연속체의 카디널리티

집합 이론에서 연속체의 카디널리티는 실수 $\mathbb {R}$ ${\$ 의 카디널리티 또는 "크기"로 $\mathbb {R}$ 때로는 연속체라고 불린다. 무한 추기경 숫자로 ${\mathfrak {c}}$ ${\$ 하위 케이스 프락터 "c") 또는 $|\mathbb {R} |$ $displaystyle \mathb {R}}$ 로 표시된다 $|\mathbb {R} |$ ^[1]

The real numbers $\mathbb {R}$ are more numerous than the natural numbers $\mathbb {N}$ . Moreover, $\mathbb {R}$ has the same number of elements as the power set of $\mathbb {N} .$ Symbolically, if the cardinality of ${\displaystyle$ $\mathb {N}$ }은 $\mathbb {N}$ (는) $\aleph _{0}$ $\aleph _{0}$ ${\$ 로 표시되며 $\aleph _{0}$ 연속체의 카디널리티는

{\mathfrak{c}=2^{\aleph _{0}}\,

이것은 게오르크 칸토어가 1874년 그의 헤아릴 수 없는 증거에 의해 증명되었는데, 이것은 그의 다른 인도에 대한 획기적인 연구의 일부였다. 그 불평등은 1891년 그의 대각선적인 주장에서 더 단순하게 언급되었다. 칸토어는 카디널리티를 생체적 기능의 관점에서 정의했다. 두 세트는 그들 사이에 생체적 기능이 존재하는 경우에만 동일한 카디널리티를 가진다.

어떤 두 실수 a < b> 사이에는 아무리 서로 가까운 사이라도 항상 다른 실수는 무한히 많고, 칸토어는 실수의 전체 집합에 포함된 실수와 같은 수라는 것을 보여주었다. 즉, 열린 간격(a,b)은 $\mathbb {R} .$ $\mathb {R}.$ 과 등귀한다. 이는 $\mathbb {R} .$ N-차원 유클리드 공간 R $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 과 같은 몇 가지 다른 무한 집합에도 적용된다( $\mathbb {R} ^{n}$ 공간 채우기 곡선 참조). 그것은

(a,b) = \mathb {R} = \mathb {R} ^{n} .

가장 작은 무한 추기경 숫자는 $\aleph _{0}$ $\aleph _{0}$ ${\$ aleph-null)이다. 두 번째로 작은 것은 $\aleph _{1}$ ${\$ aleph-one) $\aleph _{1}$ 이다. 카디널리티가 엄격히 $\aleph _{0}$ ${\$ 과 $\aleph _{0}$ ${\mathfrak {c}}$ ${\$ 사이에 있는 집합은 없다고 주장하는 연속 가설은 ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$ = ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$ = ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$ {\ $displaystystyle {\mathfrak{c}=\aleph _{$ 1}을 의미한다 ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$ ^[2] 이 가설의 진실이나 거짓은 불분명하며, 널리 사용되는 제르멜로-프란켈 집합론 내에서 선택 공리(ZFC)를 가지고 증명될 수 없다.

특성.

마운트 해제성

게오르크 칸토르는 무한 세트 크기를 비교하기 위해 카디널리티 개념을 도입했다. 그는 실수의 집합이 셀 수 없이 무한하다는 것을 유명하게 보여주었다. 즉, ${\mathfrak {c}}$ ${\$ 은(는) 자연수의 카디널리티보다 절대적으로 크다 ${\mathfrak {c}}$ . $\aleph _{0}$ ${\$ :

\aleph _{0}<{\mathfrak {c}}.

실제로 이는 정수가 있는 것보다 실수가 엄격히 더 많다는 것을 의미한다. 칸토르는 몇 가지 다른 방법으로 이 진술을 증명했다. 이 항목에 대한 자세한 내용은 Cantor의 첫 번째 마운트 불가능 증명 및 Cantor의 대각선 인수를 참조하십시오.

추기경 평준화

칸토어의 대각선 논리의 변형은 어떤 세트의 카디널리티가 그 세트의 힘 세트의 카디널리티보다 절대적으로 적다는 칸토어의 정리를 증명하는 데 사용될 수 있다. 즉, $|A|<2^{|A|}$ < $|A|<2^{|A|}$ $|A|<2^{|A|}$ $displaystyle$ A $<2^{$ A $\wp (\mathbb {N} )$ ( $\wp (\mathbb {N} )$ N $\wp (\mathbb {N} )$ ) $\wp (\mathbb {N} )$ {\ $displaystyle \wp$ (\ $mathb {N} )}$ 의 $\mathbb {N}$ N ${\$ 의 $\wp (\mathbb {N} )$ 전원 집합은 계산할 수 없다 $\mathbb {N}$ . 실제로 $\wp (\mathbb {N} )$ ) $\wp(\mathb {N} )$ 의 카디널리티가 ${\mathfrak {c}}$ 과 $\wp (\mathbb {N} )$ 같이 ${\mathfrak {c}}$ c {\ $displaystyle$ {\ $mathfak{c}}$ 과 같다는 것을 보여줄^{[citation needed]} 수 있다 ${\mathfrak {c}}$ .

