위상 공간의 자명한 기초

위상수학 분야에서 위상공간은 보통 열린 ^[1]집합을 선언함으로써 정의됩니다.그러나, 각각 정확히 동일한 개념으로 이어지는 많은 동등한 공리적인 기초가 있기 때문에, 이것은 필요하지 않다.예를 들어 위상 공간은 닫힌 집합의 클래스, 닫힌 집합 및 내부 연산자, 다양한 유형의 객체의 수렴을 결정합니다.대신 이들 각각은 오브젝트의 프라이머리 클래스로 간주할 수 있으며, 다른 모든 것(오픈 세트 클래스 포함)은 새로운 시작점에서 직접 결정됩니다.예를 들어, Kazimierz Kuratowski의 잘 알려진 점 집합 위상 교과서에서는 위상 공간은 특정 유형의 "폐쇄 연산자"와 함께 집합으로 정의되며, 다른 모든 개념은 여기에서 ^[2]파생된다.마찬가지로, (하우스도르프 공간의 맥락에서) 근방에 기초한 공리는 그룬드쥐게 데르 멘겐레흐레의 ^{[citation needed]}위상 공간에 대한 펠릭스 하우스도르프의 원래 정의로 거슬러 올라갈 수 있다.

많은 다른 교과서들이 점 집합 토폴로지를 개발하기 위해 많은 다른 개념들의 상호의존성을 사용합니다.결과는 항상 동일한 개체 집합(열린 집합, 닫힌 집합 등)입니다.개발 선택에 관계없이 동일한 객체(이 기사에 나와 있는 것 중 상당 부분) 간의 의미와 상관관계를 이해하는 한, 많은 실용적인 목적을 위해 어떤 토대를 선택하느냐는 문제는 무관하다.다만, 유연성을 가지는 것이 도움이 되는 경우가 있습니다.예를 들어, 측정치의 수렴에는 다양한 자연적 개념이 있으며, 그것들이 위상 구조에서 발생하는지 여부는 즉시 명확하지 않다.이러한 질문은 수렴에 기초한 토폴로지 공리에 의해 크게 명확해진다.

오픈 세트를 통한 표준 정의

위상 공간은 $집합{\displaystyle }$ X$({displaystyle$X})와$$ X$({displaystyle$X})의 하위 집합 $집합{\displaystyle }$S({$displaystyle$ S$})$로,^[3] 다음을 만족합니다$$.

• $빈{\displaystyle }$ 세트와 X$({displaystyle$X})는${\displaystyle }$S$.({displaystyle$ S})에 있습니다$.$
• S$(\displaystyle$ S$)$의 모든 세트 집합의 결합은 S$.(\displaystyle$ S$)$에도 있습니다.
• S$(\displaystyle$ S$)$의 세트 쌍의 교차점도 $(\displaystyle$ S$)$에 있습니다. 마찬가지로$$ S$(\displaystyle$ S$)$의 세트 집합의 교차점도${\displaystyle }$S(\$displaystyle$ S$)$에 있습니다$.$

토폴로지 ${\displaystyle \mathrm{공간}(X,}$ S $),$ {\$displaystyle($$X, S$)}의$$$$ 경우$S$의 요소를$X$의 오픈 세트(\$displaystyle$X)로$$ 나타내며$,$ 일반적으로 S(\$displaystyle$S)만을$$ 이 방법 또는 라벨 토폴로지로 $나타냅니다{\displaystyle }$.다음으로, 다음의 2차 정의를 실시합니다.

