라그랑주 항등식

대수학에서, 조셉 루이스 라그랑주(Joseph Louis Lagrange)의 이름을 딴 라그랑주(Lagrange)의 정체성은 다음과 같다.^[1]^[2]

{{displaystyle {displaystyle }\left(\sum _ {k=1}^{k2}^{n2}\right)\left(\sum _ {k=1}^{n}a _{k}b_{k}^{2}\right}^2=1\sum

이는 실수 또는 복소수(또는 더 일반적으로 가환의 요소)의 두 집합 {a₁, a₂, ..., a_n} 및 {b₁, b₂, ..., b_n}에 적용됩니다.이 동일성은 브라흐마굽타-피보나치 동일성의 일반화이며 비네-코치 동일성의 특별한 형태이다.

보다 콤팩트한 벡터 표기법에서, 라그랑주의 항등식은 다음과 ^[3]같이 표현된다.

\displaystyle \left \mathbf {a} \right \ ^{2} \right \ ^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b})^{2}=\sum _ {1\leq i<j\leq n}\left(a_i})

여기서 a와 b는 성분이 실수인 n차원 벡터입니다.복소수로 확장하려면 도트 곱을 내적 또는 에르미트 도트 곱으로 해석해야 합니다.복소수의 경우 Lagrange의 아이덴티티는 다음과 같은 형식으로 ^[4]작성할 수 있습니다.

\left(\sum _{k=1}^{2}\오른쪽)\left(\sum _{k}^{n}^{k})-\left \sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\sum_{k}\i^{n}^{1-{n}^{n}\right

절대적인 ^[5]^[6]가치를 수반합니다.

항등식의 오른쪽은 분명히 음이 아니기 때문에, 그것은 유한 차원 실좌표 공간ⁿ R과 그 복잡한 상대 C에서의ⁿ 코시의 부등식을 암시한다.

기하학적으로, 한 쌍의 벡터에 의해 가로놓인 평행입방체의 부피의 제곱이 벡터의 그램 결정식이라고 단언한다.

라그랑주 방정식과 외부 대수

쐐기 제품에 대해서는 라그랑주의 아이덴티티를 기입할 수 있습니다.

(a\cdot b)-(a\cdot b)^{2}=(a\cdot b)\cdot (a\cdot b)}

따라서, 그것은 두 벡터의 쐐기곱의 길이, 즉 두 벡터의 점곱의 관점에서 그들이 정의하는 평행사변형의 면적을 주는 공식으로 볼 수 있다.

({displaystyle\a\cdot b\cdot a)(b\cdot b)-(a\cdot b)^{2}=cdot {{2}-(a\cdot b)^{2}-(a\cdot b)^2}}).}

라그랑주 방정식과 벡터 미적분

3차원에서, Lagrange의 정체성은 a와 b의 길이를 갖는 R의³ 벡터라면, Lagrange의 정체성은 교차곱과 ^[7]^[8]점곱의 관점에서 쓰여질 수 있다고 주장한다.

\mathbf {a} ^{2}-(mathbf {a} \cdot \mathbf {b})^{2}= \mathbf {a} \times \mathbf {b} ^{2}

도트곱에 기초한 각도의 정의를 사용하면(코시-슈바르츠 부등식 참조), 왼쪽 변은 다음과 같다.

\displaystyle \left \mathbf {a} \right \mathbf {b} \right ^{2} \left (1-\cos ^{2}\theta \right)=\left \mathbf {a} \right ^{2}\sin ^{ta} \ta }

여기서

θ

는 벡터 a와 b에 의해 형성되는 각도이다.

변

a

와 b와 각도

θ

를 가진 평행사변형의 면적은 초등 기하학에서 다음과 같이 알려져 있다.

\displaystyle \left \mathbf {a} \right \left \mathbf {b} \right \sin \theta \right , }

그래서 라그랑주 정체성의 왼쪽이 평행사변형의 제곱 영역입니다.오른쪽에 나타나는 교차곱은 다음과 같이 정의됩니다.

\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\left(a_{2}b_{2}\right)\mathbf {i} +\left(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\right)\mathbf {bj} +{1}\left(왼쪽)

이것은 성분의 크기가 각각 yz, zx 및 xy 평면에 대한 평행사변형의 투영 영역과 동일한 벡터입니다.

7차원

R의⁷ 벡터와 같은 a와 b의 경우, 라그랑주의 동일성은 R의 경우와³^[9] 같은 형태를 취한다.

\mathbf {a} ^{2} - \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ^{2} = \times \mathbf {b} ^{2}\,

그러나 7차원의 교차곱이 3차원의 교차곱의 모든 특성을 공유하는 것은 아닙니다.예를 들어, 7차원에서의 a × b의 방향은 c와 d가 a와 b에 선형적으로 독립되어 있더라도 c × d와 같을 수 있다.또한 7차원 크로스곱은 야코비 ^[9]아이덴티티와 호환되지 않습니다.

쿼터니온스

4분위 p는 스칼라 t와 벡터 v의 합으로 정의된다.

p=t+\mathbf {v} =t+x\\mathbf {i} +y\\mathbf {j} +z\\mathbf {k} .

$p$ $= t$ + $v$ 와 q $= s$ + $w$ 의 곱은 다음과 같이 정의된다.

\displaystyle pq=(st-\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} +t\mathbf {w} +\mathbf {v} \times \mathbf {w} )

q의 4원소 결합체는 다음과 같이 정의된다.

{q}}=t-\mathbf {v},

그리고 표준 제곱은

q ^{2} = t^{2}\ +\ x^{2}+\ y^{2}\ +\ z^{2}.

4분위 대수의 노름의 승수는 4분위 p와 ^[10]q에 대해 다음을 제공한다.

\displaystyle \left pq\right = \left p\right \left q\right }

4분의 1의 p와 q는 스칼라 부분이 0일 경우 허수라고 불립니다.따라서, 예를 들면,

p=\mathbf {v},\display q=\mathbf {w}.

라그랑쥬의 정체성은 상상 속의 4분의 1의 노름의 곱셈일 뿐이고

\displaystyle \mathbf {v} \mathbf {w} ^{2} = \mathbf {v} ^{2}

왜냐하면, 정의상,

\displaystyle \mathbf {v} \mathbf {w} ^{2}=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} )^{2} + \times \mathbf {w}^{2}.}

대수 형식의 증명

벡터 형태는 c = a_i 및_i d = b로_i 설정함으로써_i 비넷-코치 항등식에서 따른다.두 번째 버전은 c와_i d가 각각 a와_i b의 복잡한_i 공역체를 나타내도록 함으로써_i 뒤따른다.

여기 또한 ^[11]직접적인 증거가 있다.왼쪽의 첫 번째 항은 다음과 같이 확장됩니다.

{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}^{j}^{n}a_{i}^{j}^{j}\sum={k2}_1\sum

(1)

즉, as 열과 b 행의 곱은 대각선과 대각선의 양쪽에 있는 한 쌍의 삼각형으로 나눌 수 있는 복근의 정사각형(원소의 합)을 산출합니다.

라그랑주 정체성의 왼쪽에 있는 두 번째 항은 다음과 같이 확장될 수 있다.

\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{k}\right)^{2}=\sum_{k=1}^{n}^{n2}^{k}+2\sum_{n1}\sum_j=i+{n}i}{i}_a}_i}_i}{displaystyleft}

(2)

즉, 대칭 정사각형은 대각선과 대각선 양쪽에 있는 등각 삼각형 쌍으로 나눌 수 있습니다.

라그랑주 항등식의 오른쪽에 있는 합계를 확장하려면 먼저 합계에서 정사각형을 확장합니다.

\sum \sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(a_{j}-{j}b_{i})^{2}=\sum _{i=1}^{n1}\sum _{j=i+1}^{n}\(a_{i}^{j})^{j2}{j}^{n}^{n}{n}{j}{n}\sum}}^{2}b_{i}^2}-2a_{i}b_{j}a_{j}b_{i}\right.}

합계를 우측에 배분한다.

\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}^{n}^{j}^2}^{j}^{n}^{j}^2}}

이제 오른쪽에서 두 번째 항의 지수 i와 j를 교환하고 세 번째 항의 b 인자를 대입하면 다음과 같은 결과가 나옵니다.

\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}^{n}^{j}^2}^{j}^{n}^{j}^2}

(3)

라그랑주 항등식의 왼쪽으로 돌아가면, 식 (1)과 (2)에 의해 확장된 형태로 주어진 두 개의 항이 있습니다.식 (2)의 오른쪽에 있는 첫 번째 항은 식 (1)의 오른쪽에 있는 첫 번째 항을 소거하여 다음과 같이 산출됩니다.

{\displaystyle _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}a_{i}^{2}b_{j2}^{2}+\sum _{j=1}^{n}a_{i}^{n2}^{j}^{n1}\sum_i}_{i}_{n1}_i}_{n-1}_{n}_i}_{n}_{n_i}_i}_{n_i}_i}_n_n_n_i}_i}_n_i}_i

(1) − (2)

식 (3)과 같기 때문에 라그랑쥬의 정체성은 사실 정체성, Q.E.D.입니다.

