건망증이 심한 펑터

수학에서, 범주 이론의 영역에서, 건망증이 있는 펑터(박리 펑터라고도 한다)는 출력에 매핑되는 입력의 구조나 속성의 일부 또는 전부를 '잊어버린다'거나 떨어뜨린다.주어진 서명의 대수적 구조에서 이것은 서명의 축소를 통해 표현될 수 있다: 새로운 서명은 이전 서명의 편집된 형태다.서명이 빈 목록으로 남겨진 경우, functor는 단순히 구조물의 기본 세트를 가져가는 것이다.수학의 많은 구조들이 추가적인 구조를 가진 집합으로 구성되기 때문에, 기초 집합에 매핑되는 망각적인 펑터(functor)가 가장 흔한 경우다.null

개요

예를 들어, 교감반지의 범주에서 건망증이 있는 펑거가 몇 개 있다.범용대수의 언어로 기술된 (유니탈) 링은 일정한 공리를 만족시키는 순서형 튜플(R, +, ×, a, 0, 1)이며, 여기서 "+"와 "×"는 세트 R의 이항 함수, a는 첨가물에 해당하는 일항 연산이며, 0과 1은 2항 연산의 정체성을 부여하는 무효 연산이다.1을 삭제하면 유닛이 없는 링의 범주에 건망증이 있는 펑터(functor)가 생긴다. 단지 유닛을 "잊어버리는" 것이다."×"와 1을 삭제하면 아벨리아 그룹의 범주에 functor가 생성되는데, 각 링 R에 R의 기본 첨가 아벨리아 그룹을 할당한다.고리의 각 형태론에는 단지 기초 집단들 사이의 덧셈의 형태론으로서 간주되는 동일한 기능이 할당된다.모든 작업을 삭제하면 기본 세트 R에 대한 functor가 제공된다.

"구조"를 잊어버리는 망각적인 요인과 "성질을 잊는" 요인을 구별하는 것이 이롭다.예를 들어 위의 정류 링의 예에서는 연산의 일부를 삭제하는 그러한 펑커 외에 공리의 일부를 잊어버리는 펑커가 있다.CRING에서 링까지의 범주에 해당하는 functor가 있어, 동시성의 공리는 잊어버리지만, 모든 연산을 유지한다.때때로 그 물체는 기초 집합의 관점에서 엄격하게 정의되지 않은 추가 집합을 포함할 수 있다(이 경우, 실제적으로 모호한 경우가 거의 없지만, 기초 집합을 고려해야 할 부분은 미각의 문제다).이러한 사물에는 더 일반적인 여분의 세트를 잊어버리는 건망증이 있는 펑거들이 있다.null

수학에서 연구된 대부분의 일반적 개체는 그 집합에 대한 추가적인 구조 집합(기본 집합에 대한 연산, 기본 집합의 특권 하위 집합 등)과 함께 기초 집합으로 구성되며, 이는 일부 공리를 만족시킬 수 있다.이러한 사물들에 대해, 일반적으로 건망증이 있는 것으로 간주되는 펑터는 다음과 같다.$C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$을(를) 그룹, 즉 요소 집합 또는 위상학적 공간 집합 '포인트' 집합에 기반한 범주가 되도록$$ 한다.평소와 같이 $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 개체에 $Ob$$displaystyle \operatorname {Fl}{\mathcal$ {$C}$을(를$)$ 쓰고, 동일한$$ 형태에 대해서는$$ $})$을({\mathcal {C})로 쓴다.다음 규칙을 고려하십시오.

${\displaystyle \mathrm{Ob<img\; alt="A"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.743ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="53">}}$ ${\displaystyle (C}$)의 모든$$A {\$displaystyle$A${\displaystyle \}}$에 ${\displaystyle \mathrm{대해},}$ A ${\displaystyle =}$ A$$= {\$displaystyle \operatorname${Ob$}({\mathcal$ {$C}),$$A\mapsto$A$=}$ $기본$ 집합 A${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ A$,}$

${\displaystyle \mathrm{Fl}}$ ${\displaystyle (C}$)의$$ 모든 $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle u}$에 대해,${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle u}$= ${\displaystyle \operatorname {Fl}({\mathcal {C}), u\mapsto$u$=}$ 형태주의$$ $u{\displaystyle }$ ${\displaystystysty u}$를 집합 맵으로 표시한다$.$

