주입(resp. exjective)되기도 하며, 따라서 그 근방에서 F의 등급이 일정하며, 일정한 순위 정리가 적용된다.null

홀로모르픽 함수

만일 홀모픽 함수 $F$가 C ${\displaystyle {}^{}{}^{}}${\$displaystyle \mathb {C}$^{$n}\!}$의 오픈 세트 $U$에서 ${\displaystyle {}^{}}$ n${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle$ \$mathb {C}$^{$n$ 로 정의되고 복합 파생상품의 제이콥 행렬이 p 지점에서 변위할 수 없는 경우 F는 p에 가까운 변위할 수 없는 함수다.이것은 정리의 실제 다변량 버전에서 바로 뒤따른다.또한 역함수가 다시 홀모픽임을 보여줄 수 있다.^[11]null

다항함수

만약 그것이 사실이라면, 제이콥의 추측은 다항식의 역함수 정리의 변형일 것이다.벡터 값 다항함수가 반전성 다항식(비영(0) 상수)인 자코비안 결정인자를 가지고 있다면, 그 역시 다항식 함수인 역수를 갖는다고 기술하고 있다.두 변수의 경우에도 이것이 사실인지 거짓인지는 알 수 없다.이것은 다항식 이론의 주요한 개방적인 문제다.null

선택 사항

When ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ with ${\displaystyle m\leq n}$, ${\displaystyle f}$ is ${\displaystyle k}$ times continuously differentiable, and the Jacobian ${\displaystyle A=\nabla f({\overline {x}})}$ at a point ${\di$$splaystyle {\overline{x}}$은(는) 순위 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$이며$,$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 역은 고유하지 않을$$ 수 있다.However, there exists a local selection function ${\displaystyle s}$ such that ${\displaystyle f(s(y))=y}$ for all ${\displaystyle y}$ in a neighborhood of ${\displaystyle {\overline {y}}=f({\overline {x}})}$, ${\displaystyle s({\overline {y}})={\ove$$rline{x$ $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$은(는) $이{\displaystyle }$ 근방에서$지속적$으로 k {\$displaystyle$k}배$$$$ 차이가 있으며, $\nabla {\displaystyle \mathrm{}s}$(${\displaystyle y\stackrel{}{}}$y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle T^{}}$(${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{}{}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ s$({\overline$ {$y})=$$A^{T}(AA^{T})^{-1}$ $$(${\displaystyle \mathrm{}}$(s (${\displaystyle y\stackrel{\text{'}\text{'}}{}}$s$){\displaystyle \nabla$ s$({\overline {y})}$는 $A{\displaystyle }$ ${\displaysty A}$의 무어-펜로즈 유사성역이다.$$^[12]null

참고 항목

• 바나흐 고정점 정리
• 암묵적 함수 정리
• 나시-모저 정리

메모들

참조

• Allendoerfer, Carl B. (1974). "Theorems about Differentiable Functions". Calculus of Several Variables and Differentiable Manifolds. New York: Macmillan. pp. 54–88. ISBN 0-02-301840-2.
• Baxandall, Peter; Liebeck, Hans (1986). "The Inverse Function Theorem". Vector Calculus. New York: Oxford University Press. pp. 214–225. ISBN 0-19-859652-9.
• Nijenhuis, Albert (1974). "Strong derivatives and inverse mappings". Amer. Math. Monthly. 81 (9): 969–980. doi:10.2307/2319298. hdl:10338.dmlcz/102482.
• Protter, Murray H.; Morrey, Charles B., Jr. (1985). "Transformations and Jacobians". Intermediate Calculus (Second ed.). New York: Springer. pp. 412–420. ISBN 0-387-96058-9.
• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). An Introduction to Partial Differential Equations. Texts in Applied Mathematics 13 (Second ed.). New York: Springer-Verlag. pp. 337–338. ISBN 0-387-00444-0.
• Rudin, Walter (1976). Principles of mathematical analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics (Third ed.). New York: McGraw-Hill Book. pp. 221–223.