보 및 워밍업 방식

수치 수학에서, Richard M에 의해 1978년에 소개된 Beam and Warming 체계 또는 Beam-Warming 암묵적 체계.빔과 R. F. 워밍업(Beam and R. F. Warming)^[1][2]은 2차 순서의 정확한 암묵적 체계로 주로 비선형 쌍곡 방정식을 푸는 데 사용된다.요즘은 많이 쓰이지 않는다.

소개

이 계획은 공간적으로 고려되고 반복되지 않는 ADI 체계로, 시간 통합을 수행하기 위해 암시적인 오일러를 사용한다.알고리즘은 델타 형태로, 테일러 시리즈 구현을 통해 선형화된다.따라서 보존 변수의 증분으로 관찰된다.이 경우 공간 교차 파생상품을 명시적으로 평가하여 효율적인 인수 알고리즘을 얻는다.이를 통해 이 연산 알고리즘을 사용하여 체계와 효율적인 솔루션을 직접 도출할 수 있다.효율성은 비록 3시간 레벨의 체계지만 데이터 스토리지의 2시간 레벨만 필요로 하기 때문이다.이것은 무조건적인 안정을 초래한다.중심이며 수치 안정성을 보장하기 위해 인공 방산 사업자가 필요하다.^[1]

생성된 방정식의 델타 형태는 시간 단계의 크기와 무관하게 (존재하는 경우) 안정성의 유리한 속성을 갖는다.^[3]

방법

비논리 버거의 방정식을 하나의 차원으로 고려

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}=-u{\frac {\partial u}{\partial x}}\quad {\text{}x\in R}$

버거의 보존 형태 방정식은

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}=-{\partial e}{\partial x}}}$

여기서 : ${\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{{}^{}}{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle \frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}$ ${\$

테일러 시리즈 확장

확장 : ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\$}

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+{\frac{1}{1}{1}:{2}}\왼쪽[\왼쪽]{\frac {\frac u}{\flict t}\오른쪽 _{i}^{n}+\왼쪽.{\frac {\partial u}{\partial t}\right_{i}^{n+1}\right]\,\Delta t+O(\Delta t^{3})}$

이것은 사다리꼴 공식으로도 알려져 있다.

${\displaystyle \therefore {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}}{\delta t}=-{\fract {1}{1}{2}}\왼쪽(\왼쪽){\frac {\partial e}{\partial x}\오른쪽 _{i}^{n+1}+\왼쪽.{\frac {\partial e}{\partial x}}\오른쪽 _{i}^{n}+{\frac {\partial x}}{\partial x}}}\왼쪽[A(u_{i}^{n+1}-u_{n}^{n}^{n}\오른쪽]}$

${\frac {\partial u}{\partial t}=-{\partial e}{\partial x}}에 따라 \partial style \}$

참고로 이 방정식의 경우

${\displaystyle A={\frac {\partial E}{\partial u}=u}$

3각형계

결과 3각형 시스템:

${\displaystyle {\begin{aligned}&-{\frac {\Delta t}{4\,\Delta x}}\left(A_{i-1}^{n}u_{i-1}^{n+1}\right)+u_{i}^{n+1}+{\frac {\Delta t}{4\,\Delta x}}\left(A_{i+1}^{n}u_{i+1}^{n+1}\right)\\[6pt]={}&u_{i}^{n}-{\frac {1}{2}}{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\left(E_{i+1}^{n}-E_{i-1}^{n}\right)+{\frac {\Delta t}{4\,\Delta x}}\left(A_{i+1}^{n}u_{i+1}^{n}-A_{i-1}^{n}u_{i-1}^{n}\right)\end{aligned}}}$

이러한 선형 방정식의 결과 시스템은 토마스 알고리즘이라고도 알려진 수정된 3지각 행렬 알고리즘을 사용하여 해결할 수 있다.^[4]

소산항

충격파 조건에서는 이와 같은 비선형 쌍곡선 방정식에 대해 소산 항이 필요하다.이것은 용액을 통제하고 용액의 정합성을 유지하기 위해 행해진다.

${\displaystyle D=-\varepsilon _{e}(u_{i+2}^{n}-4u_{i+1}^{n}+6u_{i}^{n}-4u_{n1}^{n}+u_{i-2}^{n}}}}}}}}$

이 용어는 우측 레벨$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$에서 명시적으로 추가된다.이것은 항상 고주파 진동이 관찰되고 억제되어야 하는 성공적인 연산에 사용된다.

평활항

안정적인 용액만 필요한 경우에는 우측 방정식에서 2차 평활 용어가 암묵적 층에 추가된다.동일방정식의 다른 항은 2차방정식일 수 있는데, 이는 안정적 용액에 영향을 미치지 않기 때문이다.

${\displaystyle \nabla ^{n}(U)=0}$

평활화 항을 추가하면 필요한 단계 수가 3개 증가한다.

특성.

이 계획은 사다리꼴 공식, 선형화, 인수화, Padt 공간 차이점화, 플럭스 벡터(해당되는 경우)의 동질적 특성, 하이브리드 공간 차이점을 조합하여 생산되며 보존법 형태의 비선형 시스템에 가장 적합하다.ADI 알고리즘은 방정식 시스템의 대역폭을 줄이면서 정확도와 정상 상태 속성을 유지한다.^[5]방정식의 안정성은

${\displaystyle L^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ -CFL에서 안정화$$ : ${\displaystyle \Delta \mathrm{}}$ t${\displaystyle \mathrm{t}}$ 2 ${\displaystyle \Delta \mathrm{}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$a$\,\Delta t\leq$ 2$\,\Delta x}$

잘라내기 오류의 순서는

${\displaystyle O((\Delta t)^{2}+(\Delta x)^{2}}$

상당한 오버슈트(시간과 함께 크게 성장하지 않는)로 결과는 매끄럽다.

참조