유클리드의 원소

원소

헨리 빌링슬리 경의 유클리드의 첫 영어판 유클리드의 원소, 1570년의 제목 페이지. 르네상스 시대에 유클리드는 흔히 메가라의 철학자 유클리드와 혼동되었습니다.
작가.	유클리드
언어	고대 그리스어
주제	평면 및 입체 기하학, 수론, 불가분의 선
장르.	수학
발행일자	c. 기원전 300년
페이지	13권

원소(그리스어: σ τοιχεῖα 스토이케 î라)는 기원전 300년 고대 그리스 수학자 유클리드의 것으로 추정되는 13권의 책으로 구성된 수학 논문입니다. 정의, 공준, 명제(정리와 구성), 명제의 수학적 증명의 집합입니다. 그 책들은 평면과 견고한 유클리드 기하학, 기초 수론, 그리고 헤아릴 수 없는 선들을 다룹니다. 원소는 현존하는 수학의 가장 오래된 대규모 연역적 처리입니다. 그것은 논리학과 현대 과학의 발전에 중요한 역할을 했고, 논리적 엄격함은 19세기에 이르러서야 능가할 수 있었습니다.

유클리드의 원소들은 지금까지 쓰여진 교과서들 중 가장^[a][b] 성공적이고^[c] 영향력 있는 교과서로 언급되어 왔습니다. 인쇄기가 발명된 후 인쇄된 가장 초기의 수학 작품 중 하나였으며, 1482년 첫 인쇄 이후 출판된 판수에서 성경 다음으로 많은 것으로 추정되며,^[1] 그 수는 1,000권을 훨씬 넘었습니다.^[d] 사분오열이 모든 대학생의 교육과정에 포함된 수세기 동안, 유클리드의 원소들 중 적어도 일부에 대한 지식은 모든 학생들에게 요구되었습니다. 그 내용이 다른 학교 교과서를 통해 보편적으로 가르쳐진 20세기가 되어서야 모든 교육을 받은 사람들이 읽은 것으로 간주되기 시작했습니다.^{[citation needed]}

역사

초기작업기준

학자들은 원소들이 주로 초기 그리스 수학자들의 책을 바탕으로 한 명제들의 집대성이라고 믿고 있습니다.^[3]

유클리드 이후 약 7세기 후에 살았던 그리스 수학자 프로클로스(412년–485년)는 그의 원소 해설에서 "유클리드는 유독소스의 많은 정리들을 모아 테아테투스의 많은 것들을 완벽하게 만들었다"고 썼습니다. 또한 그의 전임자들에 의해 어느 정도 느슨하게 증명되었을 뿐인 것들을 깨지지 않는 증명으로 이끌었습니다."

피타고라스 c.(기원전 570년-495년)는 대부분의 책 I과 II의 출처였을 것이고, 키오스의 히포크라테스 (기원전 470년-410년,c. 더 잘 알려진 코스의 히포크라테스가 아닌)는 3권, 크니도스의 c.에우독소스 (기원전 408년-355년)는 5권의 출처였을 것이고, 반면에 4권, 6권, 11권, 12권은 다른 피타고라스나 아테네의 수학자들로부터 유래했을 것입니다.^[4] 이 원소들은 키오스의 히포크라테스의 초기 교과서를 바탕으로 한 것일 수도 있는데, 이 교과서는 그림을 가리키는 문자의 사용에서 비롯되었을 수도 있습니다.^[5] 그 밖에 마그네시아의 테우디우스, 레온, 콜로폰의 헤르모티무스 등도 비슷한 작품을 쓴 것으로 전해지고 있습니다.^[6][7]

문자전송

서기 4세기에 알렉산드리아의 테온은 유클리드 판본을 제작했는데, 이 판본은 매우 널리 사용되어 1808년 바티칸에서 프랑수아 페이라르가 테온의 것에서 유래하지 않은 사본을 발견할 때까지 유일하게 남아있는 자료가 되었습니다. 이 필사본인 하이베르크 필사본은 900년경 비잔틴 작업장에서 나온 것으로 현대판의 기초가 됩니다.^[8] Papyrus Oxyrhynchus 29는 훨씬 더 오래된 원고의 아주 작은 조각이지만, 한 명제의 진술만을 담고 있습니다.

