오일러의 4제곱 아이덴티티

수학에서 오일러의 4제곱 정체는 각각 4제곱의 합인 두 개의 숫자의 산물 자체가 4제곱의 합이라고 말한다.

대수적 정체성

정류 링에서 4중으로 나온 모든 쌍의 경우, 다음 표현은 동일하다.

${\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=}$

${\displaystyle (a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}-a_{4}b_{4}^{2}+}$

${\displaystyle (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}^{2}+}$

${\displaystyle (a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{1}+a_{4}b_{2}}^{2}+}$

${\displaystyle (a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}^{1}.}}$

오일러는 1748년 5월 4일 골드바흐에게^[1][2] 보낸 편지에 이 정체성에 대해 썼다(그러나 그는 위와 다른 사인 규약을 사용했다).기초 대수학으로 검증할 수 있다.

그 정체는 라그랑쥬가 그의 네모난 정리를 증명하기 위해 사용했다.구체적으로는 소수 정리를 증명하기에 충분하며, 그 후에는 더 일반적인 정리가 뒤따른다.위에서 사용하는 부호 규약은 두 개의 쿼터를 곱하여 얻은 부호에 해당한다.${\displaystyle {기타}_{}}$ 기호 규약은 k ${\$를${\displaystyle }$- k ${\$로$,$ 또는 $b{\displaystyle {}_{}}$ k ${\$ $b_{k}를$- b$$ ${\$ -b_{$k}$로 변경하여 얻을 수 있다$.$

${\displaystyle k_{}}$ ${\$와 $b{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\$가 실수라면, 그 정체성은 브라만굽타-피보나치 2제곱정체(Brahmagupta-Fibonacci)가 복잡한 숫자에 대해 하는 것과 같은 방법으로, 2제곱체 생산물의 절대값의 산물과 동일하다는 사실을 표현한다.이 속성은 알제브라 구성의 결정적인 특징이다.

후르비츠의 정리에는 형식에 대한 정체성이 명시되어 있다.

${\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}}^{2}+a_{3}^{2}+...+a_{n}^{2}(b_{1}^{2}+b_{2)}^{2}+b_{3}^{2}+...+b_{n}^{2}=c_{1}^{2}+c_{2}}^{2}+c_{3}^{2}+...+c_{n}^{2}}$

$여기$서 c ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 양면 함수이고 $b$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 n = 1, 2, 4 또는 8에 대해서만 가능하다$$.

쿼터니온을 사용한 신원 증명

설명:오일러의 4제곱 정체성의 증명은 간단한 대수적 평가에 의한 것이다.쿼터니온은 4차원 벡터의 두 가지 내면의 생산물인 (a·a)(b·b) = (a*b)·(a*b)의 내면의 생산물을 다시 산출하는 4차원 벡터의 생산물로 쓰일 수 있는 4제곱의 정체성에서 유래한다.이것은 오일러의 정체성을 단순하게 반영하는 쿼터니온 곱셈 규칙 a*b를 정의하고, 쿼터니온 수학의 전체 묶음을 정의한다!쿼터는 말하자면 4제곱의 정체성의 "제곱근"이다.그러나 그 증거는 그대로 두어라.

Let ${\displaystyle \alpha =a_{1}+a_{2}i+a_{3}j+a_{4}k}$ and ${\displaystyle \beta =b_{1}+b_{2}i+b_{3}j+b_{4}k}$ be a pair of quaternions.Their quaternion conjugates are ${\displaystyle \alpha ^{*}=a_{1}-a_{2}i-a_{3}j-a_{4}k}$ and ${\displaystyle \beta ^{*}=b_{1}-b_{2}i-b_{3}j-b_{4}k}$.그러면

${\displaystyle A:=\alpha \alpha \alpha ^{*}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}}$

그리고

${\$$$$}^{2}+b_{3$$}^{2}+b_{4$$}^{2}}$.

The product of these two is ${\displaystyle AB=\alpha \alpha ^{*}\beta \beta ^{*}}$, where ${\displaystyle \beta \beta ^{*}}$ is a real number, so it can commute with the quaternion ${\displaystyle \alpha ^{*}}$, yielding

${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$= ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$ α ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ $^\{*\}\}\}\}\}\}.$

Quaternion이 연관되기 때문에 위에 괄호는 필요하지 않다.제품의 결합은 제품 인자의 결합체의 분쇄 제품과 동일하므로

${\displaystyle AB=\alpha \beta )^{*}=\gamma ^{*}}$

여기서 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$은(는) $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ 및 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \beta$$}$의 해밀턴 제품이다.

