번스타인 다항식

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수치해석의 수학적 분야에서 번스타인 다항식은 번스타인 기초 다항식의 선형 결합인 다항식이다.이 아이디어의 이름은 세르게이 나타노비치 번스타인의 이름을 따서 지어졌다.

번스타인 형태로 다항식을 평가하는 수적으로 안정된 방법은 드 카스텔자의 알고리즘이다.

번스타인 형태의 다항식들은 처음에 베이어스트라스 근사 정리를 위한 건설적인 증거에서 번스타인에 의해 사용되었다.컴퓨터 그래픽의 출현과 함께 [0, 1] 주기로 제한된 번스타인 다항식들은 베지에 곡선 형태로 중요해졌다.

정의

n +1 번스타인의 기초 다항식 n은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle b_{\nu,n}(x)={\binom {n}{\nu}}}\nu 왼쪽(1-x\오른쪽)^{n-\nu},\nu =0,\ldots,n,}$

여기서${\displaystyle }$(${\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{\nu }{}}$) ${\$은(는) 이항 계수다.

따라서 예를 $들어{\displaystyle {}_{}}$ b${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{5}_{}}$ (${\displaystyle x}$) =${\displaystyle }$( ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{5}{}2\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{}}{}}$ ) ${\displaystyle x{}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle 1}$ -${\displaystyle {}^{}x}$ )${\displaystyle {}^{}{3\mathrm{}}^{}}$ = ${\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle {}^{}{2\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle 1}$ - x${\displaystyle {}^{}}$) 3. ${\displaystyle b_{2$,5$}(x)={\tbinom${5$}{2$}}x^{$2}(1-x)^{3}=10x^{2}(1-x)^{3}}}.$

1, 2, 3, 4개의 값을 함께 혼합하기 위한 처음 몇 개의 번스타인 기준 다항식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-x,&b_{1,1}(x)&=x\\b_{0,2}(x)&=(1-x)^{2},&b_{1,2}(x)&=2x(1-x),&b_{2,2}(x)&=x^{2}\\b_{0,3}(x)&=(1-x)^{3},&b_{1,3}(x)&=3x(1-x)^{2},&b_{2,3}(x)&=3x^{2}(1-x),&b_{3,3}(x)&=x^{3}\end{aligned}}}$

번스타인의 기준 n 도 다항식은 실제 계수를 가진 최대 n 도 다항식의 벡터$$ 공간 ${\displaystyle {spacen}_{}}$ ${\$의 기초를 형성한다.번스타인 기반 다항식의 선형 조합

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}\베타 _{\nu }b_{\nu,n(x)}$

번스타인의 도 n의 형태로 번스타인 다항식 또는 다항식이라고 불린다.^[1]계수 $\beta {\displaystyle {}_{}}$ ${\$을(를) 번스타인 계수 또는 베지에 계수라고 한다$$.

위에서 단항 형태로 처음 몇 개의 번스타인 기초 다항식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-1x,&b_{1,1}(x)&=0+1x\\b_{0,2}(x)&=1-2x+1x^{2},&b_{1,2}(x)&=0+2x-2x^{2},&b_{2,2}(x)&=0+0x+1x^{2}\\b_{0,3}(x)&=1-3x+3x^{2}-x^{3},&b_{1,3}(x)&=0+3x-6x^{2}+3x^{3},&b_{2,3}(x)&=0+0x+3x^{2}-3x^{3},&b_{3,3}(x)&=0+0x+0x^{2}+1x^{3}}\end{정렬}}}$

특성.

번스타인 기초 다항식에는 다음과 같은 특성이 있다.

• ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle {\nu }_{}}$, ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)=0}$인 경우$$ < {\$displaystyle \nu$ <$0}$ 또는 > {\$displaystyle \nu >n.$$}$

• ${\displaystyle b_{}}$${\displaystyle }$${\displaystyle {\nu ,}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle b_{\nu,n}(x)\geq 0}$ $x{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle \text{1}\mathrm{}}$ ${\displaystyle ]}$. ${\displaystyle$ x$\in [0,\$ 1$]$의 경우$$$}$

• ${\displaystyle b_{\nu,n}\좌측(1-x\우측)=b_{n-\nu,n}(x).}$

• ${\displaystyle b_{\nu ,n}(0)=\delta _{\nu ,0}}$ and ${\displaystyle b_{\nu ,n}(1)=\delta _{\nu ,n}}$ where ${\displaystyle \delta }$ is the Kronecker delta function: ${\displaystyle \delta _{ij}=$${\cHB{case}0&{\text}{{{{{\text{}}}i\neq j,\\1&{\text{}i=j.$$\end{case}}}$

• ${\displaystyle b_{}}$ $\nu {\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}}$, n${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x_{}}$) ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)$는 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle$ x$=0}$에 다중성 $icity{\displaystyle }$ ${\displaystyle \nu }$을(참고: root${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystystyle \nu$= $0}$ , 0$)$을 가진 루트가 없다.

• ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle {\nu }_{}}$, ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)}$은${\displaystyle (}$는)$$x = 1 {\$displaystyle x=1}$ 지점에 $다중성(n$ -$$)이$$있는 루트가 있음$$$($$$$참고$: $\nu {\displaystyle }$= ${\displaystyle n}$ ${\displaysty \nu =n$ 1에 루트가 없음).

• 파생상품은 낮은 수준의 두 다항식의 조합으로 작성할 수 있다.

  ${\displaystyle b'_{\nu,n}(x)=n\left(b_{\nu -1,n-1}(x)-b_{\nu,n-1(x)\right).}$

• k:th 파생상품 0:

${\displaystyle b_{\nu,n}^{(k)}(0)={\frac {n!}{(n-k)!}}{\binom{k}{\nu }}}}-{-1)^{\nu +k}}$

• k:th 파생상품은 1:

${\displaystyle b_{\nu,n}^{(k)}(1)=(-1)^{k_{n-\nu,n}^{(k)}(0)}$

• 번스타인의 다항식을 단항식으로 변환하는 것은

  ${\displaystyle b_{\nu ,n}(x)={\binom {n}{\nu }}\sum _{k=0}^{n-\nu }{\binom {n-\nu }{k}}(-1)^{n-\nu -k}x^{\nu +k}=\sum _{\ell =\nu }^{n}{\binom {n}{\ell }}{\binom {\ell }{\nu }}(-1)^{\ell -\nu }x^{\ell },}$

역이항 변환에 의해 역이항 변환은^[2]

${\displaystyle x^{k}=\sum _{i=0}^{n-k}{\binom {n-k}{i}}{\frac {1}{\binom {n}{i}}}b_{n-i,n}(x)={\frac {1}{\binom {n}{k}}}\sum _{j=k}^{n}{\binom {j}{k}}b_{j,n}(x).}$

• 무기한 적분은 다음과 같다.

  ${\displaystyle \int b_{\nu ,n}dx={\frac {1}{n+1}}\sum _{j=\nu +1}^{n+1}b_{j,n+1}(x)}$

• 정해진 적분은 주어진 n에 대해 일정하다.

  ${\displaystyle \int_{0}^{1}b_{\nu,n}(x)dx={\frac {1}{n+1}}\property \{\text}\{{}\no = 0,1,\n.}$

• $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n\neq$ 0$\}$인 경우, $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\nu }_{}}$, ${\displaystyle n{}_{}}$(${\displaystyle }$x )$$${\displaystyle$ $b_$${\$$nu$$,n$$}(x)$는 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle \frac{\mathrm{\nu n}}{}}$ ${\$$$x$={\frac {\nu }}$의 간격에${\displaystyle }$대해 고유한 로컬 최대값을 갖는다$$$.$이 최대값은 값을 사용한다.

  ${\displaystyle \nu ^{\n^{-n}\left(n-\nu \right)^{n-\nu }{n \n \n \nu 선택 \nu }$

• $정도{\displaystyle }$ n {\$displaystyle n}$의 번스타인 기본 다항식은 통합의 분할을 형성한다$$.

  ${\displaystyle \sum_{\nu =0}^{nb_{\b_{\nu}(x)=\sum_{\nu =0}^{nn \nu 선택 \x^{}x^{nu }}\nu 선택 \n-\nu }={n+\좌우측(x\우측)=1x\우측)^{n}=1.}$

• $($$x{\displaystyle }$${\displaystyle }$ + y$$)${\displaystyle n}$ {\${\displaystyle {displaystyle}^{}}$ (x$$+y$)^{n}$의 첫 번째 x {\$displaystyle y}$을(를$)$상수로$$ 처리한 다음 $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaysty y=1-x}$ 값을 대체하여 보여 줄 수 있다$.$

  ${\displaystyle \sum _{\nu =0}^{n}\nu b_{\nu,n}(x)=nx.}$

• $마찬가지$로${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle y{}^{}}$)${\displaystyle n^{}}$ ${\$의 두 번째 $x{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle y}$과$($와) y${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle y=1-x}$을(를) 함께 사용한$$ 후 $다음$이 표시됨

  ${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}\nu(\nu -1)b_{\nu,nu}=n(n-1)x^{2}.}$

• 번스타인 다항식은 항상 더 높은 수준의 다항식의 선형 조합으로 쓸 수 있다.

  ${\displaystyle b_{\nu,n-1(x)={\frac {n-\nu }{n}b_{\nu,nu}+{\frac {\nu +1}{n}b_{\nu +1,n}(x)={n}b_{\nu +1,n}.}$

• 제1종류의 체비셰프 폴리노미알이 번스타인의 기초로 확장된 것은^[3],

  ${\displaystyle T_{n}(u)=(2n-1)!!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{n-k-1}{n-k-1}{{n-k-1)!!(2n-2k-1)!!}}}b_{k,n}(u).}$

근사 연속 함수

【0, 1】 주기로 연속함수가 되게 한다.번스타인 다항식 고려

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\왼쪽({\frac {}{n}\nu }\right)b_{\nu,n}(x)}$

라는 것을 알 수 있다.

${\displaystyle \lim _{n\to \infit }{B_{n}(f)=f}$

균일하게 [0, 1]^[4][1][5][6] 간격으로

따라서 번스타인 다항식은 실제 간격[a, b]의 모든 실제 값진 연속함수를 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 걸쳐 다항함수로 균일하게 근사치를 계산할 수 있다는 Weierstrass 근사치 정리를 증명하는 한 가지 방법을 제공한다$.$^[7]

연속 k^th 파생상품이 있는 함수에 대한 보다 일반적인 설명은 다음과 같다.

${\displaystyle {\left\ B_{n}(f)^{(k)}\right\ }_{\infty }\leq {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}\left\ f^{(k)}\right\ _{\infty }\quad \ {\text{and}}\quad \ \left\ f^{(k)}-B_{n}(f)^{(k)}\right\ _{\infty }\to 0,}$

추가적으로

${\displaystyle {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}=\좌측(1-{\frac {0}{n}\우측)\좌측(1-{\frac {1}{n}\cdots \좌측)$

B의_n 고유값이며, 해당 고유함수는 도 k의 다항식이다.

확률론적 증거

이 증거는 번스타인의 1912년 원본 증명서를 따른다.^[8]Feller(1966) 또는 Koralov & Sinai(2007)도 참조하십시오.^[9][10]

K가 각 시험의 성공 확률 x를 가진 n개의 독립 베르누이 시험의 성공 횟수로 분포하는 랜덤 변수라고 가정하자. 즉, K는 변수 n과 x를 가진 이항 분포를 가지고 있다.그러면 ${\displaystyle \mathrm{기대값}}$ $E{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle }$[ ${\displaystyle K\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{n}{}}$ ${\displaystyle ]}$= x ${\$이(가) 있고

${\displaystyle p(K)={n \선택 K}x^{K}\왼쪽(1-x\오른쪽)^{n-K}=b_n,n(x)}$

많은 확률 이론의 약한 법칙에 의해

${\displaystyle \lim_{n\to \flt }{P\left(\frac {K}{n}-x\right >\delta \right)=0}$

Δ > 0마다. 더구나 이 관계는 x로 균일하게 유지되는데, 이는 체비셰프의 불평등을 통해 그 증거에서 볼 수 있으며, 이는 의 분산이 고려되어 있다. ½nk(1-x)는 x에 관계 없이 ½nx(4n)씩 위로부터 경계한다.

