비콘벡스 최적화

비콘벡스 최적화는 객관적 기능과 제약조건 세트가 비콘벡스가 될 수 있는 볼록 최적화의 일반화다.이러한 문제들의 전 세계적인 최적점을 찾을 수 있는 방법들이 있다.^[1][2]

A set ${\displaystyle B\subset X\times Y}$ is called a biconvex set on ${\displaystyle X\times Y}$ if for every fixed ${\displaystyle y\in Y}$, ${\displaystyle B_{y}=\{x\in X:(x,y)\in B\}}$ is a convex set in ${\displaystyle X}$ and for every fixed ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x\in$ X$\},$ $B{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ Y${\displaystyle }$:${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle B\}}$ ${\displaystyle B_{x}=\{y\in Y:(x,y)\in B\}}$는 $Y{\displaystyle }$ ${\displaysty$ Y$}$에 설정된 볼록스이다$$$.$

${\displaystyle \mathrm{함수}}$ $f{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$)${\displaystyle }$: ${\displaystyle B}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$B\to \mathbb {R} }$ is called a biconvex function if fixing ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle f_{x}(y)=f(x,y)}$ is convex over ${\displaystyle Y}$ and fixing ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle f_{y}(x)=f(x,y)}$ is convex over ${\displaystyle X}$$$.

(솔루션의 글로벌 최적성을 보장하지 않는) 비콘벡스 문제를 해결하기 위한 일반적인 관행은 그 중 하나를 고치고 그에 상응하는 볼록 최적화 문제를 해결함으로써$$ ${\displaystyle x}$, y ${\displaystyle x,y}$을(를) 대신 업데이트하는 것이다.^[1]

세 개 이상의 인수의 함수에 대한 일반화를 블록 다중 콘벡스 함수라고 한다.함수 $f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle x_{}}$K )${\displaystyle }$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$은(는) 다른 모든 변수를 고정하면서 개별 인수에 대해 볼록한 경우 다중 콘벡스를 차단하는 것이다$$.^[3]

참조

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