Define a map $f:\mathbb {R} \to \wp (\mathbb {Q} )$ from the reals to the power set of the rationals, $\mathbb {Q}$ , by sending each real number $x$ to the set $\{q\in \mathbb {Q} :q\leq x\}$ of all rationals less t한 또는 $x$ $x$ 과 같음( $x$ Dedekind cuts로 보이는 reals, 이것은 이성 집합에 포함된 지도와 다름없다). $\mathbb {R}$ ${\$ 에 이 지도가 밀도 있기 때문에 $\mathbb {R}$ 이 지도가 주입식이고, 이 지도가 셀 수 있기 때문에 ${\mathfrak {c}}\leq 2^{\aleph _{0}}$ 2 2 ${\mathfrak {c}}\leq 2^{\aleph _{0}}$ 0 ${\$ mathfrak {c}\ $leq$ 2 $^{0}}}$ 이 있다 ${\mathfrak {c}}\leq 2^{\aleph _{0}}$
Let $\{0,2\}^{\mathbb {N} }$ be the set of infinite sequences with values in set $\{0,2\}$ . This set has cardinality $2^{\aleph _{0}}$ (the natural bijection between the set of binary sequences and ${\displaystyle \wp (\mathbb$ ${N} )}$ 은(는) 표시기 함수에 의해 주어진다 $\wp (\mathbb {N} )$ . Now, associate to each such sequence $(a_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ the unique real number in the interval $[0,1]$ with the ternary-expansion given by the digits $a_{1},a_{2},\dotsc$ , i.e., $\sum _{i=1}^{\infty }a_{i}3^{-i}$ ${\displaystyle \sum \i=1}^{\infit }a_{i$ }3^{- $i$ $소수점$ 뒤의 i $i$ -번째 $i$ 자릿수는 $a_{i}$ $3$ ${\displaystyle$ 3 $}$ 에 $대한$ i $3$ ${\$ a_ ${i}$ 이다. 이 지도의 이미지는 칸토어 세트라고 불린다. 이 지도가 주입식이라는 것은 어렵지 않게 알 수 있는데, 3차 확장 시 숫자 1이 있는 점을 피함으로써 실제 숫자의 3차 확장이 고유하지 않다는 점에서 생기는 충돌을 피하기 때문이다. 그러면 2 $2^{\aleph _{0}}\leq {\mathfrak {c}}$ 0 $2^{\aleph _{0}}\leq {\mathfrak {c}}$ $2^{\aleph _{0}}\leq {\mathfrak {c}}$ ${\$ {\ $mathfrak{c}}}$ 이(가) 있다 $2^{\aleph _{0}}\leq {\mathfrak {c}}$

칸토르-베른슈타인-슈뢰더 정리에 의해 우리는 다음과 같이 결론짓는다.

{\mathfrak{c}}= \wp(\mathb {N} ) =2^{\aleph _{0}}}

${\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}}$ ${\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}}$ = ${\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}}$ ${\$ 은(는) 다음과 같은 기본 산수를 사용하여 시연할 수 있다 ${\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}}$ .

{\mathfrak{c}^{2}=(2^{\aleph _{0})^{2}={2^\mathfrak {c}.

추기경 산술의 법칙을 사용함으로써 그 법칙을 증명할 수도 있다.

{\displaystyle{\mathfrak{c}^{0}}{0}={0}}={0}}{0}}={0}={0}={0}}}}}{{0}=n}}}}}}}}}}{{\mathfrak {c}}}, {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

여기서 n은 유한한 추기경 ≥ 2이다.

{\displaystyle{\mathfrak{c}^{{c}}^{2^{\aleph_{0}}^{\mathfrak{c}}}^{\mathfrak{0}\mathfrak{0}},}}

여기서 $2^{\mathfrak {c}}$ $2^{\mathfrak {c}}$ ${\$ 는 $2^{{{\mathfrak c}}}$ R의 전원 세트의 카디널리티이며, 2 $2^{\mathfrak {c}}>{\mathfrak {c}}$ > $2^{\mathfrak {c}}>{\mathfrak {c}}$ > ${\$ 2 $^{\mathfrak{c}{\mathfrak$ {c $2^{\mathfrak {c}}>{\mathfrak {c}}$

${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}$ = ${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}$ ${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}$ 0 ${\$ 에 대한 대체 설명

모든 실제 숫자는 최소한 한 개의 무한 소수점 확장을 가진다. 예를 들어,

1/2 = 0.50000...

1/3 = 0.33333...

π = 3.14159....

(이것은 처음 두 예에서와 같이 팽창이 반복되는 경우에도 사실이다.)

