반선형 지도

선형대수학, 특히 투사형 기하학에서 필드 K 위에 있는 벡터 공간 V와 W 사이의 반선형 지도는 선형 지도인 "최대 트위스트"의 함수로서 여기서 "트위스트"는 "K의 필드 오토모르프리즘"을 의미한다.명시적으로 다음과 같은 기능 T : V → W이다.

• 벡터 추가와 관련된 첨가물: T ${\displaystyle (v}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle T}$ (${\displaystyle v}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle T}$(${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ )${\displaystyle T(v+v')=$$T(v)+T(v')}$
• there exists a field automorphism θ of K such that ${\displaystyle T(\lambda v)=\lambda ^{\theta }T(v)}$, where ${\displaystyle \lambda ^{\theta }}$ is the image of the scalar ${\displaystyle \lambda }$ under the automorphism.그러한 자동형이 존재하고 T가 0이 아닌 경우, 그것은 독특하며, T를 se-세밀린( is-semilinar)이라고 한다.

도메인과 코도메인이 동일한 공간(즉, T : V → V)인 경우에는 반선형 변환이라고 할 수 있다.주어진 벡터 공간 V의 반전성 반선형 변환(모든 필드 자동화의 선택에 대하여)은 일반 반선형 그룹이라고 불리는 그룹을 형성하며, 일반 선형 그룹과 유추하고 확장하여 by$$ ${\displaystyle \mathrm{L}}$ ${\displaystyle }$( V${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaysty \operatorname {\\Gamma$ L$}(V)$을 나타낸다.필드가 복잡한 숫자 Ⅱ이고 자동형성이 복합적인 결합인 특별한 경우, 반선형 지도를 반선형 지도라고 한다.

유사한 표기법(그리스어로 라틴 문자를 대체)이 더 제한적인 선형 변환의 반선형 아날로그에 사용된다. 형식적으로는 필드 오토모피즘의 갈루아 그룹을 가진 선형 그룹의 반선형 곱셈을 사용한다.예를 들어, PΣU은 사영 특수 유니터리 군 전원 공급 장치의semilinear 전후에. 그러나 최근에 이러한 범용 semilinear 단체들로(브레이, 홀트 &, Roney-Dougal 2009년)– 같은 모양의 클래식 그룹 G및 H(SL의 하위 그룹)에서 지적non-isomorphic semilin을 미칠 수 있는 불분명하고 있다는 걸 알아 있습니다 사용된다.귀증축반간접 제품 수준에서 이것은 주어진 추상 그룹, 두 그룹과 행동에 따라 반 간접 제품에서 갈루아 그룹의 다른 작용에 해당한다.확장이 고유하지 않은 경우 정확히 2개의 반선 확장자가 있다. 예를 들어, 공통선 그룹은 고유한 반선 확장자를 가지고 있는 반면, su(n, q)는 n이 짝수이고 q가 홀수일 경우 2개의 확장자를 가지고 있으며, PSU와 마찬가지로 유사하다.

정의

지도 f : K 필드와 L 필드의 벡터 스페이스 V와 W에 대한 V → W 필드는 각각 σ-세밀린, 또는 간단히 반밀린으로 필드 동형성 σ : K → L이 존재하여 K에 있는 모든 x, y, y에 대해 다음과 같이 보유한다.

1. $[\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)],}$
2. $(\displaystyle f(\da x)=\disma(\displayda )f(x)).}$

L에 필드 K의 주어진 내장 σ은 우리가 L의 하위 필드로 K를 식별할 수 있게 하며, σ-세밀린 지도를 이 식별에 따른 K-선형 지도로 만들 수 있다.그러나, 구별되는 내장형 unless τ σ에 대해 τ-세밀린인 지도는 f가 동일한 0이 아닌 한, 원래의 식별 σ에 관해서 K-선형이 되지 않을 것이다.

보다 일반적으로 지도 ψ : M → N 오른쪽 R-모듈 M과 왼쪽 S-모듈 N 사이의 지도가 :-세밀린으로 되어 있는데, 만일 링 반호몰피즘 : : R → S가 존재한다면, R의 모든 x, y, in에 대해 이 지도가 가지고 있다.

1. $\displaystyle \cHB(x+y)=\cHB(x)+\cHB(y),}$
2. $\displaystyle \cHB=\cHBma(\da )\cHB(x)}$

반선형이라는 용어는 위의 표현을 적절히 조정하는 좌우 모듈 조합에 적용되며, needed은 필요에 따라 동형성이 된다.^[1][2]

쌍(ψ, σ)을 이형(異形)이라고 한다.^[3]

관련

전치하다

$let{\displaystyle }$ :${\displaystyle R}$→ S ${\displaystyle \sigma$:$R\to S}$은(는) 링 $이형성{\displaystyle }$, M ${\displaystyle$ M$} 오른쪽$ $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ -module$$ 및 N ${\displaystyle N}$ 오른쪽$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ -module$$ 및 ${\displaystyle \mathrm{and}}$: ${\displaystyle M}$→ N ${\displaystyle \$$psi$ :$M$$\to N}$ $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$ - semilinar$$ map.${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \psi}$의 전치 값을 매핑 t ${\displaystyle {}^{}}$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$:로$$ 정의하십시오.$충족$시키는^[4] N$^{*}\to$ M$^{*}$

$\sigma {\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ - semilinar$$ 지도 입니다.