예를 들어, 유클리드가 키케로에게 알려졌지만, 5세기나 6세기에 보에티우스 이전에 라틴어로 번역되었다는 기록은 없습니다.^[2] 아랍인들은 760년경 비잔티움 제국으로부터 원소를 받았고, 이 버전은 800년경 Harun al Rashid가 아랍어로 번역했습니다.c.^[2] 비잔틴 학자 아레스는 9세기 후반 현존하는 유클리드의 그리스 사본 중 하나를 복제하도록 의뢰했습니다.^[9] 비잔티움에서 알려졌지만, 1120년경 바스의 영국 수도사 아델라드가 아랍어 번역에서 라틴어로 번역할 때까지 원소들은 서유럽에 빼앗겼습니다.^[e] 비교적 최근에 발견된 것은 시칠리아의 팔레르모에서 12세기의 그리스어 대 라틴어 번역본입니다. 번역자의 이름은 그가 알마게스트를 라틴어로 번역하기 위해 팔레르모를 방문했던 살레르노 출신의 익명의 의대생이라는 것 외에는 알려지지 않았습니다. 유클리드 필사본은 현존하고 있으며 상당히 완전합니다.^[11]

바스의 아델라드(아델라드 1세)의 번역 이후 아랍어 번역이 빗발쳤습니다. 이 시기에 주목할 만한 번역가로는 1140년경에 판본을 쓴 카린티아의 헤르만, 체스터의 로베르(그의 원고들은 1251년 또는 1251년 이전에 쓰여진 아델라드 2세라고 통칭됨), 타인머스의 요한(그의 원고들은 아델라드 3세라고 통칭됨), 12세기 후반에 쓰여진 요하네스 드 티네무에(^[12]그의 원고들은 아델라드 3세라고 통칭됨), 크레모나의 제라드(1120년 이후, 1187년 이전). 이러한 번역에 관한 정확한 세부 사항은 여전히 활발한 연구 분야입니다.^{[13][page needed]} 노바라의 캄파누스는 이러한 아랍어 번역에 크게 의존하여 그의 판본(1260년 이전)을 만들었고, 궁극적으로 16세기에 그리스어 필사본이 나올 때까지 라틴어 판본을 지배하게 되었습니다. 1482년 이전의 캄파누스 필사본은 오늘날에도 100개 이상 남아 있습니다.^[14][15]

최초의 인쇄판은 1482년(캄파누스의 번역에 근거함)에 등장했고,^[16] 그 이후로 많은 언어로 번역되어 약 천 개의 다른 판본으로 출판되었습니다. 테온의 그리스 판본은 파리 gr. 2343과 베네투스 마르시아누스 301을 바탕으로 1533년에^[17] 회수되었습니다.^[18] 1570년 존 디는 헨리 빌링슬리의 첫 영어판에 수많은 노트와 보충 자료와 함께 널리 존경받는 "수학 서문"을 제공했습니다.

그리스어 본문의 사본은 여전히 존재하며, 그 중 일부는 바티칸 도서관과 옥스퍼드의 보들리언 도서관에서 찾을 수 있습니다. 이용 가능한 원고는 품질이 다양하며 항상 불완전합니다. 번역본과 원문을 면밀하게 분석하여 원문의 내용에 대한 가설을 세웠습니다(본은 더 이상 구할 수 없습니다).

원소 자체를 언급하는 고대 문헌과 그것이 쓰여질 당시에 현재에 있었던 다른 수학 이론들도 이 과정에서 중요합니다. 이러한 분석은 J. L. Heeberg와 Thomas Little Heath 경에 의해 그들의 본문 판에서 수행됩니다.

또한 중요한 것은 스콜라 또는 텍스트에 대한 주석입니다. 종종 (원고에 따라) 본문과 구별되는 이러한 추가 사항은 설명할 가치가 있는 것이나 더 연구할 가치가 있는 것에 따라 의견이 달라짐에 따라 시간이 지남에 따라 점차 축적되었습니다.

