백워드 오일러법

수치해석 및 과학적 계산에서, 후진 오일러법(또는 암묵적 오일러법)은 일반 미분방정식의 해법에 있어 가장 기본적인 숫자법 중 하나이다.(표준) 오일러 방법과 유사하지만 암묵적인 방법이라는 점에서 차이가 있다.후진 오일러 방식에는 제시간에 1순서의 오차가 있다.

설명

일반적인 미분 방정식을 고려하십시오.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d}y}{\mathrm {d} t}=f(t,y)}$

$초기{\displaystyle }$ 값 y${\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$. ${\displaystyle$ y$(t_{0}=y_{0}.}$ 여기서$$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ f$}$와 초기$$ 데이터 t ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $t_$${0}$ 및 $y$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaysty$ y$}$은 실제 $변수{\displaystyle }$ t$}$에 따라$$ 달라지며$$, $un$.알려진. 숫자 방법은 y ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$2 ${\displaystyle \dots }$ ${\displaystyle {시퀀스\mathrm{}}_{}}$ $y_{0},y_{1$},y_{$1},y_{2},\ldots }$을(를$)$ ${\displaystyle {생성}_{}}$하여$$${\displaystyle {}_{}}$ k {\$displaysty$ y_${$${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle h}$)$${\$displaysty y(t_{0}+kh$에 근접하게 하며 $여기$서 h} ${\displaystepage$ h$}$을 호출한다$$.

후방 오일러 방법은 다음을 사용하여 근사치를 계산한다.

${\displaystyle y_{k+1}=y_{k}+hf(t_{k+1},y_{k+1}).}$ ^[1]

$이$는 전진 방법이 f${\displaystyle (}$t ${\displaystyle {k,}_{}}$ y ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle {\mathrm{대신<img\; alt="f(t\_\{k\},y\_\{k\})"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/01709bbbbeb30155eaa4c2fff4b216df7a4182e9"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:8.278ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="51">}}_{}}$ $f{\displaystyle (}$${\displaystyle {}_{}}$ k , y ${\displaystyle k_{}}$ )$${\$displaystyle f(t_$${\displaystyle {}_{}}$$k},$ ${\displaystyle {}_{\mathrm{k}}}$$$+ 1 ) ${\displaystyle$ f($t_{k+1},y_{k+1})$를 사용한다는 점에서 (앞쪽) 오일러 방식과 다르다$.$

후진 오일러 방법은 암묵적 방법으로, 새로운 근사 y ${\displaystyle {\mathrm{k}}_{}}$+ 1 ${\$가 방정식의 양쪽에 나타나므로$$, 이 방법은 미지의 $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$에 대한 대수 방정식을 풀어야 한다$.$긴장하지 않는 문제의 경우 고정 지점 반복을 통해 다음과 같이 수행할 수 있다.

${\displaystyle y_{k+1}^{[0]}=y_{k}},\display y_{k+1}^{{k+1}{k+1}^{{k+1}{i]}{{k+1}}^{\displaysty y_}.}$

이 시퀀스가 (주어진 공차 내에서) 수렴되면, 방법은 새로운 $근사치{\displaystyle {}_{}}$ y ${\displaystyle k_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$로 한도를 취한다$.$^[2]

또는 뉴턴-래프슨 방법을 사용하여 대수 방정식을 풀 수 있다(일부 수정).

파생

t ${\displaystyle n_{}}$ ${\$에서$$${\displaystyle t_{}}$ + 1 = ${\displaystyle t_{}}$ {n+h$}$까지의 차등 ${\displaystyle \frac{방정식}{}}$ d${\displaystyle \frac{}{}}$y =${\displaystyle f}$(${\displaystyle t),}$ f(${\displaystyle t}$){$n}{\$frac ${\mathrm {d}$ y$}{d} t}=f(t,y)}$을(를) 통합하면 t${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$= t${\displaystyle {}_{}}$+ t = t = {$n+h$ = ${$n+1$}=t$}t$}}-{n}-h$가 산출된다$.$

${\displaystyle y(t_{n+1})-y(t_{n})=\int _{t_{n}^{n+1}f(t,y(t)\,\mathrm {d} t.}$

이제 오른쪽 직사각형 방법(한 개의 직사각형):

${\displaystyle y(t_{n+1})-y(t_{n})\대략 hf(t_{n+1},y(t_{n+1}).}$

마지막으로 $y{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$을(를) $대략적$인 y ($$t$$${\displaystyle {}_{}}$) {\$displaystyle y(t_{n})$로 하고 후진 오일러 방법 공식은 다음과 같다.^[3]

같은 추리는 오른손 대신 왼손 직사각형 규칙을 사용하면 (표준) 오일러 방식으로 이어진다.

분석

후진 오일러 방식에는 순서 1이 있다.즉, 로컬 잘라내기 오류(한 단계에서 발생한 오류로 정의됨)가 큰 O 표기법을 사용하여$$$O{\displaystyle }$( ${\displaystyle h}$) ${\displaystyle$ O$(h)}$임을 의미한다.특정 시간 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle t}$의 오류는 ${\displaystyle O}$( h${\displaystyle }$) ${\displaystyle O(h)}$ 입니다$.$

후진 오일러 방법에 대한 절대 안정성의 영역은 그림에 나타낸 것과 같이 반지름 1이 1을 중심으로 한 디스크의 복잡한 평면에 있는 보완물이다.^[4]여기에는 복합면의 왼쪽 반쪽 전체가 포함되어 있어 뻣뻣한 방정식의 해법에 적합하다.^[5]실제로 후진 오일러 방식은 L-안정화까지 가능하다.

백워드 오일러법에 의한 이산형 안정계통의 영역은 z-평면의 (0.5, 0)에 위치한 반지름 0.5의 원이다.^[6]

확장 및 수정

후진 오일러 방법은 (전진) 오일러 방식의 변형이다.다른 변형으로는 반임시 오일러 방식과 지수 오일러 방식이 있다.

백워드 오일러 방법은 푸줏대감 테이블라우에서 설명한 한 단계의 런지-쿠타 방식으로 볼 수 있다.

${\displaystyle {\put{array}{c}c}1&1\\hline &1\\\end{array}}$

후진 오일러 방식은 한 단계씩의 선형 다단계 방법으로도 볼 수 있다.애덤스-몰튼 방법의 첫 번째 방법이며, 역분화 공식의 첫 번째 방법이기도 하다.

참고 항목

• 크랭크-니콜슨법

메모들

참조

• Butcher, John C. (2003), Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-96758-3.