펑터 $displaystyle \cdot }$은(는) $C{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$에서 집합 범주인 Set까지의 망각적인 펑터가 된다$$.null

건망증이 심한 환자들은 거의 항상 충실하다.구체적인 범주는 세트의 범주에 대한 망각적인 요소를 가지고 있다. 실제로 그러한 범주는 해당 범주에 대한 충실한 범주를 인정하는 범주로 정의될 수 있다.null

공리를 만족시키는 물체들 사이의 구조를 존중하는 모든 형태론도 자동으로 공리를 존중하기 때문에 공리만 잊어버리는 건망증이 항상 전적으로 충실한 것이다.구조를 잊어버리는 건망증 환자들은 가득 찰 필요가 없다; 어떤 형태들은 구조를 존중하지 않는다.그러나 구조를 존중하는 뚜렷한 형태는 구조가 잊혀질 때 여전히 뚜렷하기 때문에 이 요소들은 여전히 충실하다.추가 집합의 구조를 존중하는 뚜렷한 형태는 기본 집합에서 구별할 수 없기 때문에 추가 집합을 잊어버리는 펑커스는 충실할 필요가 없다.null

형식논리의 언어에서 제1종 방범자는 공리를, 제2종 방범자는 술어를, 제3종 방범자는^{[clarification needed]} 술어를 제거한다.제1종류의 예로는 건망증이 심한 펑터 Ab → Grp이 있다.두 번째 종류 중 하나는 건망증이 심한 functor Ab → Set이다.3종류의 functor는 functor Mod → Ab이며, 여기서 Mod는 임의의 링 위에 있는 모든 모듈의 fibred 범주다.이를 보려면 링 동작을 변경하지 않는 기본 링 사이에서 링 동형성을 선택하십시오.건망증이 심한 functor 아래에서, 이 형태주의는 정체성을 산출한다.모드에 있는 물체는 반지와 아벨 그룹을 포함하는 튜플이므로 잊어버려야 할 것은 미각의 문제라는 점에 유의한다.null

건망증이 심한 왼쪽 보조개

건망증이 심한 장난꾸러기들은 '자유로운' 구조인 보조를 두는 경향이 있다.예를 들면 다음과 같다.

• free module: the forgetful functor from ${\displaystyle \mathbf {Mod} (R)}$ (the category of ${\displaystyle R}$-modules) to ${\displaystyle \mathbf {Set} }$ has left adjoint ${\displaystyle \operatorname {Free} _{R}}$, with ${\displaystyle X\mapsto \operatorname$${Free} _{R}(X$ $자유{\displaystyle }$ $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$ -모듈$$(기본 X ${\displaystyle$ X$}$ 포함$).$
• 자유 그룹
• 자유 격자
• 텐서 대수
• 자유 범주, 범주에서 떨기까지 건망증이 심한 감독에게 알맞다.
• 만능포락 대수학

자세한 목록은 (Mac Lane 1997)을 참조하십시오.null

As this is a fundamental example of adjoints, we spell it out: adjointness means that given a set X and an object (say, an R-module) M, maps of sets ${\displaystyle X\to M }$ correspond to maps of modules ${\displaystyle \operatorname {Free} _{R}(X)\to M}$: every map of sets yields a map of modules,모듈의 모든 지도는 집합의 지도에서 나온다.null

벡터 공간의 경우, 이것은 "벡터 공간 사이의 지도는 어디에서 기초를 보내느냐에 따라 결정되며, 기본은 어떤 것에든 매핑될 수 있다"로 요약된다.

상징적으로:

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbf {Mod} _{R}(X),M)=\operatorname {Hom} _{\mathbf {Set}(X,\operatorname {Forget})(M)}$

무료-잊혀지지 않는 연결의 단위는 "기준의 반영"이다: $X{\displaystyle }$→ ${\displaystyle {Free}_{}}$ R ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle X\to \operatorname {Free} _{R}(X$

필드의 범주인 Fld는 부조화가 없는 건망증이 심한 펑터의 예를 제공한다.주어진 집합에 대해 자유로운 보편적 특성을 만족하는 분야는 없다.null

참고 항목

• 보조 펑커스
• 펑커스
• 투영(세트 이론)

참조

• 맥 레인, 선더스1997년 Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, Springer-Verlag, Springer-Verlag, 수학의 작업 수학자, 대학원 텍스트 범주.null ISBN0-387-98403-8
• nLab의 망각 펑터