영향을 주다

원소는 여전히 논리학을 수학에 적용하는 데 있어 걸작으로 여겨집니다. 역사적 맥락에서, 그것은 과학의 많은 분야에서 엄청난 영향력을 입증했습니다. 과학자 니콜라우스 코페르니쿠스, 요하네스 케플러, 갈릴레오 갈릴레이, 알버트 아인슈타인, 아이작 뉴턴 경은 모두 원소의 영향을 받았고, 그들의 지식을 그들의 연구에 적용했습니다.^[19][20] 토마스 홉스, 바룩 스피노자, 알프레드 노스 화이트헤드, 버트런드 러셀과 같은 수학자와 철학자들은 유클리드의 연구가 도입한 공리화된 연역 구조를 채택함으로써 각자의 학문을 위한 자신의 기초 "요소"를 창조하려고 시도했습니다.

유클리드 기하학의 소박한 아름다움은 서구 문화권의 많은 사람들에게 완벽함과 확실성의 다른 세계적인 시스템을 보여주는 것으로 여겨졌습니다. 아브라함 링컨은 안장 주머니에 유클리드 사본을 넣고, 밤늦은 시간에 등불을 켜서 연구했습니다. 그는 자신에게 이렇게 말했다고 합니다. "당신은 시위의 의미를 이해하지 못하면 결코 변호사를 만들 수 없습니다. 그리고 저는 스프링필드에서 제 상황을 떠나 아버지 집으로 돌아갔습니다. 유클리드의 여섯 권의 책에서 어떤 명제를 제시할 수 있을 때까지 거기에 머물렀습니다."^[21][22] 에드나 가 빈센트 밀레이(Vincent Millay)는 그녀의 소네트에 "유클리드만이 아름다움을 맨몸으로 보았다", "오, 눈이 먼 시간, 오 거룩하고 끔찍한 날, 그의 시야에 있는 샤프트가 처음으로 빛을 발했을 때, 해부되었다!"라고 썼습니다. 알베르트 아인슈타인은 유클리드를 "거룩한 작은 기하학 책"이라고 언급하면서, 어린 시절 그에게 큰 영향을 준 두 가지 선물로 원소 사본과 자기 나침반을 떠올렸습니다.^[23][24]

원소의 성공은 주로 유클리드가 사용할 수 있는 대부분의 수학적 지식을 논리적으로 제시한 데 기인합니다. 많은 증거들이 그의 것이기는 하지만, 많은 자료들이 그에게 독창적이지는 않습니다. 그러나 유클리드가 작은 일련의 공리로부터 깊은 결과에 이르기까지 자신의 주제를 체계적으로 발전시킨 것과 원소 전체에 걸친 그의 접근 방식의 일관성은 약 2,000년 동안 교과서로 사용되는 것을 장려했습니다. 원소는 여전히 현대 기하학 책에 영향을 미칩니다. 또한 논리적이고 공리적인 접근과 엄격한 증명은 수학의 기본 요소로 남아 있습니다.

현대수학에서는

유클리드가 현대 수학에 미친 가장 주목할 만한 영향 중 하나는 평행선 공준에 대한 논의입니다. 1권에서 유클리드는 5개의 공준을 열거하고 있으며, 그 중 5번째 공준은 다음과 같이 규정하고 있습니다.

선분이 두 개의 직각보다 작은 두 개의 내각을 이루는 동일한 면에서 두 개의 직선과 교차하는 경우 두 개의 선은 무한히 확장된 경우 각도가 두 개의 직각보다 작은 두 개의 직각과 만나는 면에서 만나게 됩니다.

이 공준은 다른 4개의 공준과 비교했을 때 겉보기에는 복잡해서 수세기 동안 수학자들을 괴롭혔습니다. 나머지 4개를 토대로 다섯 번째 공준을 증명하려는 많은 시도가 있었지만 성공하지 못했습니다. 결국 1829년, 수학자 니콜라이 로바체프스키는 다른 형태의 평행 공준을 가정한 기하학인 급성기하학(또는 쌍곡기하학)에 대한 설명을 출판했습니다. 실제로 제5 공준을 완전히 사용하지 않거나 다른 버전의 제5 공준(타원 기하학)을 사용하여 유효한 기하학을 만들 수 있습니다. 만약 어떤 사람이 다섯 번째 공준을 주어진 것으로 받아들인다면, 그 결과는 유클리드 기하학입니다.^{[citation needed]}

내용물

• 1권은 5개의 공준(평행 공준 포함)과 5개의 공통 개념을 담고 있으며, 피타고라스 정리, 각과 넓이의 균등성, 평행성, 삼각형의 각의 합, 다양한 기하 도형의 구성 등 평면 기하학의 중요한 주제를 다루고 있습니다.
• 2권은 직사각형과 정사각형의 동등성에 관한 여러 가지 레마를 포함하고 있으며, 때때로 "기하대수"라고도 불리며, 황금비의 구성과 임의의 직육면체 평면 도형과 면적이 같은 정사각형을 구성하는 방법으로 마무리됩니다.
• 3권은 원과 원의 성질, 즉 중심 찾기, 내접각, 접선, 점의 거듭제곱, 탈레스 정리를 다루고 있습니다.
• 4권은 삼각형의 내원과 원, 그리고 4, 5, 6, 15개의 변을 가진 정다각형을 구성합니다.
• 5권은 고도의 비율에 관한 것으로, 에우독소스에 의해 개발되었을 가능성이 있는 매우 정교한 비율 이론을 제공하며, "대체"와 같은 성질을 증명합니다(만약 a: b: c: d, a: c: b: d).
• 6권은 평면 기하학, 특히 유사한 도형의 구성과 인식에 비례를 적용합니다.
• 7권은 나눗셈, 소수와 합성수와의 관계, 유클리드의 최대공약수 찾기 알고리즘, 최소공약수 찾기 등 기초적인 수론을 다루고 있습니다.
• 8권은 정수의 기하학적 수열의 구성과 존재에 대해 다루고 있습니다.
• 9권은 앞의 두 권의 책의 결과를 적용하여 소수의 무한성과 모든 짝수의 구성을 제시하고 있습니다.
• 책 10은 $비제곱{\displaystyle \sqrt{\mathrm{}}}$ 정수(예: 2 ${\$의 제곱근의 비합리성을 증명하고, 불감산 선의 제곱근을 13개의 서로 다른 범주로 분류합니다. 여기서 유클리드는 현대의 무리수 개념과는 다른 의미의 '무리수'라는 용어를 소개합니다. 그는 또한 피타고라스 세쌍원소를 생산하는 공식을 제공합니다.^[25]
• 책 11은 책 6의 결과를 수직, 평행, 부피, 평행 등의 입체로 일반화합니다.
• 12권에서는 적분의 전조인 소진법을 이용하여 원뿔, 피라미드, 원기둥의 부피를 자세히 연구하고 있으며, 예를 들어 원뿔의 부피가 해당 원기둥의 부피의 3분의 1임을 보여주고 있습니다. 그것은 많은 피라미드들의 조합에 의해 그것의 부피를 근사함으로써 구의 부피가 반지름의 세제곱에 비례한다는 것을 보여줌으로써 결론을 맺습니다.
• 책 13은 구에 새겨진 다섯 개의 규칙적인 플라톤 입체를 구성하고, 그것들의 모서리와 구의 반지름의 비율을 비교합니다.

유클리드의 원소 요약 내용

책	I	II	III	Ⅳ	V	Ⅵ	7세	VIII	IX	X	XI	12	13세	합계
정의들	23	2	11	7	18	4	22	–	–	16	28	–	–	131
공준	5	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	5
일반적인 개념	5	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	–	5
명제	48	14	37	16	25	33	39	27	36	115	39	18	18	465

유클리드의 표현방식과 양식

유클리드의 공리적 접근과 건설적 방법은 매우 큰 영향을 미쳤습니다.