ƒ은 폐쇄된 경계 간격으로 연속되어야 하며, 그 간격에 대해 균일하게 연속되어야 하기 때문에, 형식에 대한 진술이 주입된다.

${\displaystyle \lim_{n\to \ft}{P\left(\왼쪽)(\f\flac {K}{n}\오른쪽)-f\f\(x\오른쪽)\barepsilon \right}=0}$

x로 균일하게. ƒ이 경계(주기의 간격에 따라)되어 있다는 것을 참작하여 기대치에 대해 얻게 된다.

${\displaystyle \lim_{n\to \inflt}{\operatorname {\mathcal{E}}\좌측(\f\frac {{n}\오른쪽)-f\좌측(x\오른쪽)=0}$

x로 균일하게이를 위해 기대치에 대한 합계를 두 부분으로 나눈다.어떤 부분에서 차이는 ε을 초과하지 않는다; 이 부분은 ε보다 더 기여할 수 없다.다른 부분에서는 차이가 ε을 초과하지만 2M을 초과하지 않는다. 여기서 M은 ƒ(x)의 상한이다. 이 부분은 차이가 ε을 초과할 확률의 2M 배 이상을 기여할 수 없다.

마지막으로 기대 차이의 절대값이 절대 차이의 절대값의 기대치를 결코 초과하지 않는다고 관찰하고,

${\displaystyle \operatorname {\mathcal {E}} \left[f\left({\frac {K}{n}}\right)\right]=\sum _{K=0}^{n}f\left({\frac {K}{n}}\right)p(K)=\sum _{K=0}^{n}f\left({\frac {K}{n}}\right)b_{K,n}(x)=B_{n}(f)(x)}$

기초 교정쇄

확률론적 증거는 기초적인 확률론적 아이디어를 사용하되 직접 검증으로 진행할 수 있다.^{[11][12][13][14][15]}

다음과 같은 신원을 확인할 수 있다.

(1) $\sum {\displaystyle \underset{k}{}}$(${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{n}{}}$ k${\displaystyle }$) ${\displaystyle x{}^{}}$ k${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle 1}$- ${\displaystyle x{}^{}}$) ${\displaystyle n^{}}$- ${\displaystyle \mathrm{k}{}^{}}$= 1 ${\displaystyle \sum _{k}{n \선택$ k$}x^{k$}($1-x)^{n-k}=1$}

("실제")

(2) $\sum {\displaystyle \underset{}{}\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{n}{}}$(${\displaystyle \mathrm{n}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}}$) ${\displaystyle x{}^{}}$ ${\displaystyle k^{}}$( 1${\displaystyle }$- ${\displaystyle x{}^{}}$) x k ( ${\displaystyle 1^{}}$ - x ) ${\displaystyle n^{}}$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \sum _{k}{k \over$ n$}{n$ \n 선택 k$}x^{k$^{$k}(1-x)^{n-k}=x}$

("실제")

(3) $\sum {\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{k}{}^{}}$( x${\displaystyle {}^{}}$- k ${\displaystyle {\frac{n}{}}^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle \mathrm{n}}$ ${\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{k}{}}$) x ${\displaystyle k^{}}$( ${\displaystyle 1}$- x${\displaystyle {}^{}}$) ${\displaystyle n^{}}$= ${\displaystyle \frac{}{}}$ (${\displaystyle \frac{1}{}}$- x${\displaystyle \frac{}{}}$) n${\displaystyle }$. ${\displaystyle \sum _{k}\좌(x-{k \over$ n$}\우$)^{2$} \n$ \n 선택 k$}{n-k}^{n-k}={n-x$(1-x) \c.$\n$}}\$n.$$}$

("실제")

사실, 이항 정리에 의해

${\displaystyle (1+t)^{n}=\sum _{k}{n \선택 k}t^{k}}}$

그리고 이 방정식은 $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle d\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{t}{}}$ ${\$에 두 번 적용할 수 있다$.$ID(1), (2) 및 (3)은 치환 $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$/${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$- x )${\displaystyle t=x/(1-x)}$을 사용하여 쉽게 따라온다$.$

이 세 가지 정체성 내에서 위의 기준 다항식 표기법을 사용한다.