복소수 라그랑주 동일성 증명

노름분할대수는 곱의 노름과 규범의 곱이 같아야 한다.라그랑쥬의 정체성은 이러한 평등을 보여준다.여기서 기점으로 사용되는 곱의 동일성은 스카토르 대수의 노름의 곱과 곱의 동등성 노름의 결과이다.원래 변형 로렌츠 메트릭의 맥락에서 제시된 이 제안은 쌍곡 스카터 ^[12]대수의 곱 연산과 크기 정의에서 비롯된 변환에 기초한다.라그랑주의 신원은 다양한 방법으로 ^[4]증명될 수 있다.대부분의 파생은 동일성을 출발점으로 사용하며 어떤 식으로든 동등성이 참임을 증명합니다.현재 접근법에서, 라그랑주의 정체성은 사실 ^{[citation needed]}선험적이라 가정하지 않고 도출된다.

$a_{i},b_{i}\in \mathbb {C}$ $a_{i},b_{i}\in \mathbb {C}$ $a_{i},b_{i}\in \mathbb {C}$ C {\ $displaystyle a_{i$ }, $b_{i}\in \mathbb {C}}$ 로 $a_{i},b_{i}\in\mathbb{C}$ $a_{i},b_{i}\in \mathbb {C}$ , 오버바를 복소 켤레로 한다.

제품 아이덴티티

\displaystyle _{i=1}^{n}\left(1-a_{i}{\bar {a}-b_{i}{\bar {a}_{i}{\bar {a}_{i}{\bar {b}_{i}}{\bar {b}={i}\right}=\left(1-n)

직렬 확장에서 4차 항을 고려할 때 복잡한 Lagrange의 정체성으로 감소합니다.

그것을 증명하기 위해서, 제품 아이덴티티의 LHS상에서, 시리즈 마다 제품을 4차까지 확장합니다.이를 위해 ( $\left(1+x_{i}\right)$ + $\left(1+x_{i}\right)$ i $)(\$ 형식의 $\left(1+x_{i}\right)$ 곱은 다음과 같이 합계로 확장할 수 있습니다.

\displaystyle _{i=1}^{n}\left(1+x_{i}\오른쪽)=1+\sum _{i=1}^{n}x_{i}+{\mathcal {O}^3+}(x})}

{\mathcal {O}}^{3+}(x)

서 O 3

{\mathcal {O}}^{3+}(x)

+ (

{\mathcal {O}}^{3+}(x)

x

{\mathcal {O}}^{3+}(x)

) {

style {O}

{{

3+}(x)}

은

\mathcal{O}^{3+}(x)

x

{

style

x

x

에서 차수가 3 이상인 항을 의미합니다.

\prod_{i=1}(1-a_{나는}{\bar{}}_{나는}-b_{나는}{\bar{b}}_{나는}+a_{나는}{\bar{}}_{나는}b_{나는}{\bar{b}}_{나는}\right)=1-\sum _ᆬ^ᆭ\left(a_{나는}{\bar{}}_{나는}+b_{나는}{\bar{b}}_{나는}\right)+\sum _{i=1}^{n}a_{나는}{\bar{}}_{나는}b_{나는}{\bar{b}}_{나는}+\sum _{i<, j}^{n}\left(a_{나는}{\bar{}}_{나는}a_{j}{\bar{}}_{j}+b_{나는}{\bar{b}}_{나는}b_{j}{\bar{b}}_{j}.\right)+\sum _{i}^{n}\left(a_{i}{\bar {a}_{j}{\bar {a}}_{j}+a_{j}{\bar {a}_{j}{\bar {b}_{i}+{mathcal {O}^5}}}^{j}}}.

RHS의 두 가지 요소는 시리즈로 작성됩니다.

\prod_{i=1}(1-a_{나는}{\bar{}}_{나는}\right)\prod _ᆭ^ᆮ\left(1-b_{나는}{\bar{b}}_{나는}\right)=\left(1-\sum_{i=1}^{n}a_{나는}{\bar{}}_{나는}+\sum_{i<. j}^{n}a_{나는}{\bar{}}_{나는}a_{j}{\bar{}}_{j}+{\mathcal{O}}^{5+}\right)\left(1-\sum _{i=1}^{n}b_{나는}{\bar{b}}_{나는}+\sum _{i<, j}^{n}b_{나는}{\bar{b}}_{나는}b_{j}{\bar{b}}_{j}+{\mathca.나는{O}}^{5+}\right).

이 식의 4차수까지의 곱은

\prod_{i=1}(1-a_{나는}{\bar{}}_{나는}\right)\prod _ᆯ^ᆰ\left(1-b_{나는}{\bar{b}}_{나는}\right)=1-\sum _ᆱ^ᆲ\left(a_{나는}{\bar{}}_{나는}+b_{나는}{\bar{b}}_{나는}\right)+\left(\sum_{i=1}^{n}a_{나는}{\bar{}}_{나는}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}b_{나는}{\bar{b}}_{나는}\right)+\sum _{i<, j}^{n}\left(}a_{나는}{\bar{}_{나는}a_{j}{\bar{}}_{j}+b_{나는}{.\bar {b}_{i}b_{j}{\bar {b}_{j}\right)+{\mathcal {O}{5+}.

