상자 위상

위상에서 위상 공간의 데카르트 산물은 몇 가지 다른 위상을 부여할 수 있다.보다 분명한 선택 중 하나는 박스 토폴로지로 구성 요소 공간에서 열린 세트의 데카르트 제품에 의해 기반이 주어진다.^[1]또 다른 가능성은 제품 토폴로지인데, 구성 요소 공간에 있는 오픈 세트의 데카르트 제품에 의해 기초가 제공되며, 그 중 극히 일부만이 전체 구성 요소 공간과 같을 수 없다.

박스 토폴로지는 제품 토폴로지에 비해 다소 직관적인 정의를 가지고 있지만, 바람직한 성질은 적게 만족한다.특히 모든 구성품 공간이 콤팩트한 경우, 그들의 데카르트 제품의 제품 토폴로지는 항상 컴팩트하지만, 데카르트 제품의 박스 토폴로지는 반드시 컴팩트하지는 않을 것이다.일반적으로 박스 위상은 제품 위상보다 미세하지만, 유한한 직접 제품의 경우(또는 거의 모든 요소가 사소한 경우)에는 두 사람이 동의한다.

정의

$다음$과 같은$$ X ${\displaystyle X}$ 지정

${\displaystyle X:=\prod _{i\in I}X_{i}}}$

${\displaystyle \mathrm{또는}}$ 위상 공간 ${\displaystyle X_{}}$ i ${\displaystyle$ i$\in$ I$}$에 의해 색인화된$$(잠재적으로 무한) 카트리지안 제품 X ${\$ $X_$${i},$$$X ${\displaystyle X}$의 상자 토폴로지는 베이스에 의해 생성된다$$.

${\displaystyle B=\left\{\prod_{i}\{i}\mid U_{i}{\text{{}{}}}}}}}X_{i}\right\}}}에서 열림.}$

이름 상자는 기초 집합이 상자처럼 보이는 R의ⁿ 경우에서 유래한다.상자 위상이 부여된$$ $\prod {\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ I ${\displaystyle \underset{}{X}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$${\displaystyle {X\_}_{}}$${i}}$ 집합은 $◻{\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{i}}$ ${\displaystyle \underset{}{\in }}$ I ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\underset {i\in$ I$}{\square }X_{i}.}.$로 표시되기도 한다.$}$

특성.

R의^ω 상자 위상:^[2]

• 박스 토폴로지가 완전히 규칙적임
• 상자 토폴로지가 작거나 연결되지 않음
• 상자 토폴로지를 먼저 계산할 수 없음(메트리징할 수 없음)
• 상자 위상은 분리할 수 없음
• 연속체 가설이 참일 경우 상자 위상은 파라콤팩트(따라서 정규적이고 완전 정규)이다.

예 - 연속성 고장

다음은 힐버트 큐브에 근거한 예다.렛^ω R은 그 자체로 R의 계수 가능한 데카르트 제품, 즉 R의 모든 시퀀스 세트를 나타낸다.표준 위상 R을 장착하고^ω 박스 위상 R을 장착한다.정의:

${\displaystyle {\begin}f:\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{\omega }\x\mapsto (x,x,x,\ldots )\case}}}}}$

그래서 모든 요소 기능은 정체성이며 따라서 연속성이지만 f는 연속성이 없다는 것을 보여줄 것이다.이를 확인하려면 오픈 세트를 고려하십시오.

${\displaystyle U=\prod _{n=1}^{n1}\flat }\왼쪽(-{\tfrac {1}{n1},{\tfrac {1}{n}\오른쪽).}$

f가 연속적이었다고 가정하자.그 이후:

${\displaystyle f(0)=(0,0,0,\ldots )\in U,}$

> ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $\$${\displaystyle \mathrm{varepsilon}}$$>0}$이(가${\displaystyle )}$ 있어야 하며, ${\displaystyle \subset {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( ${\displaystyle U}$)${\displaystyle }$. ${\displaystyle (-\varepsilon ,\varepsilon )\subset f^{-1}(U$)가 있어야 한다$.$${}$ 하지만$$ 이는

${\displaystyle f\lift({\tfrac {\barepsilon }{2}}\right)=\lift({\tfrac {\barepsilon }{2}},{\tfrac {\barepsilon }}{2}}, }}{\dots \U,}}}}$

는 > > {\$displaystyle${\tfrac {\$tfrac {\$$barepsilon$ $}{2$$}}}{\tfrac${$1}{n$$}}}$ 이후 거짓이므로 f는 모든 구성 요소 기능이 지속되지 않는다$.$

예 - 콤팩트성

$X{\displaystyle }$ = $for{\displaystyle {}_{}}$ X ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle \{\backslash }$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $X=\prod X_{i}}$을(를) 고려하십시오. 여기서$$ 각 i에 대해 Xi${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }${ 0${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle X_{i}=\{0,1\}}}$은(는) 이산형 토폴로지를 사용하여$$ 계산하십시오.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 상자 위상도 이산 위상이 된다$$.이산 공간은 유한한 경우에만 컴팩트하므로, $구성{\displaystyle }$ 요소 공간이 작더라도 즉시 X ${\displaystyle X}$이(가) 컴팩트하지 않음을 알 수 있다.

${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$도 순차적으로 압축되지 않음$$$:{\displaystyle }$ {${\displaystyle {xn}_{}}$ ${\displaystyle {\}n}_{}^{}}$ = ${$ {\$displaystyle$\{$x_{n}\}_{n=1}^{\inflt }}}}}}$을(를) 고려하십시오.

${\displaystyle (x_{n})_{m}={\pase}0&m<1&m\geq n\end{case}}}}$

시퀀스에서 동일한 두 점이 없으므로 $시퀀스$에 한계점이 없으므로 X ${\displaystyle X}$은(는) 순차적으로 압축되지 않는다$$.

박스 위상에서의 수렴

위상은 종종 시퀀스가 어떻게 수렴되는지를 설명함으로써 가장 잘 이해된다.In general, a Cartesian product of a space ${\displaystyle X}$ with itself over an indexing set ${\displaystyle S}$ is precisely the space of functions from ${\displaystyle S}$ to ${\displaystyle X}$, denoted ${\textstyle \prod _{s\in S}X=X^{S}}$. The product topology yields the topolog점-현상 수렴의 y. 함수의 순서는 $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 모든 점에서 수렴할 경우에만 수렴된다$.$

박스 위상이 제품 위상보다 미세하기 때문에 박스 위상에서의 시퀀스 수렴이 보다 엄격한 조건이다.Assuming ${\displaystyle X}$ is Hausdorff, a sequence ${\displaystyle (f_{n})_{n}}$ of functions in ${\displaystyle X^{S}}$ converges in the box topology to a function ${\displaystyle f\in X^{S}}$ if and only if it converges pointwise to ${\displaystyle f}$ and there is a finite 하위 집합 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S_{0}\subset S}$과($와{\displaystyle }$) > N ${\displaystyle N}$에 대해 시퀀스$({\displaystyle f{}_{}}$( s${\displaystyle }$) ${\$가 있다$.$$_{n}$ in$$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$는 모든 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ {\$displaystyle s\in S\setminus S_{0$에 대해 일정하다.즉, 시퀀스$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle s}$)${\displaystyle {}_n}$ ${\$$_{n}}$은(는) 거의 모든 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$에 대해 균일한 방식으로 일정하게$$ 유지된다.^[3]

제품 위상과의 비교

제품 토폴로지의 기본 세트는 위와 거의 동일한 정의를 가지며, 단, 거의 대부분의 U가_i 구성 요소_i 공간 X와 동일하다는 자격은 제외한다.제품 토폴로지는 구성요소 공간에 대한 맵 f_i : Y → X에_i 대해 매우 바람직한 특성을 만족한다: 구성 요소 함수에_i 의해 정의된 제품 맵 f: Y → X는 모든 f가_i 연속적인 경우에만 연속적이다.위와 같이, 이것이 항상 박스 토폴로지에서 유지되는 것은 아니다.이것은 실제로 박스 위상(compactity, connectivity, connectivity, metrizability 등)을 제공하는 데 매우 유용하게 만든다. 요소 공간에 의해 소유되는 경우 일반적으로 이 위상과 함께 제품에 보존되지 않는 많은 특성(예: compactivity, connectivity, metrizability)을 제공한다.

참고 항목

• 실린더 세트
• 위상 목록

메모들

참조

• Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Topology, Holt, Rinehart 및 Winston의 Counterrexamps.ISBN 0030794854.
• Willard, Stephen (2004). General Topology. Dover Publications. ISBN 0-486-43479-6.

외부 링크

• "Box topology". PlanetMath.