베티의 정리

베티의 정리, 또한 Maxwell–Betti 상호 작업 정리로 알려진, 엔리코 베티에 의해 1872년에 최초로 발견되었는데, 주들이 선형 탄성 구조에 대해 두 집합의 힘{파이}i=1,...,n과{Qj}, j=1,2,...,n, 그 일은 끝나 설정한 P를 통해 변위가 제조 업체가 설정한 Q와 일에 의해 설정한 Q를 통해 displa.ce세트 P에 의해 생산되는 ments. 이 정리는 구조 공학에서 영향력 선을 정의하고 경계 요소 방법을 도출하는 데 사용된다.

베티의 정리는 위상 최적화 접근법에 의한 준수 메커니즘의 설계에 사용된다.

증명

${\displaystyle {Fi}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 및 ${\displaystyle {Fi}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$라고 하는 외부 힘 시스템의 쌍에 따른 고체를 고려한다$.$ 각 힘 시스템은 변위장을 유발하며, 외부 힘의 $적용{\displaystyle {}_{}^{}}$ 지점에서 측정된 변위를 d i ${\displaystyle {}_{}^{}}$라고 한다.${\displaystyle d_{i}^{P}}$ 및 $d$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ Q ${\$

${\displaystyle {}_{}^{}}$ i $P{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 힘 시스템을$$ 구조물에 적용할 때 외부 힘 시스템에 의해 수행되는 작업과 변형 에너지 사이의 균형은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{{i}^{P}d_{i}^{P}={\frac {1}{1}2}}\int _{\Oomega}\sigma _{ij}^{{ij}^{{}}}}}}}}^{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}P}\epsilon _{ij}^{P}\,d\오메가 }$

$F{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 힘$$ 시스템과 관련된 일과 에너지 균형은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{Q}={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{Q}\,d\Omega }$

이제 ${\displaystyle {Fi}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ 포스$$ 시스템이 적용된 상태에서 $F{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ Q ${\$ 포스$$ 시스템이 이후에 적용되는 것을 고려하십시오. $F{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$이(가) 이미 적용되어$$ 있으므로 여분의 변위를 일으키지 않으므로 work-energy balance는 다음과 같은 표현을 가정한다.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{P}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{Q}+\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{P}\epsilon _{ij}^{P}\,d\Oomega +{\frac{1}{1}2}}\int_{\Oomega}\sigma _{ij}^{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{ij}\,d\Oomega +\}\sigma _{ij}^{{{{ij}^}^}^}^}^}^}^}}^}^}^^}}}}}P}\epsilon _{ij}^{Q}\,d\오메가 }$

반대로 F ${\displaystyle {}_{}^{}}$ Q ${\$ $포스{\displaystyle {}_{}^{}}$ 시스템이 이미$$ 적용되었고 이후 F ${\displaystyle {}_{}^{}}$ P$${\$displaystyle F_{i}^{P}}$ 외부$$ 포스 시스템이 적용된 것으로 간주하면 일과 에너지 균형은 다음과 같은 표현을 가정할 것이다.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{Q}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{P}+\sum _{i=1}^{n}F_{i}^{Q}d_{i}^{P}={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{Q}\,d\Omega +{\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{ij}^{P}\epsilon _{ij}^{P}\,d\Oomega +\int_{\Oomega}\sigma _{ij}^{Q}\epsilon _{ij}^{P}\,d\Oomega }}$

외부 힘 시스템을 격리하여 적용하는 경우에 대한 작업-에너지 균형을 각각 힘 시스템을 동시에 적용하는 경우에서 빼면 다음 방정식에 도달한다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}=\int _{\Oomega}\sigma _{ij}^{ij}^{}^}}}P}\epsilon _{ij}^{Q}\,d\오메가 }$

${\displaystyle \sum \sum _{i=1}^{n}^{Q}d_{i}^{P}=\int_{\Oomega}\\sigma _{ij}^{ij}^{ij}^}\epsilon _{ij}^{P}\,d\Oomega}}}$

힘계통이 적용되는 고체가 선형탄성물질로 형성되고 힘계통이 극미량 균주만 체내에서 관찰되는 경우, 후크의 법칙을 따를 수 있는 체질의 구성방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle \sigma _{ij}=D_{ijkl}\epsilon _{kl}}$

이 결과를 이전의 방정식 집합으로 대체하면 다음과 같은 결과가 나온다.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{P}d_{i}^{Q}=\int_{\Oomega }D_{ijkl}\epsilon _{ij}^{ij}^{ij}}^{}}}}}}}}}P}\epsilon _{kl}^{Q}\,d\오메가 }$

${\displaystyle \sum \sum _{i=1}^{n}^{Q}d_{i}^{P}=\int_{\Oomega }D_{ijkl}\epsilon _{ij}^{Q}^{kl}^{P}\,domga }}}}}$

두 방정식을 모두 빼면 다음과 같은 결과가 나온다.

${\displaystyle \sum \sum \{i=1}^{n1}F_{n}^{{i}^{Q}=\sum _{i=1}^{n}F_{Q}d_{i}^{i}^{p}}}}}}}}}}}$

예

간단한 예로 m=1과 n=1을 들 수 있다. 점 1과 점 2의 두 점을 정의한 수평 빔을 고려하십시오. First we apply a vertical force P at point 1 and measure the vertical displacement of point 2, denoted ${\displaystyle \Delta _{P2}}$. Next we remove force P and apply a vertical force Q at point 2, which produces the vertical displacement at point 1 of ${\displaystyle \Delta _{Q1}}$. Betti's reciprocity theorem 다음과 같이 명시한다.

${\displaystyle P\,\Delta _{Q1}=Q\,\Delta _{P2}.}$

베티의 정리 예

참고 항목

• 달랑베르트의 원리

참조

• A. Ghali; A.M. Neville (1972). Structural analysis: a unified classical and matrix approach. London, New York: E & FN SPON. p. 215. ISBN 0-419-21200-0.