유클리드의 많은 명제는 나침반과 직선을 사용하여 물체를 구성하는 데 사용된 단계를 자세히 설명함으로써 어떤 형상의 존재를 증명하는 건설적인 것이었습니다. 그의 건설적 접근은 심지어 그의 기하학의 가설에서도 나타나는데, 선과 원의 존재를 나타내는 첫 번째와 세 번째 가설이 건설적이기 때문입니다. 그는 선과 원이 자신의 사전 정의에 따라 존재한다고 말하는 대신 선과 원을 '구성'하는 것이 가능하다고 말합니다. 또한 그가 증명 중 하나에서 도형을 사용하려면 이전 명제에서 도형을 구성해야 할 것으로 보입니다. 예를 들어, 그는 먼저 직각삼각형의 변에 정사각형을 새겨넣어 피타고라스 정리를 증명하지만, 앞서 주어진 선 하나의 명제 위에 정사각형을 만든 후에야 증명합니다.^[27]

고대 수학 문헌에서 흔히 볼 수 있듯이, 어떤 명제가 여러 경우에 증명을 필요로 할 때 유클리드는 종종 그 중 하나만 증명하고(종종 가장 어려운 경우) 나머지는 독자에게 맡겼습니다. 테온과 같은 후대의 편집자들은 종종 이러한 경우에 대한 자신의 증명을 보간했습니다.

유클리드의 발표는 그의 시대에 공통 화폐로 쓰인 수학적 아이디어와 표기법에 의해 제한되었고, 이것은 현대 독자들에게 어떤 곳에서는 그 대우가 어색하게 보이게 합니다. 예를 들어, 두 개의 직각보다 큰 각도에 대한 개념은 없었고,^[28] 숫자 1은 다른 양의 정수와 분리되어 취급되기도 했으며, 곱셈이 기하학적으로 취급되었기 때문에 그는 3개 이상의 다른 수의 곱을 사용하지 않았습니다. 수론을 기하학적으로 다룬 것은 그 대안이 극도로 어색한 알렉산드리아의 수 체계였을 것이기 때문일 것입니다.^[29]

유클리드가 발명하지는 않았지만 전형적으로 고전적인 것으로 인식되는 양식화된 형태로 각 결과를 제시합니다. 6가지 다른 부분이 있습니다. 첫째는 '발음'인데, 그 결과를 일반적인 용어(즉, 명제의 진술)로 진술하는 것입니다. 그런 다음 도형을 제공하고 문자로 특정 기하학적 물체를 나타내는 '설정'이 나타납니다. 그다음에 '정의' 또는 '사양'이 나오는데, 이는 특정 수치의 의미로 발음을 재작성합니다. 그러면 '건설'이나 '기계'가 뒤따릅니다. 여기서 원래 수치를 확장하여 증명을 전달합니다. 그러면 '증명' 자체가 뒤따릅니다. 마지막으로 '결론'은 증명에서 도출된 구체적인 결론을 일반적인 발음으로 진술함으로써 증명과 발화를 연결합니다.^[30]

데이터는 요소의 첫 번째 네 권에서 발생하는 문제 유형에 접근하는 방법에 대한 지침을 제공하지만 결과로 이어진 추론 방법에 대한 지침은 제공되지 않습니다.^[4] 일부 학자들은 유클리드가 증명에서 도형을 사용한 것을 트집 잡으려 했고, 특히 제1권 명제 II에 관한 일반적인 기초 논리가 아닌 그려지는 특정 도형에 의존하는 증명을 썼다고 비난했습니다. 그러나 이 명제에 대한 유클리드의 원래 증명은 일반적이고 타당하며 하나의 주어진 구성을 예시하기 위해 예시로 사용되는 그림에 의존하지 않습니다.^[31]

비평

유클리드의 원소 공리 목록은 포괄적인 것이 아니라 가장 중요한 원리를 나타냈습니다. 그의 증명들은 종종 그의 공리 목록에 원래 제시되지 않았던 공리적인 개념들을 불러 일으킵니다. 이후 편집자들은 유클리드의 암묵적 공리 가정을 형식적 공리 목록에서 보간했습니다.^[32]

예를 들어, 1권의 첫 번째 구성에서 유클리드는 반지름 거리에 중심이 있는 두 원이 두 점에서 교차할 것이라는 가정도 증명도 되지 않은 전제를 사용했습니다.^[33] 나중에 네 번째 구성에서 그는 두 변과 각도가 같으면 합동임을 증명하기 위해 중첩(서로 위에 있는 삼각형을 이동)을 사용했습니다. 이러한 고려 동안 그는 중첩의 일부 속성을 사용하지만 이러한 속성은 논문에서 명시적으로 설명되지 않습니다. 중첩이 기하학적 증명의 유효한 방법으로 간주된다면, 모든 기하학은 그러한 증명으로 가득 차 있을 것입니다. 예를 들어 명제 I.2와 I.3은 중첩을 사용하여 사소한 증명이 가능합니다.^[34]

