미터법 공간 범주
Category of metric spaces범주 이론에서 메트는 메트릭 공간을 개체로, 메트릭 맵(쌍방향 거리를 늘리지 않는 메트릭 공간 사이의 연속 함수)을 형태론으로 갖는 범주다.이것은 두 개의 미터법 맵의 구성이 다시 미터법 맵이기 때문에 하나의 범주다.이즈벨(1964년)이 처음 고려했다.
화살표
Met의 단형성은 주입식 미터법 맵이다.인식은 지도의 도메인이 범위 내에서 조밀한 이미지를 갖는 메트릭 맵이다.이형성(異形性)은 주입성, 허탈성, 거리 보존성을 갖는 등각성(異角性)이다.
예를 들어, 이성적인 숫자를 실제 숫자에 포함시키는 것은 단형주의와 인식론이지만 분명히 이형주의가 아니며, 이 사례는 메트가 균형 잡힌 범주가 아님을 보여준다.
물건들
빈 메트릭 공간은 Met의 초기 개체로, 모든 싱글톤 메트릭 공간은 터미널 개체다.초기 개체와 터미널 개체가 다르기 때문에 Met에는 0개의 개체가 없다.
Met에 있는 주입 개체를 주입 메트릭 공간이라고 한다.주입식 미터법 공간은 범주로 Met에 대한 연구 이전에 Aronszajn & Panitchpakdi(1956)에 의해 먼저 도입되고 연구되었다. 또한 그것들은 또한 그들의 미터법 공의 헬리 속성 측면에서 본질적으로 정의될 수 있으며, 이러한 대체 정의 때문에 Aronsajn과 Panitchpakdi는 이 공간들을 하이퍼콘벡스 공간이라고 명명했다.모든 미터법 공간은 미터법 봉투 또는 좁은 범위라고 불리는 등축으로 포함할 수 있는 최소 주입 미터법 공간을 가지고 있다.
제품 및 펑커
Met에서 유한한 일련의 미터법 공간의 산물은 공간의 데카르트적 산물을 포인트로 하는 미터법 공간이다. 제품 공간에서의 거리는 기본 공간에서의 거리의 우월성에 의해 주어진다.즉, Sup 노르마를 갖는 제품 메트릭이다.그러나 기준 공간의 거리에는 우월성이 없을 수 있기 때문에 무한히 일련의 미터법 공간의 산물은 존재하지 않을 수 있다.즉, 메트는 완전한 범주는 아니지만, 아주 완벽하다.Met에는 교류가 없다.
망각적인 functor Met → Set는 각 측정지표 공간에 해당 포인트의 기본 세트를 할당하고, 각 측정지표 맵에 기본 설정-이론적 함수를 할당한다.이 functor는 충실하고, 따라서 Met은 구체적인 범주다.
관련 카테고리
Met은 메트릭스 공간인 유일한 범주가 아니다. 다른 범주에는 균일하게 연속되는 함수의 범주, 립스치츠 함수의 범주 및 준 립스치츠 매핑의 범주가 포함된다.미터법 지도는 균일하게 연속되어 있고 립스치츠도 있으며, 립스치츠는 기껏해야 한 개에 일정하다.
참고 항목
참조
- Aronszajn, N.; Panitchpakdi, P. (1956), "Extensions of uniformly continuous transformations and hyperconvex metric spaces", Pacific Journal of Mathematics, 6 (3): 405–439, doi:10.2140/pjm.1956.6.405.
- Deza, Michel Marie; Deza, Elena (2009), "Category of metric spaces", Encyclopedia of Distances, Springer-Verlag, p. 38, ISBN 9783642002342.
- Isbell, J. R. (1964), "Six theorems about injective metric spaces", Comment. Math. Helv., 39 (1): 65–76, doi:10.1007/BF02566944, S2CID 121857986.