특성.

$let{\displaystyle }$ :${\displaystyle R}$→ S ${\displaystyle \sigma$:$R\to S}$은(는) 링 $이형성{\displaystyle }$, M ${\displaystyle$ M$} 오른쪽$ $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ -module$$ 및 N ${\displaystyle N}$ 오른쪽$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$ -module$$ 및 ${\displaystyle \mathrm{and}}$: ${\displaystyle M}$→ N ${\displaystyle \$$psi$ :$M$$\to N}$ $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$ - semilinar$$ map.맵핑

$R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ -선형$$ 형식을 정의하십시오.^[5]

예

• Let ${\displaystyle K=\mathbf {C} ,V=\mathbf {C} ^{n},}$ with standard basis ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$. Define the map ${\displaystyle f\colon V\to V}$ by

  ${\displaystyle f\ft(\sum _{i=1}^{n}z_{i}e_{i}\오른쪽)=\sum _{i=1}^{n}{\bar{z}_{i}e_{i}}}}}}}}}}}$

f는 반선형이지만 선형이 아니다.

• Let $K{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{GF}}$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle q}$ ) ${\displaystyle K=\operatorname {GF}(q)$ $$– 순서 $Q{\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle i^{}}$ ${\$ 특성 p.${\displaystyle {렛}^{}}$ ℓ =${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle p^{}}$ ${\$ 신입생 꿈으로 이것은 필드 오토모프리즘으로 알려져 있다.벡터 공간 V와 K를${\displaystyle \mathrm{통한}}$ W$$사이의 모든 $선형$ 지도 f : V → W {\$displaystyle$ f\colon $V\to W}$에 대해 $우리$는 {$${\$displaystyle \theta}$ - semilinere$$ 지도를 설정할 수 있다${\displaystyle .}$

  ${\displaystyle {\widetilde{f}\좌(\sum _{i=1}^{n}\ell _{i}e_{i}\오른쪽):=f\left(\sum _{i=1}^{n}\ell _{i}^{i}^{{i}\right).}$

실제로 모든 선형 지도는 그러한 방식으로 반선형 지도로 변환될 수 있다.이것은 다음 결과에 대해 수집된 일반적인 관찰의 일부다.

• Let ${\displaystyle R}$ be a noncommutative ring, ${\displaystyle M}$ a left ${\displaystyle R}$-module, and ${\displaystyle \alpha }$ an invertible element of ${\displaystyle R}$. Define the map ${\displaystyle \varphi \colon M\to M\colon x\mapsto \alpha x}$, so ${\displaystyle \phi (\lambda u)=\alpha \lambda }$${\displaystyle \varphi (\lambda u)=\alpha \lambda u=(\alpha \lambda \alpha ^{-1})\alpha u=\sigma (\lambda )\varphi (u)}$, and ${\displaystyle \sigma }$ is an inner automorphism of ${\displaystyle R}$. Thus, the homothety ${\displaystyle x\mapsto \alpha x}$ need not be a선형 맵이지만$linear{\displaystyle }$ {\$displaystyle \sigma }$ - semilinar$$.^[6]

일반 반선형군

벡터 공간 V가 주어진 경우, 모든 반전 가능한 반선형 변환 V → V (모든 필드 자동화에 걸쳐)의 집합은 그룹 γL(V)이다.

K에 벡터 공간 V가 주어지면 ,L(V)은 반간접제품으로 분해된다.

${\displaystyle \operatorname {\Gamma L}(V)=\operatorname {GL}(V)\rtimes \operatorname {Aut}(K),}$

여기서 Aut(K)는 K의 자동형이다.마찬가지로, 다른 선형 그룹의 반선형 변환은 자동형성 그룹을 가진 반선형 제품 또는 일부 특성을 보존하는 벡터 공간의 반선형 지도 그룹으로 더 본질적으로 정의할 수 있다.

V에 대한 기준 B를 고정하고 반선형 맵을 정의하여 자동(K)을 γL(V)의 하위 그룹으로 식별한다.

$\displaystyle \sum _{b\in B}\ell _{b}b\mapsto \sum _{b\in B}\ell _{b}^{\sigma }b}$

$\sigma {\displaystyle \mathrm{auto}}$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle K}$) ${\displaystyle \sigma \in$ \$operatorname$ {$Aut} (K)}.$ 이 하위 그룹을 aut(K)으로 표시해야 한다$.$_B우리는 또한 lL(V)의 GL(V)에 대한 이러한 보완이 GL(V)에 의해 정기적으로 수행되는 것을 본다. 이는 GL(V)이 근거의 변화에 대응하기 때문이다.