수학자이자 역사학자인 W. W. 루스 볼은 "2000년 동안 [원소]가 그 주제에 대한 일반적인 교과서였다는 사실은 그것이 그 목적에 적합하지 않다는 강력한 추정을 불러일으킨다"고 언급하며 비판을 원근적으로 해석했습니다.^[28]

아포크리파

고대에는 그들이 쓰지 않은 유명한 작가들의 작품을 귀속시키는 것이 드물지 않았습니다. 이러한 방법으로 원소의 외전서 XIV와 XV가 때때로 이 모음집에 포함되었습니다.^[35] 가짜 14권은 아마도 아폴로니오스의 논문에 기초하여 힉시클레스에 의해 쓰여진 것으로 보입니다. 이 책은 유클리드가 구에 새겨진 규칙적인 고체를 계속 비교하는데, 주된 결과는 같은 구에 새겨진 정십이면체와 정십이면체의 표면의 비율은 부피의 비율과 같고, 그 비율은 다음과 같습니다.

가짜 15권은 적어도 부분적으로는 밀레투스의 이시도레에 의해 쓰여진 것으로 보입니다. 이 책은 정고체에서 모서리의 개수와 입체각을 세고, 모서리에서 만나는 면의 정이면체 각도의 측도를 구하는 것과 같은 주제를 다루고 있습니다.^[f]

판본

• 4세기, 알렉산드리아의 테온, 현존하는 888년의 필사본.
• 9세기, 테온 페야드 이전의 바트. 190.
• 1482년 이전의 많은 중세 판본들
• 1460년대, 레지오몬타누스 (불완전)
• 1482, 에르하르트 라트돌트 (베니스), 편집 왕자들 (라틴어로)^[36][37]
• 1533년 시몬 그리네우스의^[38] 그리스어 본문 편집 왕자들
• 1557, Jean Magnien and Pierre de Montdoré [fr], Stephanus Gracilis에 의해 검토됨(완전한 증명은 없고, 명제만 있을 뿐, 그리스어 원본과 라틴어 번역본을 포함함)
• 1572, Commandinus 라틴어판
• 1574년 크리스토프 클라비우스
• 1883년-1888년 요한 루드비히 하이베르크