이 두 가지 결과를 제품 아이덴티티로 대체한다.

\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\bar {a}_{i}{\bar {b}_{i}+\sum _{i}{n}\left(a_{i}{a}_{i}{i}{i}{j}{\bar {j}_{j}{a}{j}{a}{dis}{a}{a}{b}}{a}}{a}{i}}{b}}}{b}{i}{a}}{b}}{i}}{a}}{i}}}

두 켤레 급수의 곱은 켤레 항의 곱을 포함하는 급수로 표현될 수 있습니다.켤레 급수 곱은

\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{x}\right)=\sum _{i}^{n}{\sum {x}_{i}{\bar {x}{x}{x}{x}{x}{\i}{x}{x}{x}{x}{x}{\i}{x}{\i}{x}{x}{x}{x}\leftwhy}\left(\i}{x}

따라서

\left(\sum_{i=1}^{n}a_{나는}b_{나는}\right)\left(\sum_{i=1}^{n}{\overline{a_{나는}b_{나는}}}\right)-\sum_{i<, j}(a_{나는}b_{나는}{\bar{}}_{j}{\bar{b}}_{j}+{\bar{}}_{나는}{\bar{b}}_{나는}a_{j}b_{j}\right)+\sum _ᆮ^ᆯ\left(a_{나는}{\bar{}}_{나는}b_{j}{\bar{b}}_{j}+a_{j}{\bar{}}_{j}b_{나는}{\bar{b}}_{나는}\right)=\left(\sum _{i=1}^{n}a_{나는}.{\bar{a}_{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}b_{i}{\bar {b}_{i}\right).

LHS의 마지막 두 시리즈의 용어는 다음과 같이 분류된다.

{\displaystyle a_{i}{\bar {a}_{i}{\bar {b}_{j}+a_{j}{\bar {a}_{i}-a_{i}b_{i}{i}{\bar {a}}{j}{bar}{bar}-{j}{b}{bar}{b}{bar}{b}{bar}{b}{b}{j}{j}{bar}{bar}{bar}{bar}{bar}{b}{b}{b}{

복잡한 라그랑주의 정체성을 얻기 위해:

\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{i}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}\overline {a_{i}b_{i}}\right)+\sum _{i}^{n}\left(a_{i}{j}_j}_j}-{j}}

모듈리의 관점에서 보면

\left \sum _{i=1}^{n}^{2}+\sum_{i}^{n}\left a_{i}{\bar {b}_{j}-a_{j}{\bar {b}_{i}_{\left ^{n}^{i}\sum_{i}\left}^{i}{i}{i}\left}

복소수에 대한 Lagrange의 아이덴티티는 단순한 제품 아이덴티티에서 얻은 것입니다.실수에 대한 파생은 분명히 훨씬 더 간결하다.Cauchy-Schwarz 부등식이 라그랑주 ^[4]동일성의 특정 사례이기 때문에, 이 증거는 CS 부등식을 얻는 또 다른 방법이다.급수의 고차 항은 새로운 정체성을 생성합니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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외부 링크

Weisstein, Eric W. "Lagrange's Identity". MathWorld.

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[5] Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). Function Theory of One Complex Variable. Providence, R.I.: American Mathematical Society. p. 22, Exercise 16. ISBN 978-0-8218-2905-9.

[6] 를 클릭합니다Palka, Bruce P. (1991). An Introduction to Complex Function Theory. Berlin, New York: Springer-Verlag. p. 27, Exercise 4.22. ISBN 978-0-387-97427-9..

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[Lounesto1-8] Pertti Lounesto (2001). Clifford algebras and spinors (2nd ed.). Cambridge University Press. p. 94. ISBN 0-521-00551-5.

[Lounesto-9] Door Pertti Lounesto (2001). Clifford algebras and spinors (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00551-5. 특히⁷ R, 페이지 96의 § 7.4 크로스 제품을 참조한다.

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[Jones-11] 예를 들어, Frank Jones, Rice University, 아직 출판되지 않은 책의 7장 4페이지를 참조하십시오.

[12] M. Fernandez-Guasti, 상대론적 속도 구성에 대한 대안적 실현, 광학 및 광자학 2011, 빛의 성질 제8121권:광자가 뭐죠?IV, 페이지 812108–1–11. SPIE, 2011.

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라그랑주 방정식과 외부 대수

라그랑주 방정식과 벡터 미적분

7차원

쿼터니온스

대수 형식의 증명

복소수 라그랑주 동일성 증명

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