부울의 부등식

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통계에 대한 시리즈의 일부
확률론
확률 공리 결정론 시스템. 불확정론 임의성
확률공간 샘플공간 이벤트 총체적으로 소모적인 사건 초등 종목 상호 배타성 결과 싱글턴 실험. 베르누이 재판 확률분포 베르누이 분포 이항분포 지수분포 정규분포 파레토 분포 포아송 분포 확률측량 랜덤변수 베르누이 과정 연속형 또는 이산형 기대가치 마르코프 체인 관측치 임의 보행 확률적 과정
보완사건 관절확률 한계확률 조건부확률
독립 조건부 독립성 총확률의 법칙 대수의 법칙 베이즈 정리 부울의 부등식
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확률 이론에서, 결합 결합이라고도 알려진 부울의 부등식은 어떤 유한하거나 셀 수 있는 사건들의 집합에서, 적어도 하나의 사건이 일어날 확률은 개별 사건들의 확률의 합보다 크지 않다고 말합니다. 이러한 부등식은 사건의 개별 확률 측면에서 계산 가능한 사건 수 중 적어도 하나의 발생 확률에 대한 상한을 제공합니다. 부울의 부등식은 그 발견자인 조지 부울의 이름을 따서 지어졌습니다.^[1]

공식적으로, A₁, A₂, A₃, ...의 셀 수 있는 일련의 사건들에 대하여, 우리는

${\displaystyle {\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }{\mathbb {P} }(A_{i}).}$

측도 이론적 용어에서 부울의 부등식은 측도(그리고 확실하게 모든 확률 측도)가 σ-하위 덧셈이라는 사실로부터 따릅니다.

증명

귀납법을 이용한 증명

부울의 부울 부등식은 유도 방법을 사용하여$n{\displaystyle }$ {\$displaystyle n}$ 이벤트의$$ 유한 집합에 대해 입증될 수 있습니다.

${\displaystyle \mathrm{n}}$ = 1${\$displaystyle n = 1}인 경우 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mathbb {P}(A_{1})\leq \mathbb {P}(A_{1}).}$

$케이스{\displaystyle }$ n ${\displaystyle$ n$}$의 경우$,$ 우리는

${\displaystyle {\mathbb {P}\left(\bigcup _{i=1}^{n})A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i}).}$

${\displaystyle P}$(${\displaystyle A}$ ∪ B) = P (${\displaystyle A)}$+$$P ($B)$ - P (A ∩ B), {\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B) =\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B) -\mathbb {P} (A\cap B), 결합 연산이 연관되어 있으므로,

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1})-\mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\cap A_{n+1}\right).}$

부터

${\displaystyle {\mathbb {P}\left(\bigcup _{i=1}^{n})A_{i}\cap A_{n+1}\right)\geq 0,}$

우리는 확률의 첫번째 공리에 의해서

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mathbb {P} (A_{n+1}),}$

따라서

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n+1}A_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i})+\mathbb {P} (A_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}\mathbb {P} (A_{i}).}$

인덕션을 사용하지 않고 증명

확률 공간에서 A ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$ A ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ${\displaystyle A_{1}, A_{2}, A_{3},\dots}$의 모든 사건에 대해

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i})A_{i}\right)\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i}).}$

확률 공간의 공리 중 하나는 만약 $B{\displaystyle {}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {B\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$… ${\displaystyle B_{1}, B_{2}, B_{3},\dots}$가 확률 공간의 서로소 부분집합이라면,

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup_{i}B_{i}\right)=\sum_{i}\mathbb {P}(B_{i});}$

이것을 가산성이라고 합니다.

집합 ${\displaystyle {Ai}_{}}$ ${\$를 수정하면 서로소가 됩니다.

${\displaystyle B_{i}=A_{i}-\bigcup _{j=1}^{i-1}A_{j}}$

우리는 그것을 보여줄 수 있습니다.

${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}.}$

포함의 양방향성을 증명함으로써.

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$∈ ⋃ i = 1 ∞ Ai ${\displaystyle$ x\ in \bigcup _{i=1}^{\infty}A_{i}라고 가정합니다. $그런$ 다음$$$x$∈ k{\$displaystyle$ $x\$in A_${$k}}에 대해i < $k$ ∉ x ⟹ $Ai$ {\displaystyle i< k\implies x\n$오틴 A_{i$ ${\displaystyle {따라서}_{}}$ $x$ ∈ B ${\displaystyle k_{}}$ = A ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ -${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$⋃${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{j}_{}}$ = $1$k - $1$A $j {\displaystyle$ x\in B_{k} = A_{k}-\bigcup _{j=1}^{k-1}A_{j}}. 따라서 첫 번째 포함은 참입니다. ⋃ i = 1 ∞ A i ⊂ ⋃ i = 1 ∞ B i {\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty}A_{i}\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}}.

${\displaystyle \underset{}{\overset{}{다음}}}$으로, x${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$∈ ⋃ $i$ = 1 ∞ $Bi$ {\displaystyle x\in \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}라고 가정합니다. 어떤 k {\displaystyle k}에 대하여 x ∈ Bk {\displaystyle x\in B_{k}}라고 합니다. And ${\displaystyle B_{k}=A_{k}-\bigcup _{j=1}^{k-1}A_{j}}$ so ${\displaystyle x\in A_{k}}$, and we have the other inclusion: ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }B_{i}\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$.

By construction of each ${\displaystyle B_{i}}$, ${\displaystyle B_{i}\subset A_{i}}$. For ${\displaystyle B\subset A,}$ it is the case that ${\displaystyle \mathbb {P} (B)\leq \mathbb {P} (A).}$

따라서, 우리는 원하는 부등식이 참이라고 결론지을 수 있습니다.

