영국 국기 정리

유클리드 기하학에서 영국 국기 정리에서는 직사각형 ABCD 안에서 P점을 선택하면 직사각형의 P에서 반대쪽 두 모서리에 이르는 유클리드 거리의 제곱합이 다른 두 모서리에 대한 합과 같다고 말한다.^[1][2][3] 방정식으로 다음과 같다.

${\displaystyle AP^{2}+CP^{2}=BP^{2}+DP^{2}.\,}$

정리는 직사각형 바깥 지점에도 적용되며, 보다 일반적으로 유클리드 공간의 한 지점에서 공간에 내장된 직사각형의 모서리까지의 거리에도 적용된다.^[4] 더욱 일반적으로는 P점에서 평행그램의 반대쪽 모서리의 두 쌍까지의 거리의 제곱합계를 비교한다면, 일반적으로 두 합은 같지 않지만, 두 합의 차이는 P의 선택이 아닌 평행그램의 모양에 따라 달라질 것이다.^[5]

그 정리는 피타고라스 정리의 일반화로도 생각할 수 있다. 직사각형의 네 가지 꼭지점 중 하나에 P점을 놓으면 직사각형의 대각선이 직사각형의 폭과 길이의 제곱합과 같게 되는데, 이것이 피타고라스 정리인 것이다.

증명

그림에서와 같이 P 지점에서 직사각형의 측면까지 수직선을 떨어뜨려 W, X, Y, Z 지점에서 AB, BC, CD, AD를 각각 만난다. 이 네 지점 WXYZ는 교정치각 사각형의 정점을 형성한다. 피타고라스 정리를 오른쪽 삼각형 AWP에 적용하고, WP = AZ를 관찰함으로써, 그것을 따른다.

• ${\displaystyle AP^{2}=AW^{2}+WP^{2}=AW^{2}+AZ^{2}}$

그리고 유사한 논거에 의해 P에서 다른 세 모서리에 이르는 거리의 제곱은 다음과 같이 계산할 수 있다.

• ${\displaystyle PC^{2}=WB^{2}+ZD^{2},}$
• ${\displaystyle BP^{2}=$$WB$$^{2}+AZ^{2},}$ 및
• ${\displaystyle PD^{2}=ZD^{2}+AW^{2}}$

따라서 다음과 같다.

${\displaystyle {\reasoned}AP^{2}+PC^{2}&=\좌측(AW^{2}+AZ^{2}\우측)+\좌측(WB^{2}+ZD^{2}\우측)\[4pt]&=\좌측(WB^{2}+AZ^{2}\우측)+좌측(ZD^{2})+좌측(ZD^2}AW^{2}\right)\\[4pt]&=BP^{2}+PD^{2}\end{aigned}}}$

이름 지정

이 정리는 P에서 직사각형의 모서리로 가는 선을 증명에 사용된 수직선과 함께 그렸을 때 완성된 그림이 유니온 깃발을 닮았다는 사실에서 그 이름을 따왔다.

참고 항목

• 피자 정리

참조

추가 읽기

• 응우옌민 하, 다오 탄 오아이: 영국 국기 정리의 흥미로운 적용. Global Journal of Advanced Research on Classic and Modern Geometries, Volume 4(2015), 발행물 1, 페이지 31–34.
• 마틴 가드너, 다나 S 리차드(ed): 짧은 퍼즐과 문제들에 대한 거대한 책 W. W. Norton, 2006, ISBN 978-0-393-06114-7, 페이지 147, 159 (문제 6.16)

외부 링크

위키미디어 커먼스는 영국 국기 정리 관련 매체를 보유하고 있다.

• 영국 국기 정리 artofproblemsolving.com
• 마이크로소프트의 직사각형 코너 인터뷰 질문을 풀 수 있는가? (비디오, 5분 41초)