${\displaystyle b_{k,n(x)={n \선택 k}x^{k}(1-x)^{n-k}}$

그리고 내버려두다

${\displaystyle f_{n}(x)=\sum _{k}f(k/n)\,b_{k,n}(x).}$

그러므로, 정체성에 의해 (1)

${\displaystyle f_{n}(x)-f(x)=\sum _{k}[f(k/n)-f(x)]\,b_{k,n(x),}$

하도록

${\displaystyle f_{n}(x)-f(x) \leq \sum _{k/n)-f(x) \,b_{k,n}(x).}$

이후 f평등 연속, 0{\displaystyle \varepsilon>0}aδ하다;0{\displaystyle \delta>0}가 f(를)− f(b)<>ε{\displaystyle f(를)-f(b)<>\varepsilon} 때마다 − b<>δ{\displaystyle a-b<>\delta}. 게다가, 연속성에 의해, M= sε한를 f<>∞{\dis$놀이방식$ M$=\suppy$ 그런데 그때

${\displaystyle f_{n}(x)-f(x) \leq \sum _{ x-{k \over n} <\delta } f(k/n)-f(x) \,b_{k,n}(x)+\sum _{ x-{k \over n} \geq \delta } f(k/n)-f(x) \,b_{k,n}(x).}$

첫 번째 합은 ε보다 적다.한편, 위의 ID (3)에 의해, ${\displaystyle 그리고}$ ${\displaystyle x}$- k${\displaystyle }$/ n${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle x-k/n \geq \delta }$ 이후$,$ 두 번째 합은 2M배 경계가 된다.

${\displaystyle \sum _{ x-k/n \geq \delta }b_{k,n}(x)\leq \sum _{k}\delta ^{-2}\left(x-{k \over n}\right)^{2}b_{k,n}(x)=\delta ^{-2}{x(1-x) \over n}<\delta ^{-2}n^{-1}.}$

(체비셰프의 불평등)

다항식 f는_n 균일하게 f하는 경향이 있다.

상위 차원에 대한 일반화

번스타인 다항식들은 k차원으로 일반화될 수 있다 – 결과 다항식들은_i1 B(x₁) B_i2(x₂) ... B(x_ikk) 형태를 갖는다.^[16]가장 간단한 경우, 단위 간격[0,1]의 제품만 고려되지만, 선의 아핀 변환을 사용하여 [a₁, b₁] × [a₂, b₂] × ... 제품에 대해 번스타인 다항식도 정의할 수 있다. × [a_k, b_k]단위 간격의 k-폴드 제품에 대한 연속 함수 f의 경우 f(x₁, x₂, ..., x)는_k 다음과 같이 균일하게 근사할 수 있다는 증거

${\displaystyle \sum _{i_{1}}\sum _{i_{2}}\cdots \sum _{i_{k}}{n_{1} \choose i_{1}}{n_{2} \choose i_{2}}\cdots {n_{k} \choose i_{k}}f\left({i_{1} \over n_{1}},{i_{2} \over n_{2}},\dots ,{i_{k} \over n_{k}}\right)x_{1}^{i_{1}}(1-x_{1})^{n_{1}-i_{1}}x_{2}^{i_{2}}(1-x_{2})^{n_{2}-i_{2}}\cdots x_{k}^{i_{k}}(1-x_{k})^{n_{k}-i_{k}}}$

번스타인의 증거를 한 차원 확대한 거야^[17]

참고 항목

• 다항 보간법
• 뉴턴 형태
• 라그랑주 형식
• 이항 QMF(Daubechies wavelet이라고도 함)

메모들

참조

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외부 링크

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• Weisstein, Eric W. "Bernstein Polynomial". MathWorld.
• 이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유 앨리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 번스타인 다항식 속성에서 얻은 자료가 통합되어 있다.