위상 벡터 공간의 범주

수학에서 위상학적 벡터 공간의 범주는 위상학적 벡터 공간인 대상과 그 사이에 연속적인 선형 지도가 있는 형태인 범주다.이것은 두 개의 연속 선형 지도의 구성이 다시 연속 선형 지도가 되기 때문에 하나의 범주다.범주는 흔히 TVect 또는 TVS로 표시된다.

위상학 필드 K를 고정하면, 연속 K-선형 지도로 K를 통한 위상학 벡터 공간의 하위 카테고리 TVect도_K 형태로서 고려할 수 있다.

TVect는 구체적인 범주다.

많은 범주들과 마찬가지로, TVect 범주는 구체적인 범주로서, 그것의 물체는 추가적인 구조(즉, 벡터 공간 구조와 위상)로 설정되며, 그것의 형태는 이 구조를 보존하는 기능이다.위상학적 공간의 범주, 벡터 공간의 범주, 집합의 범주에는 망각적인 펑거들이 분명히 있다.

TVect는_{${\displaystyle K}$} 위상학 범주다.

범주는 위상학이며, 이는 상단이 세트와 관련된 것과 같은 방식으로 벡터 공간의 범주인 "아래 범주"와 관련이 있다고 느슨하게 말하는 것을 의미한다.Formally, for every K-vector space ${\displaystyle V}$ and every family ${\displaystyle ((V_{i},\tau _{i}),f_{i})_{i\in I}}$ of topological K-vector spaces ${\displaystyle (V_{i},\tau _{i})}$ and K-linear maps ${\displaystyle f_{i}:$$V {\$$to V_{i$$}}$에 벡터 공간 토폴로지 $\tau {\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $\tau }$이(가) 있으므로 다음$$ 속성이 충족됨:

$g{\displaystyle }$: ${\displaystyle Z}$→ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle g:Z\to V}$이(가) 위상학적 K-벡터 공간$({\displaystyle Z}$, ${\displaystyle \sigma }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle(Z,\sigma$ )에서 K-선형 지도일 때마다 이 지도가$$ 고정되어 있다$.$

${\displaystyle g:(Z,\sigma )\to (V,\tau )}$ is continuous ${\displaystyle \iff }$ ${\displaystyle \forall i\in I:f_{i}\circ g:(Z,\sigma )\to (V_{i},\tau _{i})}$ is continuous.

위상 벡터 공간$({\displaystyle V}$, ${\displaystyle \tau }$) ${\displaystyle (V,\tau )}$은 주어진 데이터에 관하여 "초기 객체" 또는 "초기 구조"라고 불린다$$.

"벡터 공간"을 "set"으로, "linear map"을 "map"으로 대체하면, Top에서 일반적인 초기 토폴로지의 특성을 파악할 수 있다.이 속성을 가진 범주를 '토폴로지'라고 부르는 이유다.

이 재산에는 수많은 결과가 있다.예를 들면 다음과 같다.

• "구체적인" 물체와 "구체적인" 물체가 존재한다.위상학적 벡터 공간은 만약 그것이 빈 가족에 대한 초기 구조라면 구체적이지 않다.위상 벡터 공간은 위상 벡터 공간의 모든 가능한 선형 지도의 패밀리에 관한 초기 구조인 경우 이산적이다.(이 집안은 적절한 계급이지만, 그건 중요하지 않다.모든 클래스에 대한 초기 구조는 모든 세트에 대해 존재하는 경우)
• 최종 구조(최종 위상과 유사한 정의된 아날로그 토폴로지)가 존재한다.그러나 다음과 같은 요점이 있다.위의 속성의 초기 구조가 사실 $({\displaystyle }$ ${\displaystyle i_{}}$i , ${\displaystyle {}_{}{}_{}{i}_{}}$ ) ${\displaystyle {Ii}_{}}$ I$${\$displaystyle$(\$tau$ _${i},f_{i}_{i\in$ I$})$에 $관한{\displaystyle }$ V$${\$displaystyle V$}의 일반적인 초기 위상이지만$,$ 최종 구조는 Top의 의미로 주어진 지도와 관련하여 최종일 필요는 없다.예를 들면 다음과 같다.${\displaystyle {\mathbf{\text{TVect}}}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$의 이산형 개체(= 빈 패밀리에 대한 최종)는 이산형 위상을 전달하지 않는다$$.
• 다음 그림의 건망증이 통용되기 때문에

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}{\textbf {Vect}_{K}\오른쪽 화살표 &#{\textbf {Set}\\\uparrow &&\\textbf {TVect}}&\오른쪽 화살표 >{Toperraper}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

그리고 ${\displaystyle {\mathbf{\text{Vect}}}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$ 셋트의 건망증이 심한 펑터(functor)가 오른쪽을 가리키고, ${\displaystyle {TVect}_{}}$ K$${\$displaystyle${\$textbf {TVect}_{K})$에서 위쪽까지 건망증이 심한 펑터도 오른쪽을 가리키고(그리고 해당 왼쪽은 아날로그 정류 도표에 들어맞는다.이 왼쪽 맞춤은 "자유 위상 벡터 공간"을 정의한다.명시적으로 이것들은 특정 초기 위상이 장착된 자유 K 벡터 공간이다.

• ${\displaystyle {\mathbf{\text{Vect}}}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\$이(가) 완료되었으므로^{[clarification needed]} ${\displaystyle {TVect}_{}}$ K ${\${\$textbf {TVect}_{K}$도(가) 완료된다$$.

참고 항목

• 그룹 카테고리
• 미터법 공간 범주
• 세트 카테고리
• 위상학적 공간의 범주
• 기준점이 있는 위상학적 공간의 범주

참조

• Lang, Serge (1972). Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc.