브라만쿠프타-피보나치 정체성

대수학에서 브라마굽타-피보나치 정체성은^[1][2] 두 제곱의 합으로 두 제곱의 곱을 두 개의 다른 방법으로 표현한다. 따라서 모든 두 제곱합의 집합은 곱셈으로 닫힌다. 구체적으로 정체는 말한다.

${\displaystyle {\displaysty}\왼쪽(a^{2}+b^{2)}\오른쪽)\왼쪽(c^{2}+d^{2)}\오른쪽)&{}=\좌측(ac-bd\우측)^{2}+\좌측(ad+bc\우측)^{2}&(1)\\\&}{{}=\좌측(ac+bd\우측)^{2}+\좌측(ad-bc\우측)^{2}&(2)\종료}}}}}$

예를 들어,

${\displaystyle (1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2}=26^{2}+15^{2)}=30^{2}+1^{2}.}$

그 정체성은 알렉산드리아의 디오판토스에 의해 처음 증명되었기 때문에 디오판토스 정체성으로도 알려져 있다.^[3][4] 오일러의 4제곱 정체성과 라그랑주의 정체성의 특수한 경우다.

브라마구프타는 보다 일반적인 정체성(브라마구프타 정체성)을 증명하고 사용했는데, 이는 에 상당하는 것이다.

${\displaystyle {\displaystyle}\왼쪽(a^{2}+nb^{2}\오른쪽)\왼쪽(c^{2}+nd^{2}\오른쪽)&{}=\좌측(ac-nbd\우측)^{2}+n\좌측(ad+bc\우측)^{2}&(3)\\&}\{{}=좌측(ac+nbd\우측)^{2}+n\좌측(ad-bc\우측)^{2}&(4)\ended}}}}}}}}$

이것은 고정 A의 경우, x² + Ay² 형식의 모든 숫자 세트가 곱셈으로 닫힌다는 것을 보여준다.

이러한 정체성은 모든 이성적인 숫자뿐만 아니라 모든 정수를 가지고 있다; 더 일반적으로, 그것들은 어떤 상호 교환적인 고리에서도 사실이다. 네 가지 형태의 정체성은 모두 방정식의 각 면을 넓혀서 검증할 수 있다. 또한 (2)는 (1)에서, 또는 (2)에서 (1)에서 b를 -b로 변경하여 얻을 수 있으며, (3) 및 (4)와 마찬가지로 구할 수 있다.

역사

그 정체는 서기 3세기 디오판투스의 산술가(III, 19)에서 처음 나타났다. 인도의 수학자 겸 천문학자 브라마굽타(598–668)에 의해 재발견되었는데, 브라마굽타 정체성에 이르기까지 그것을 일반화하여 현재 펠의 방정식이라고 불리는 것을 연구하는데 사용했다. 그의 브라흐마스푸타시드한타는 모하마드 알 파자리에 의해 산스크리트어에서 아랍어로 번역되었고, 이후 1126년에 라틴어로 번역되었다.^[5] 그 정체는 후에 1225년 피보나찌의 광장에 나타났다.

관련 신원

유추적 정체성은 오일러의 쿼터니온과 관련된 4제곱, 디겐의 8제곱은 보트 주기와 관련이 있는 옥토니언에서 파생된 것이다. 피스터의 16제곱정도의 정체성도 있지만, 더 이상 이선화되지 않는다.

복잡한 숫자의 곱하기

a, b, c, d가 실수인 경우 브라만구프타-피보나치 아이덴티티는 복잡한 숫자의 절대 값에 대한 승수 속성과 동일하다.

$\displaystyle a+bi \cdot c+di = (a+bi)(c+di) .}$

이는 다음과 같이 볼 수 있다:우측을 확장하고 양쪽을 제곱하며, 곱셈 속성은 다음과 같다.

${\displaystyle a+bi ^{2}\cdot c+di ^{2}= (ac-bd)+i(ad+bc) ^{2},}$

그리고 절대값의 정의에 의해 이것은 다시 에 해당된다.

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})\cdot (c^{2}+d^{2}=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}}}$

변수 a, b, c, d가 합리적인 숫자인 경우 등가 계산은 필드 Q(i)의 표준이 승수: 표준은 다음과 같이 주어진다는 문장으로 해석할 수 있다.

${\displaystyle N(a+bi)=a^{2}+b^{2},}$

그리고 승률 계산은 앞의 계산과 같다.

Pell의 방정식에 대한 적용

브라마굽타는 원래 맥락에서 이 정체성의 발견을 펠² 방정식² x - Ay = 1. 그 정체성을 보다 일반적인 형태로 이용하는 것에 적용했다.

${\displaystyle (x_{1}^{2}-Ay_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ay_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2})^{2}-A(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},}$

그는² x - Ay² = k의 해결책인 삼배(x₁₁, y₁, k)와 (x₂, y₂, k₂)를 "compose"하여 새로운 삼배를 생성할 수 있었다.

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+Aay_{1}y_{1}y_{2}\\\,x_{1}y_{2}+x_{2}+x_{1}y_{1}\}\,k_{1}k_{1}k_{1}k_{2}).}$

이는 하나의² 솔루션으로 시작하는 x - Ay² = 1에 무한히 많은 솔루션을 생성하는 방법을 제공했을 뿐만 아니라, 그러한 구성을 kk로₁₂ 나누면 종종 정수나 "거의 정수" 솔루션을 얻을 수 있었다. 1150년 바스카라 2세가 준 펠 방정식, 즉 차크라발라(순환) 방식도 이러한 정체성에 바탕을 두고 있었다.^[6]

정수를 두 칸의 합으로 쓰기

페르마의 이론 중 하나와 함께 사용할 때, 브라마구프타-피보나치 정체성은 사각형의 산물과 4n + 1 형식의 임의의 소수 프리마임이 두 개의 제곱의 합이라는 것을 증명한다.

참고 항목

메모들

참조

• Joseph, George G. (2000), The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics (2nd ed.), Princeton University Press, p. 306, ISBN 978-0-691-00659-8
• Stillwell, John (2002), Mathematics and its history (2nd ed.), Springer, pp. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6

외부 링크

• 플래닛매스에서의 브라만굽타의 정체성
• 수학계의 브라만굽타 정체성
• 대수적 정체성의 집합체