증명

모든 선형 지도가 반선형으로 되어 있으므로 ${\displaystyle GL\mathrm{}}$ (${\displaystyle \mathrm{V}}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \le }$ ≤ L${\displaystyle }$ (${\displaystyle V}$) ${$ \ { { { { \$displaystyle \operatorname {GL}(V)\leq \operatorname {\Gamma L}(V)$(. V의 기본 B를 수정한다.이제 필드 오토모르퍼시즘 sem 오토(K)에 관하여 반선형 지도 f를 부여한 다음, 다음에 의해 g : V → V를 정의한다.

${\displaystyle g\left(\sum _{b\in B}\ell _{b}b\오른쪽):=\sum _{b\in B}f\left(\ell _{b}^{\sigma ^{-1}b\right)=\sum _{b\in B}\ell _{b}f(b)}$

f(B)도 V의 기본이기 때문에 g는 단순히 V의 기본 교환이며 따라서 선형 및 반전성: g ∈ GL(V)이다.

V에서 $h{\displaystyle }$ ${\displaystyle :=}$ f ${\displaystyle g{}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ h$:=fg^{-1}$를 설정하십시오$.$ $모든{\displaystyle }$ v${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{b}}$ℓ ${\displaystyle \underset{}{b}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\displaystyle$ v$=\sum$_{$b\in$ B$}\ell _{b}b$}b$},$

${\displaystyle hv=fg^{-1}v=\sum _{b\in B}\ell _{b}^{\sigma }b}$

따라서 h는 고정 기준 B에 상대적인 자동(K) 부분군에 있다.이 요소화는 고정 기준 B에 고유한 것이다.나아가 GL(V)은 Aut(K)의 작용에 의해 정상화되므로 _BγL(V) = GL(V) ⋊ Aut(K)가 된다.

적용들

투영 기하학

$\gamma {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{L}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle V}$) ${\displaystyle \operatorname {\Gamma$ L$}(V)}$ 그룹은$$ GL(V)의 일반적인 클래식 그룹을 확장한다.그러한 지도를 고려하는 것의 중요성은 투영 기하학의 고려에서 온다.Γ L의 유도 액션}P(V)은 .mw-parser-output .vanchor&gt를 산출한다 관련된 사영 공간에;:target~.vanchor-text{background-color:#b1d2ff}projectivesemilinear 그룹이 projective을 연장하는 PΓ L⁡(V){\displaystyle \operatorname{P\Gamma L}(V)}를 설명(V){\displaystyle \operatorname{\Gamma L}(V)⁡. 선형 군, PGL(V).

PG(V)로 표시된 벡터 공간 V의 투영 기하학은 V의 모든 서브 스페이스의 격자다.Although the typical semilinear map is not a linear map, it does follow that every semilinear map ${\displaystyle f\colon V\to W}$ induces an order-preserving map ${\displaystyle f\colon \operatorname {PG} (V)\to \operatorname {PG} (W)}$. That is, every semilinear map induces a projectivity.이 관찰의 반대(프로젝티브 선은 제외)는 투영 기하학의 기본 정리다.따라서 반선형 지도는 벡터 공간의 투영 기하학의 자동형성 그룹을 정의하기 때문에 유용하다.

마티외 그룹

그룹 PγL(3,4)을 사용하여 산발적으로 단순한 그룹 중 하나인 M 마티외 그룹 M을₂₄ 구성할 수 있으며, P;L(3,4)은 M의₂₄ 최대 하위 그룹이며, 이를 완전한 마티외 그룹으로 확장하는 방법은 여러 가지가 있다.

참고 항목

• 반선형 지도
• 복합결합벡터공간

참조

• Assmus, E.F.; Key, J.D. (1994), Designs and Their Codes, Cambridge University Press, p. 93, ISBN 0-521-45839-0
• Bourbaki, Nicolas (1989) [1970]. Algebra I Chapters 1-3 [Algèbre: Chapitres 1 à 3] (PDF). Éléments de mathématique. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64243-5. OCLC 18588156.
• Bray, John N.; Holt, Derek F.; Roney-Dougal, Colva M. (2009), "Certain classical groups are not well-defined", Journal of Group Theory, 12 (2): 171–180, doi:10.1515/jgt.2008.069, ISSN 1433-5883, MR 2502211
• Faure, Claude-Alain; Frölicher, Alfred (2000), Modern Projective Geometry, Kluwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-6525-9
• Gruenberg, K.W.; Weir, A.J. (1977), Linear Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 49 (1st ed.), Springer-Verlag New York
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유 앨리케 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 반선형 변환에 따른 자료가 통합되어 있다.