• 두 번째 위상 $공간{\displaystyle }$ Y$({displaystyle$ Y$})$가 주어졌을 때 $함수{\displaystyle }$f:${\displaystyle X}$ $→$ Y({$style f:X\to$ Y$})$는${\displaystyle }$Y의 $모든{\displaystyle }$ 열린 $부분{\displaystyle }$ 집합 U$({displaystyle$ U$})$에 대해 f${\displaystyle {}^{}}$- $($ 있는 경우에만 연속이라고 합니다.$X.}$^[4]
• X$(\displaystyle$ X$)$의 $서브셋{\displaystyle }$ C(\$displaystyle$ C$)$는 보완 $(\displaystyle$ X$\setminus$ C$)$가 ^[5]열려 있는 경우에만 닫힙니다.
• X의${\displaystyle }하위{\displaystyle }$ $집합{\displaystyle }$A$(\displaystyle$ X$)$가 있는 경우 폐쇄는 모든 점의 집합이며 이러한 점을 포함하는 모든 열린 집합이 A$.\displaystyle$A와 $교차$해야 합니다.$}$^[6]
• X의${\displaystyle }하위{\displaystyle }$ $집합{\displaystyle }$A(\$displaystyle$ A$)$가 지정된$$ 경우, 내부 인테리어는$A$.\$displaystyle$A에 $포함$된 모든 오픈 세트의 통합입니다.$}$^[7]
• X의 요소){\displaystyle)},{X\displaystyle,}을 감안할 때 한 A.{\displaystyle A의 x{\displaystyle)}의{A\displaystyle}은 동네 부분 집합 만일 x{\displaystyle)}X{X\displaystyle}의 개방된 부분 집합에 담겨 있다. 이것 또한 부분 집합이라고 말한다}어떤 텍스트[8]books는 x $.\displaystyle$ x $.\$displaystyle x .를 $포함$하는 오픈세트를 참조하기 위해 "$\displaystyle$ x$"$를 사용합니다.
• x$,\displaystyle$ x$,\$$displaystyle$ U를$$ $포함$하는 $U$에 대해 그 네트가 최종적으로${\displaystyle }$U$.\displaystyle$ U$.$에 포함되면 그 네트는$X$의 $점{\displaystyle }$x(\$displaystyle$x$)$로 수렴된다고 합니다$.$
• $집합{\displaystyle }$ X$,$ \$displaystyle$ X$,\$$displaystyle$ X,\$displaystyle$X의$빈{\displaystyle }$ 서브셋이 아닌 집합인 경우 필터는 유한 교차로 및 슈퍼셋 ^[11]아래에서 닫힙니다.일부 교재에서는 필터에 빈 세트를 포함할 수 있도록 허용하고 필터가 ^[12]제외되는 경우를 위해 "properate filter"라는 이름을 예약합니다.$X의$$$토폴로지에서는 x$\$^[13]$displaystyle$x를$$ $포함$하는 열린 $집합{\displaystyle }$ U$\displaystyle$ $U$$\$$displaystyle$ U\displaystyle X$\$로 수렴하는 필터 개념을 정의합니다.
• $집합{\displaystyle }$ X$(\displaystyle$ X$)$가 지정된$$ 경우 필터 베이스는 비어 있지 않은 하위 집합 집합 집합으로, 두 개의 하위 집합이 비공개로 교차하고 ^[14]교차로에 세 번째 하위 집합을 포함합니다.$X$의${\displaystyle }$토폴로지를 지정하면$$x의$$ $모든{\displaystyle }$ 근린에 ^[15]필터 베이스의 요소가 포함되어 있는 경우 필터 베이스가 x$(\$$display style$x$)$ $포인트$로 수렴됩니다.

닫힌 세트를 통한 정의

$(디스플레이 스타일$ X$)$를 위상 공간으로 합니다.De Morgan의 법칙에 따르면 닫힌 집합의 $컬렉션{\displaystyle }$T {\$displaystyle$ T$}$는 다음 ^[16]특성을 충족합니다.

• $빈{\displaystyle }$ 세트와 X$(디스플레이 스타일$ X$)$는$$T($디스플레이 스타일$ T$)$의 요소입니다.
• T$${\$displaystyle$ T$}$의 세트 집합의 교차점도 T$$. {\$displaystyle$ T}입니다$.$
• T$(\displaystyle$ T$)$의 모든 세트 조합은 T$(\displaystyle$ T$)$에도 있습니다.

$이제{\displaystyle }$ X$(디스플레이$ 스타일 X$)$가 세트일 뿐이라고 가정합니다.위의 공리를 충족하는$X{\displaystyle }$ 서브셋의 $컬렉션{\displaystyle }$ T$(\$$displaystyle$ X$)$가 있는$$ 경우 대응하는 세트 $\{{\displaystyle U:X}$ ${\displaystyle \setminus }$ U${\displaystyle t}$ T$$}(\$displaystyle \{U:X\setminus U\in$ T\})는 X$,\$$displaystyle$ X$,\$setminus U\in T$\}$의 토폴로지일 $뿐$입니다.$e$ T$}$는 닫힌 ^[17]집합의 해당 집합입니다.즉, 닫힌 세트를 선언함으로써 토폴로지를 정의할 수 있습니다.따라서 모든 정의를 닫힌 집합으로 바꿀 수 있습니다.