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{i})A_{i}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{i}B_{i}\right)=\sum _{i}\mathbb {P} (B_{i})\leq \sum _{i}\mathbb {P} (A_{i}).}$

본페로니 부등식

부울의 부등식은 사건의 유한 결합 확률에 대한 상한과 하한을 찾기 위해 일반화될 수 있습니다.^[2] 이러한 경계는 카를로 에밀리오 본페로니의 이름을 따서 본페로니 부등식으로 알려져 있습니다. 본페로니(1936)를 참조하십시오.

허락하다

${\displaystyle S_{1}:=\sum _{i=1}^{n}{\mathbb {P} }(A_{i}),\quad S_{2}:=\sum _{1\leq i<j\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i}\cap A_{j}),\quad \ldots ,\quad S_{k}:=\sum _{1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n}{\mathbb {P} }(A_{i_{1}}\cap \cdots \cap A_{i_{k}})}$

{1, ..., n}의 모든 정수 k에 대하여.

n이 홀수일 때 부등식의 순서는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\mathbb {P}\left(\bigcup _{i=1}^{n})A_{i}\right)=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}S_{j}\leq \sum _{j=1}^{n-2}(-1)^{j-1}S_{j}\leq \sum _{j=1}^{n-4}(-1)^{j-1}S_{j}\leq \ldots \leq \sum _{j=1}^{1}(-1)^{j-1}S_{j}}$

그리고.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{2}(-1)^{j-1}S_{j}\leq \ldots \leq \sum _{j=1}^{n-3}(-1)^{j-1}S_{j}\leq \sum _{j=1}^{n-1}(-1)^{j-1}S_{j}\leq \sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}S_{j}={\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)}$

양쪽 다 보유하고 있습니다. n이 짝수일 때:

${\displaystyle {\mathbb {P}\left(\bigcup _{i=1}^{n})A_{i}\right)=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}S_{j}\leq \sum _{j=1}^{n-1}(-1)^{j-1}S_{j}\leq \sum _{j=1}^{n-3}(-1)^{j-1}S_{j}\leq \ldots \leq \sum _{j=1}^{1}(-1)^{j-1}S_{j}}$

그리고.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{2}(-1)^{j-1}S_{j}\leq \ldots \leq \sum _{j=1}^{n-4}(-1)^{j-1}S_{j}\leq \sum _{j=1}^{n-2}(-1)^{j-1}S_{j}\leq \sum _{j=1}^{n}(-1)^{j-1}S_{j}={\mathbb {P} }\left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)}$

양쪽 다 보유하고 있습니다. 부분합 사이의 부등식 사슬은 사건 S가_k 감소하는 일련의 집합을 형성한다는 관찰에서 비롯됩니다.^[3] 등식은 포함-배제 원리에 따르며, 부울의 부등식은 극단적인 상한의 특별한 경우입니다.

예

임의 표본을 기준으로 5개의 모수를 추정하고 각 모수를 개별적으로 관리할 수 있다고 가정합니다. 5개 모수의 추정치가 모두 95%의 확률로 양호하려면 각 모수에 대해 어떻게 해야 합니까?

"모든 것이 좋다"는 각 사건 "I 추정치가 좋다"의 하위 집합이므로 각 모수가 양호할 확률을 95% 이내로 조정하는 것만으로는 충분하지 않습니다. 우리는 이 문제를 해결하기 위해 부울의 부등식을 사용할 수 있습니다. "5개 모두 좋다"라는 이벤트의 보어를 찾음으로써 이 질문을 다른 조건으로 변경할 수 있습니다.

P(최소한 하나의 추정이 나쁘다) = 0.05 ≤ P(A가 나쁘다) + P(A가 나쁘다) + P(A가 나쁘다) + P(A가 나쁘다) + P(A가 나쁘다) + P(A가 나쁘다)

한 가지 방법은 각각 0.05/5 = 0.01, 즉 1%와 같게 만드는 것입니다. 즉, 각 추정치가 99%(예를 들어, 99% 신뢰 구간을 구성하여)라는 것을 보장해야 전체 추정치가 95%의 확률로 양호한지 확인할 수 있습니다. 이것을 동시 추론의 본페로니 방법이라고 합니다.

참고 항목

• 희석포용-배제원칙
• 슈에트 네스빗 공식
• 부울-프레셰 부등식
• 쌍으로 독립적인 사건들의 결합 확률

참고문헌

기타관련기사

• Bonferroni, Carlo E. (1936), "Teoria statistica delle classi e calcolo delle probabilità", Pubbl. D. R. Ist. Super. Di Sci. Econom. E Commerciali di Firenze (in Italian), 8: 1–62, Zbl 0016.41103
• Dohmen, Klaus (2003), Improved Bonferroni Inequalities via Abstract Tubes. Inequalities and Identities of Inclusion–Exclusion Type, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1826, Berlin: Springer-Verlag, pp. viii+113, ISBN 3-540-20025-8, MR 2019293, Zbl 1026.05009
• Galambos, János; Simonelli, Italo (1996), Bonferroni-Type Inequalities with Applications, Probability and Its Applications, New York: Springer-Verlag, pp. x+269, ISBN 0-387-94776-0, MR 1402242, Zbl 0869.60014
• Galambos, János (1977), "Bonferroni inequalities", Annals of Probability, 5 (4): 577–581, doi:10.1214/aop/1176995765, JSTOR 2243081, MR 0448478, Zbl 0369.60018
• Galambos, János (2001) [1994], "Bonferroni inequalities", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

이 기사는 크리에이티브 커먼즈 속성/공유-유사 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 Bonferroni 부등식 자료를 통합합니다.