번역문

• 1505, 바르톨로메오 잠베르티[de] (라틴어)
• 1543년 니콜로 타르탈리아 (이탈리아어)
• 1557, Jean Magnien and Pierre de Montdoré, Stephanus Gracilis에 의해 검토됨 (그리스어에서 라틴어로)
• 1558년 요한 슈벨 (독일어)
• 1562년 야콥 쿤디그(독일어)
• 1562년 빌헬름 홀츠만 (독일어)
• 1564–1566, 피에르 포르카델 드 베지에 (프랑스어)
• 1570, 헨리 빌링슬리 (영어)
• 1572년 특공대 (라틴어)
• 1575년 특공대 (이탈리아어)
• 1576, 로드리고 데 자모라노 (스페인어)
• 1594, 타이포그라피아 메디체아 (유클리드의 "요소들"의 아랍어 번역판)^[39]
• 1604, Jean Erard [fr] de Bar-le-Duc (프랑스어)
• 1606, 얀 피에테르존 두 (네덜란드)
• 1607, 마테오 리치, 쉬광치 (중국어)
• 1613년 피에트로 카탈디 (이탈리아어)
• 1615, 데니스 헨리온 (프랑스어)
• 1617, 프란스 반 슈텐 (네덜란드)
• 1637, L. 카르두치 (스페인어)
• 1639년 피에르 헤리고네 (프랑스어)
• 1651년 하인리히 호프만(독일어)
• 1651, 토마스 러드 (영어)
• 1660, 아이작 배로우 (영어)
• 1661년 존 리크와 지오. serle (영어)
• 1663, 도메니코 마그니 (이탈리아어: 라틴어에서 온)
• 1672, 클로드 프랑수아 밀리에 데찰스 (프랑스어)
• 1680년 비탈레 조르다노 (이탈리아어)
• 1685, 윌리엄 핼리팩스 (영어)
• 1689년 야곱 크네사(스페인어)
• 1690년 빈센초 비비아니 (이탈리아어)
• 1694, 개미. 에른스트 부르크 대 피르켄슈타인(독일어)
• 1695, Claes Jansz Vooght (Dutch)
• 1697, 사무엘 레이허 (독일어)
• 1702, 헨드릭 코에츠 (네덜란드)
• 1705년 찰스 스카버러 (영어)
• 1708, John Keill (영어)
• 1714년, Chr. Schessler (독일어)
• 1714, W. Whiston (영어)
• 1720년대, Jagannatha Samrat (산스크리트어, 나시르 알딘 알투시의 아랍어 번역에 기초)^[40]
• 1731년 귀도 그란디 (이탈리아어의 약자)
• 1738년 이반 사타로프 (러시아계 프랑스인)
• 1744년 모르텐 슈트뢰머 (스웨덴)
• 1749년 데찰스 (이탈리아어)
• 1749, 메디오스 안트라키티스 (μ εθόδιος α νθρα κίτης) (그리스어)
• 1745, 어니스트 고틀립 지겐발그 (덴마크)
• 1752, 레오나르도 시메네스 (이탈리아어)
• 1756, 로버트 심슨 (영어)
• 1763년 피보 스텐스트라 (네덜란드)
• 1768, 안젤로 브루넬리 (포르투갈어)
• 1773, 1781, J. F. 로렌츠 (독일어)
• 1780년, 바루흐 쉬크 오브 슈클로프 (히브루)^[41]
• 1781, 1788 제임스 윌리엄슨 (영어)
• 1781년 윌리엄 오스틴 (영어)
• 1789년, Pr. 수보로프 나드 요스. 니키틴(그리스어에서 온 러시아어)
• 1795, John Playfair (영어)
• 1803년 H.C. 린더업 (덴마크)
• 1804, 프랑수아 페이라르 (프랑스어). 페이라르는 1808년 바티칸 그레쿠스 190을 발견하여 1814-1818년에 최초의 최종판을 제공할 수 있었습니다.
• 1807년, 요제프 체코어 (그리스어, 라틴어, 영어판에 기초한 폴란드어)
• 1807, J. K. F. 하우프 (독일어)
• 1818년 빈센조 플로티 (이탈리아어)
• 1820년 레스보스의 벤야민 (현대 그리스어)
• 1826년 조지 필립스(영어)
• 1828년, 조. 조쉬와 이그. 호프만 (독일어)
• 1828, 디오니시우스 라드너 (영어)
• 1833, E.S. 웅거(독일어)
• 1833년 토마스 페로넷 톰슨 (영어)
• 1836년 H. Falk (스웨덴)
• 1844, 1845, 1859, P. R. 브로켄헬름 (스웨덴)
• 1850, F. A. A. Lundgren (Swedish)
• 1850년, H. A. 비트와 M. E. 아레스콩 (스웨덴)
• 1862년, 아이작 토드헌터 (영어)
• 1865년, 사뮤엘 브라사이 (헝가리)
• 1873년 야마다 마사쿠니(일본어)
• 1880년, 바첸코 자하르트첸코(러시아어)
• 1897년, 티라 에이베 (덴마크)
• 1901년 막스 시몬(독일어)
• 1907년 ^[42]프란티셰크 세르빗
• 1908년 토마스 리틀 히스 (영어)
• 1939, R. Catesby Taliaferro (영어)
• 1953, 1958, 1975, 에반겔로스 스타마티스 (ε υάγγελος σ τ알파 µάτης) (현대 그리스어)
• 1999, 마자 후돌레냐크 그르기치 (제1-6권) (크로아티아어)^[43]
• 2009, 이리뉴 비쿠도 (포르투갈어)
• 2019, 알리 시난 세르토즈 (터키어)^[44]
• 2022, Ján Čižmár (Slovak)

북 아이 에디션

• 1886, 유클리드 북 I Hall & Stevens (영어)
• 1891,1896, 에드워드 랭글리와 시스 필립스의 하퍼 유클리드 (영어)
• 1949년 헨리 레그너리 컴퍼니