• 두 번째 위상 $공간{\displaystyle }$ Y$({displaystyle$ Y$})$가 주어지면 함수 $f{\displaystyle :X}$ ${\displaystyle \to }$({$style$ f$:$$X\to$ Y$})$는${\displaystyle }$Y의 $모든{\displaystyle }$ 닫힌 $부분{\displaystyle }$ 집합 U$({displaystyle$$$Y$})$에 대해 닫힌 부분 집합${\displaystyle {}^{}}f{\displaystyle {}^{}}$ - $(U)이$X의$$ $닫힌$ 부분 집합인 경우에만 연속입니다.
• $X의$$서브셋{\displaystyle }$ C$({$$displaystyle$$$X$})$는 보완 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$C({$displaystyle$ X\$setminus$C})가 ^[19]닫혀 있는 경우에만 열립니다.
• X의${\displaystyle }하위{\displaystyle }$ $집합{\displaystyle }$ A$(\displaystyle$ A$),$ \$displaystyle$ X$)$가 지정되면 닫힘은 A$.\displaystyle$A를 $포함$하는 모든 닫힌 집합의 교차점입니다.$}$^[20]
• X의${\displaystyle }부분{\displaystyle }$ $집합{\displaystyle }$ A$(\displaystyle$ A$),$ {\$displaystyle$ X$}$가 지정되면 내부는 X${\displaystyle a}$A $.\displaystyle$ X$\setminus$A를 $포함$하는 모든 닫힌 집합의 교차점을 보완합니다.$}$

폐쇄 연산자를 통한 정의

위상$$ $X를$지정하면 $폐쇄$는 지도${\displaystyle }\}{\displaystyle \mathrm{}}$ (${\displaystyle X}$ ) ${\displaystyle \to \mathrm{\wp }}$ (${\displaystyle X}$) , $\wp ( X$ ) \$to \wp ($X )로 간주할 수 있습니다$.$ 여기서 ${\displaystyle \}}$ (${\displaystyle X}$) { $displaystyle$$\wp$( $X$)는$$ X$$. \$wp$ ( X )의 파워셋을 나타냅니다. Kurat } 。

• ${\displaystyle A\subseteq\operatorname {cl}(A)}$
• $\displaystyle \operatorname {cl} (\operatorname {cl} (A))=\operatorname {cl}(A)}$
• $\displaystyle \operatorname {cl}(A\cup B)=\operatorname {cl}(A)\cup \operatorname {cl}(B)}$
• $\displaystyle \operatorname {cl} (\varnothing )=\varnothing }$

X$(\displaystyle$ X$)$가 위의 속성을 만족시키는 매핑을 갖춘 세트인 $경우{\displaystyle }$ cl의 가능한 모든 출력 세트는 닫힌 세트에 대한 이전의 공리를 충족하고 토폴로지를 정의합니다.이 토폴로지는 해당 ^[22]cl과 관련된 닫힘 연산자가 일치하는 고유한 토폴로지입니다.이전과 같이 위상 $공간{\displaystyle }$ X$,\displaystyle$ X$,\$closure $연산자$로 모든 정의를 표현할$$ 수 있습니다.