어떤 경우든 자연수 $\mathbb {N}$ ${\$ 과 일대일 대응으로 넣을 수 있기 때문에 자릿수를 셀 수 있다 $\mathbb {N}$ 이렇게 하면 ,의 첫 번째, 백 번째, 백 번째 또는 백만 번째 숫자를 말하는 것이 합리적이다. 자연수는 카디널리티 $\aleph _{0},$ $\aleph _{0}$ 을(를) 가지므로, 각 실제 $\aleph _{0},$ 번호는 확장 시 $\aleph _{0}$ $\aleph _{0}$ ${\$ 자리를 $\aleph _{0}$ 갖는다.

각각의 실수는 정수 부분과 소수 부분으로 나눌 수 있기 때문에 다음과 같은 결과를 얻는다.

{\mathfrak {c}}\leq \aleph _{0}\cdot 10^{\aleph _{0}}\leq 2^{\aleph _{0}}\cdot {(2^{4})}^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}+4\cdot \aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}}

라는 사실을 사용했던 곳

\displaystyle \aleph _{0}+4\cdot \aleph _{0}=\aleph _{0}\,}

한편, $2=\{0,1\}$ = $2=\{0,1\}$ { $2=\{0,1\}$ $2=\{0,1\}$ } ${\displaystyle$ 2 $=\{$ $0,$ $1\}$ 을 $2=\{0,1\}$ (를) $\{3,7\}$ , $7\}$ 에 매핑하고 $\{3,7\}$ , 3 또는 7만을 포함하는 $소수점$ 분수는 실수의 일부에 불과하다고 생각한다면, 우리는 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

2^{\aleph_{0}\leq {\mathfrak{c}\,

따라서

{\mathfrak{c}=2^{\aleph _{0}\,

베스 수

베스 숫자의 순서는 $\beth _{0}=\aleph _{0}$ 0 $\beth _{0}=\aleph _{0}$ = $\beth _{0}=\aleph _{0}$ 0 ${\$ 및 $\beth _{0}=\aleph _{0}$ $\beth _{k+1}=2^{\beth _{k}}$ k $\beth _{k+1}=2^{\beth _{k}}$ + $\beth _{k+1}=2^{\beth _{k}}$ = $\beth _{k+1}=2^{\beth _{k}}$ $\beth _{k+1}=2^{\beth _{k}}$ k ${\$ 1}= $2$ $^{\$ $beth$ $_$ $\beth _{k+1}=2^{\beth _{k}}$ ${\mathfrak {c}}$ $}}}$ 를 설정하여 정의하므로 ${\mathfrak {c}}$ c ${\mathfrak {c}}$ {\displaystytytheet-one $:$

{\mathfrak{c}=\beth _{1}.

세 번째 베스 번호인 bets-2는 $\mathbb {R}$ ${\$ 즉, 실제 라인의 모든 하위 집합 집합) 전원 집합의 카디널리티다.

2^{\mathfrak{c}=\beth _{2}.

연속 가설

그 유명한 연속체 가설며 다른 단어에서 c{\displaystyle{\mathfrak{c}}}은 역시 2aleph 수, ℵ 1{\displaystyle \aleph_{1}}.[2], 연속체 가설은 없는 기수 엄격히 ℵ 0{\displaystyle \aleph_{0}사이에 있어도{A\displaystyle}세트}이다. ${\mathfrak {c}}$ c ${\$

\nexists A\quad :\quad \aleph _{0}< A <{\mathfrak {c}}.

이 진술은 이제 선택의 공리(ZFC)를 가진 제르멜로-프라엔켈 세트 이론의 공리와는 무관한 것으로 알려져 있다. 즉 가설과 그 부정 모두 이러한 공리와 일치한다. 실제로 0이 아닌 모든 자연수 n에 대해 ${\mathfrak {c}}$ c ${\$ ${\mathfrak {c}}$ = $\aleph _{n}$ ${\$ 은 ZFC와는 무관하다 $\aleph _{n}$ ( $n=1$ = 1 ${\displaystyn=1}$ 은 연속체 가설이다 $n=1$ . 대부분의 다른 알레프도 마찬가지지만, 어떤 경우에는 동일성이 공정을 근거로 쾨니히의 정리( ${\mathfrak {c}}\neq \aleph _{\omega }$ : c ${\mathfrak {c}}\neq \aleph _{\omega }$ ( Ω {\ $displaystyle {c}\neq \aleph _{\omega })$ 에 의해 배제될 수 있다. 특히 c ${\$ 은(는) $\aleph _{1}$ 1 ${\$ $_$ ${1}$ 또는 $\aleph _{1}$ ω $\aleph _{\omega _{1}}$ $\aleph _{\omega _{1}}$ ${\$ $\aleph _$ ${\$ $omega_{$ 1}일 수 있으며 ${\mathfrak {c}}$ $\aleph _{\omega _{1}}$ 여기서 $\omega _{1}$ 1 ${\$ 또는 limon)은 $\omega _{1}$ 후속 추기경 또는 한계 추기경이 될 수 없다.자칭 추기경 또는 단칭 추기경