현재 인쇄 중인 선택된 에디션

• 유클리드의 요소들 – 13권 모두 히스의 번역을 바탕으로, 데이나 덴스모어가 편집한 책 등 한 권으로 완성됩니다. 그린 라이온 프레스 ISBN1-888009-18-7.
• 요소: 제1~제X권III – The Complete and Unabriged, (2006) Thomas Heath 경 옮김, Barnes & Noble ISBN 0-7607-6312-7
• 히스, 토마스 L. (1956)의 유클리드의 원소 13권, 번역 및 해설 3권. 도버 출판사. ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3)
• 평면기하학(유클리드의 요소 리덕스) 책 I–VI, John Casey의 번역, Daniel Callahan 편집, ISBN 978-197730039

Oliver Byrne의 판본을 기반으로 한 선별된 판본

• Werner Oechslin 편집, Taschen, 2010, ISBN 3836517752, Byrne (1847)의 팩시밀리.
• 올리버 번의 유클리드의 요소, 예술이 과학을 만나다, 2022, 번의 팩시밀리, ISBN 978-1528770439.
• 유클리드의 요소들: 올리버 번의 작품을 완성하다, 크로네커 월리스, 2019년, 나머지 요소들로 확장된 현대적인 다시 그리기, 원래 킥스타터에서 시작되었습니다.

무료 버전

• 유클리드의 원소 리덕스 1권에는 책 I-이 수록되어 있습니다.존 케이시의 번역을 바탕으로 한 III.^[45]
• 유클리드의 원소 리덕스 2권에는 존 케이시의 번역을 바탕으로 한 책 IV~VIII가 수록되어 있습니다.^[45]

참고 항목

• 신부의 의자

참고문헌

메모들

인용

원천

외부 링크

• 클라크 대학교 유클리드의 원소
• 폴리글로타 비블리오테카의 엘레멘타 다국어판
• Euclid (1997) [c. 300 BC]. David E. Joyce (ed.). "Elements". Retrieved 2006-08-30. 자바 기반의 대화형 도형이 있는 HTML에서.
• Richard Fitzpatrick의 이중 언어판(PDF 무료 다운로드 가능, 현대 영어 번역 외에 그리스어 원본과 함께 2열 형식으로 타이프 설정, ISBN 979-8589564587로도 인쇄 가능)
• Heath의 영문 번역(HTML, 수치 없음, 공용 도메인) (2010년 2월 4일 접속)
  • 히스의 영문 번역 및 해설, 그림(Google Books): vol. 1, vol. 2, vol. 3, vol. 3 c. 2
• Oliver Byrne의 1847년 판 (archive.org 에서도 주최) – ABC ( scanned 페이지 이미지, 퍼블릭 도메인)와 같은 레이블이 아닌 색상을 사용한 Oliver Byrne의 특이한 버전
• Nicholas Rougeux가 디자인한 Byrne's Euclid의 웹 버전
• Sandy Bultena에 의해 애니메이션화되고 설명된 비디오 각색은 I-VII 책을 포함합니다.
• 존 케이시와 유클리드의 첫 여섯 권의 원소들은 프로젝트 구텐베르크에 의해 스캔되었습니다.
• 유클리드 읽기 – 영어 번역 및 해설과 함께 그리스어 원문으로 유클리드 읽기 과정(HTML과 그림 포함)
• 토마스 모어 경의 원고.
• 바스의 에델하르트의 라틴어 번역
• Euclid Elements – 그리스 원문 그리스 HTML
• 점토수학연구소 역사자료실 – 서기 888년 콘스탄티노플에서 파트라스의 아레타스 서기 스테판이 베낀 유클리드의 원소 열세 권
• 키타브 타 ḥ르 ī루 ṣ룰리-우클 ī디스 아랍어 번역은 나스 ī르 알 ī 알 ṭ ī의 유클리드의 13권의 유클리드 원소를 번역한 것입니다. 메디치 오리엔탈 프레스(또한 타이포그라피아 메디체아)에서 출판. 이슬람 유산 프로젝트가 주최하는 팩시밀리입니다.
• Euclid's Elements Redux, Elements에 기초한 열린 교과서
• 1607년 중국어 번역본은 사보전서의 일부로 재인쇄되었습니다.