• $두{\displaystyle }$ 번째 위상 $공간{\displaystyle }$ Y$displaystyle$ Y$)$가 주어지면$$ 함수${\displaystyle }$f:${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$(\$displaystyle$ f$:$$X$to Y$)$는${\displaystyle }$X의 $모든{\displaystyle }$ 부분 $집합{\displaystyle }$ A$(\$$displaystyle$ $A)$에 대해 f$⁡$ A$)가 설정$되어 있는 경우에만 연속적입니다$.$$.$$}$^[23]
• $X의$$$$서브셋{\displaystyle }$C$({$$displaystyle$ X$})$는 Cl ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a}$A )${\displaystyle =}$ ${\displaystyle Xa}$A$$. \ $displaystyle \operatorname {cl}$ ($X$ \ $setminus$ A ) $= X$ \ $setminus$$A$인 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$에만 열립니다.$}$^[24]
• Cl$c$ ( C ) ${\displaystyle =C}$. \ $displaystyle$$$\ $operatorname { cl$} (${\displaystyle }$C ) $=$ $C$인 경우에만 X의$$ $서브셋{\displaystyle }$C(\$displaystyle$$$C$)$가 닫힙니다.$}$^[25]
• $(\$displaystyle X$)$의 $서브셋A{\displaystyle }$$$(\$displaystyle$ A$)$를 지정하면 내부 인테리어는 cl${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle A}$ $).\displaystyle \operatorname {cl}$ ($X\setminus$ A$)$를 보완합니다.$}$^[26]

내부 연산자를 통한 정의

위상 $공간{\displaystyle }$ X$({displaystyle$ X$})$가 주어지면 내부는 ${\displaystyle \mathrm{지도}}$}${\displaystyle }$( X ) ${\displaystyle \to \mathrm{}}$}${\displaystyle }$(${\displaystyle X}$) , { displaystyle $\wp$ ($X)\$$to$ \$wp (X)}$ 로$$ 간주할 수 있습니다. 여기서 ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle X}$) { $displaystyle$ $\wp$( X )는$$ 다음 ^[27]조건을 만족하는${\displaystyle }$X $.$의 전원 $집합$을 나타냅니다$.$

• ${\displaystyle\operatorname{int}(A)\subseteq A}$
• ${\displaystyle\operatorname{int}(\operatorname{int})(A)=\operatorname {int}(A)}$
• ${\displaystyle \operatorname {int}(A\cap B)=\operatorname {int}(A)\cap \operatorname {int}(B)}$
• ${\displaystyle\operatorname{int}(X)=X}$

X$(\displaystyle$ X$)$가 위의 속성을 만족시키는 매핑을 갖춘 세트인 $경우{\displaystyle }$ int의 가능한 모든 출력 세트는 오픈세트에 대한 이전의 공리를 충족하고 토폴로지를 정의합니다.이 토폴로지는 지정된 ^[28]int와 관련된 내부 연산자가 일치하는 고유한 토폴로지입니다.따라서 위상 $공간{\displaystyle }$ X$,\displaystyle$ X$,\$displaystyle X,\는$$ 다음과 같이 내부 연산자의 관점에서 모든 정의를 표현할 수 있습니다.

• 위상 $공간{\displaystyle }$X(\$displaystyle$ X$)$와${\displaystyle }$Y$(\$$displaystyle$ Y$)$에서 함수 f${\displaystyle :X}$ ${\displaystyle \to }$(\$displaystyle$ f$:X\to$Y)는${\displaystyle }$Y의 $모든{\displaystyle }$ 하위 $집합{\displaystyle }$ B$(\$$displaystyle$Y$)$에 $대해{\displaystyle {}^{}}$ f ${\displaystyle {-}^{}}$ ${\displaystyle 1^{}\mathrm{표시}}$ $스타일$ B${\displaystyle )}$이 설정된 경우에만$연속적입니다$.$$ 는 f${\displaystyle {}^{}}$-${\displaystyle {}^{}{1}^{}}$ (${\displaystyle B}$ ${\displaystyle )}$의 서브셋입니다$.{$ $displaystyle$ f^ { - $1$（ $B$） 。$}$^[29]
• 세트는 ^[30]내부와 동일한 경우에만 열립니다.
• 집합의 닫힘은 보완체의 ^[31]내부를 보완합니다.

인근을 통한 정의

이 문서는 인근 지역이 반드시 개방되어 있는 것은 아니라는 규칙을 따르고 있음을 기억하십시오.위상 공간에는 다음과 같은 ^[32]사실이 있습니다.