${\displaystyle \cHB =(a_{1}+\langle a_{2},a_{3},a_{4}\angle )(b_{1}+\langle b_{2},b_{3},b_{4}\angle )}$

${\displaystyle \qquad =a_{1}b_{1}+a_{1}\langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle +\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle b_{1}+\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle }$

${\displaystyle \qquad =a_{1}b_{1}+\langle a_{1}b_{2},\ a_{1}b_{3},\ a_{1}b_{4}\rangle +\langle a_{2}b_{1},\ a_{3}b_{1},\ a_{4}b_{1}\rangle -\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \cdot \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle +\langle a_{2},\ a_{3},\ a_{4}\rangle \times \langle b_{2},\ b_{3},\ b_{4}\rangle }$

${\displaystyle \qquad =a_{1}b_{1}+\langle a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1},\ a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1},\ a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}\rangle -a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}+\langle a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3},\ a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4},\ a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\rangle }$

${\displaystyle \qquad =(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})+\langle a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3},\ a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4},\ a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\rangle }$

${\displaystyle \gamma =(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})i+(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})j+(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})k.}$

그러면

${\displaystyle \gamma ^{*}=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})-(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})i-(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})j-(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})k}$

그리고

${\displaystyle AB=\gamma \gamma ^{*}=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}+(a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}-a_{2}b_{4})^{2}+(a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})^{2}.}$

(If ${\displaystyle \gamma =r+{\vec {u}}}$ where ${\displaystyle r}$ is the scalar part and ${\displaystyle {\vec {u}}=\langle u_{1},u_{2},u_{3}\rangle }$ is the vector part, then ${\displaystyle \gamma ^{*}=r-{\vec {u}}}$ so ${\displaystyle \gamma {\gamma }^{\ast }}$${\displaystyle \gamma \gamma ^{*}=(r+{\vec {u}})(r-{\vec {u}})=r^{2}-r{\vec {u}}+r{\vec {u}}-{\vec {u}$$}}{\vec{u}}=r^{2}+{\vec{u}-{\vec{u}}-{\vec}-{\vec}-{{\vec}=r^{2}+}{\vec}}}{\vec}}=r^{2}+{1$$}$$}^{2}+u_{2$$}^{2}+u_{3$$}^{2}.}$)

피스터의 정체

피스터는 고른 전력에 대한 또 다른 정사각형 정체성을 발견했다.^[3]

$c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$이(가) 하나의 변수에 대한 합리적인 함수에 불과하여$$ 각 $c{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$이 분모를 가지면$$ 모든 $n{\displaystyle }$= ${\displaystyle {2m}^{}}$ ${\$에 대해 가능하다.

따라서 또 다른 4제곱의 정체는 다음과 같다.

${\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=}$

${\displaystyle (a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}+a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}^{2}+}$

${\displaystyle (a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}a_{1}-a_{4}b_{2}^{2}+}$

${\displaystyle \left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+{1}{\frac {a_{3}u_{1}:{1}:{1}:{b_{1}^{2}+b_{2}}^{2}}:}-{\frac {a_{4}u_{2}}:{b_{1}^{2}+b_{2}}}^{2}}}\오른쪽)^{2}+}$

${\displaystyle \left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-{\frac {a_{4}u_{1}:{1}:{1}^{2}+b_{2}}^{2}}:}-{\frac {a_{3}u_{2}}:{b_{1}^{2}+b_{2}}}^{2}}:}\오른쪽)^{2}}$

여기서$$ $u{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$및$$ ${\displaystyle {u\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}:

${\displaystyle u_{1}=b_{1}^{2}b_{4}-2b_{1}b_{1}b_{2}b_{3}-b_{2}^{2}b_{4}}}}}$

${\displaystyle u_{2}=b_{1}^{2}b_{3}+2b_{1}b_{1}b_{2}b_{4}-b_{2}^{2}b_{3}}}}}}}{3}}}}}$

우발적으로 다음과 같은 정체성도 사실이다.

${\displaystyle u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=(b_{1}^{2}+b_{2}}^{2}^{2}^{2}(b_{3}^{2}+b_{4)}^{2})}$

참고 항목

• 브라마굽타-피보나치 정체성 (두 칸 합)
• 데겐의 8제곱 정체성
• 피스터의 16제곱 정사각형 정체성
• 라틴 사각형

참조

외부 링크

• 대수적 정체성의 집합체
• [1] 오일러에서 골드바흐로 레트레 CXV