• U$(\displaystyle$ U$)$가 x$(\displaystyle$ x$)$의 근방인 $x$(\$displaystyle$x)는$$ U$(\displaystyle$ U$)$의 $요소$입니다.
• $({displaystyle$x})의$$ 두 이웃의 교차로는 x$({displaystyle$ x$})$의 근방입니다. 마찬가지로$$ x$({displaystyle$x})의 최종 다수의 이웃의 교차로는 x$({displaystyle$ x$})$의 근방입니다.
• V$(\displaystyle$ V$)$에 $(\displaystyle$ x$)$ 근방이$$ 포함되어 있는 $V$(\$displaystyle$ V$)$는${\displaystyle }$x(\$displaystyle$x) 근방이 됩니다$.$
• $(\displaystyle$ U$)$가 $(\displaystyle$ x$)$ 근방이면 x$(\displaystyle$ x$)$ $근방$$$V(\displaystyle V$)$가 U$(\displaystyle$ U$)$에 $포함$되어 각$포인트$의 근방 V(\$displaystyle$ V)가 존재합니다.

X$({displaystyle$X})가$$ 세트이고${\displaystyle }$X$({displaystyle$X})의 모든 포인트에 대해 빈 네이버 컬렉션을 선언하는 $경우{\displaystyle }$ 각 포인트의 네이버일 경우에만 오픈을 선언함으로써 토폴로지가 정의됩니다.이 토폴로지는 관련된 시스템이 ne인 고유한 토폴로지입니다.Ighbories는 주어진 ^[33]대로입니다.따라서 위상 $공간{\displaystyle }$ X${\displaystyle ,}$\$displaystyle$ X$,\$displaystyle X,\에서는$$ 모든 정의를 인접관계로 표현할 수 있습니다.

• 또 다른 $위상{\displaystyle }$ 공간 Y$style Y$$)$가 주어졌을 때, $지도{\displaystyle }$f:$X{\displaystyle }$${\displaystyle \to }$ Y$(\displaystyle$ f$:X$$\$$to$ Y$)$는 X$(\displaystyle$ X)의 모든 요소 x(\$style$ x$)$ 및 f${\displaystyle {(}^{}}$$x$${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$$(\style$ f$(x$$)$의 $모든{\displaystyle }$ $이웃{\displaystyle }$ B$(\displaystyle$ b$)$에 대해서만 연속적입니다${\displaystyle {}^{}}$$laystyle$ f$^{-1}(B)}$은${\displaystyle (}$는) x$$. {$displaystyle$ x$}$의 인근입니다.
• X$(\displaystyle$ X$)$의 서브셋은 각 포인트의 인근인 경우에만 열립니다.
• X의${\displaystyle }하위{\displaystyle }$ $집합{\displaystyle }$A$(\$$displaystyle$ X$)$에서 닫힘은$$X의 $모든{\displaystyle }$ $요소{\displaystyle }$x(\$displaystyle$$$x$)$의 집합이며$x$의 $모든{\displaystyle }$ 근방이 A$.\displaystyle$A와 $교차$합니다.$}$^[35]

네트워크 컨버전스를 통한 정의

망의 수렴은 다음 ^[36][37]특성을 충족합니다.

1. 모든 상수 네트워크는 그 자체로 수렴됩니다.
2. 컨버전스 네트워크의 모든 서브넷은 동일한 제한으로 수렴됩니다.
3. 네트워크가 x$({displaystyle$x$$}) $포인트$로 수렴되지 않으면 서브넷이 x${\displaystyle (\{}$$displaystyle$ x$})$로 더 이상 수렴되지 않습니다$.$따라서 x$({\$$displaystyle$ $x_{\display}}})$가 모든 서브넷이 x$,$ {\$display$ x$}($)로 수렴되는 서브넷을 갖는 넷인 경우 $서브넷$이 있습니다.$({$는${\displaystyle }x$로 수렴됩니다$.{$ $displaystyle$ x$$}
4. 대각 원리/반복 한계 수렴.$($ ${\displaystyle {x_{}}_{}}$a ) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x}$\ $displaystyle$$\$ left ( $x$_ {$a$ )$_$ {$a$ \ $in A$$$} \ $to$ x$$} ( $X$ )의$$ 경우${\displaystyle ,}$ $A$마다 ($$${\displaystyle {{}_{}^{}{i}_{}^{}}_{}}$ ) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ ${\displaystyle {A_{}}_{}}$∈ \ $display$$style$ \ ( $x$_ { x ${\displaystyle {{}_{}^{}}_{}}$ { $a }I$^{ i } { displaystyleft$}$$splaystyle$ X$,}$이(가) x$${{$displaystyle$x}($$대각망은 (x a i) a$,{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}^{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$의 ${\displaystyle {{서브넷}_{})}_{}}$_${displaystyle \left(x_{a}^i}\right)_{a\in$ A$, i_{a}$로 $수렴$하는 대각선 네트가 존재합니다$.$ $여기$서 이 넷의 도메인은 사전순으로 정렬됩니다.A;{\displaystyle I_{};}[37]을 명시적으로 주어진(, 나는),(2, i2)∈ ∪ ∈ 나는,{\displaystyle(a,i),\left(a_{2},i_{2}\right)\in \cup_{Aa\in}A\times I_{를},}은(, 나는)(2, i2){\displaystyle(a,i)\leq \left(a_{2},i_{2}\right)}≤을 선포한×고만 한다면 두(1). a$a$, {\$displaystyle a_{$2$$} $및{\displaystyle }$ (2) a${\displaystyle }$=$$ 2 {\$displaystyle a=a_{$2$$}인 경우${\displaystyle }$i $2 {\$2}}$$를 선택합니다.

X$(\displaystyle$ X$)$가 세트인 $경우{\displaystyle }$, 위의 공리를 만족시키는 그물 및 포인트 집합이 주어지면 X$(\displaystyle$ X$)$의 폐쇄 연산자는 A$;\displaystyle$ A$;\$displaystyle A$;\$displaystyle$$ A;\displaystyle A)에 있는 모든 그물들의 모든 한계 집합에 임의의 $A$를 전송함으로써$$ 정의됩니다. 대응하는 토폴로지는 고유 토폴로지입니다.주어진 그물 컨버전스를 ^[36]포인트로 유도한다.

토폴로지 $공간{\displaystyle }$X의 $서브셋A{\displaystyle x}$X { $display style$A \ $subseteq X$}가$$ 지정되었을 경우$:$ { $displaystyle$ X :$$}

• ${\displaystyle }$$A$의 $요소$로 수렴되는 모든 네트가 최종적으로 A$.\displaystyle$A에 $포함$되는 경우에만$$X(\displaystyle$$X$)$에서 \$displaystyle$ A가 열립니다.$}$
• X$(\displaystyle$ X$)$의 A$(\displaystyle$ A$)$ 폐쇄는 A$displaystyle$ A$)$의 모든 수렴망 제한 집합입니다.$}$^[38]
• 만일 A{A\displaystyle}에 있는 보어의 요소 X에 전진 그물이 존재하지 않∖ A.{\displaystyle X\setminus AA{A\displaystyle}X{X\displaystyle}대사관은 문을 닫았다만일 A⊆ X{\displaystyle A\subseteq X}X{X\displaystyle}대사관은 문을 닫았다}[39]하위 집합마다 l.A$(\displaystyle$ A$)$의 모든 컨버전스넷의 imit 포인트는 반드시$$ A$(\displaystyle$ A$)$에 속합니다.$}$^[37]

$두$ 토폴로지 공간 사이의 $함수{\displaystyle }$f : X${\displaystyle }$${\displaystyle \to }$$$ (\$displaystyle$ f$:X\to$ Y )는$$ X $style$의 $모든{\displaystyle }$$X{\displaystyle }$ (\$displaystyle$x\$in$X) 및$$ X $(\displaystyle$ $x_{\display$$$$})$에서$$X (\displaystyle X)로 수렴하는 $모든{\displaystyle {}_{}}$ x$$(\$displaystyle$ x_{\$style$ x$\$in X)에 대해서만 연속적입니다$.$$§$ {$displaystyle f\left$(x_${\bullet }\$right)}는$$Y에서 $x)$ {$displaystyle f($x$$)}로${\displaystyle }수렴$됩니다${\displaystyle {.\{}_{}}$ $displaystyle$ Y$$}

필터 컨버전스를 통한 정의

또한 어떤 필터가 ^{[citation needed]}어떤 포인트로 수렴되는지 선언함으로써 토폴로지를 세트에 정의할 수도 있습니다.하나는 필터 및 프리필터(필터베이스라고도 함)의 관점에서 표준 객체의 다음과 같은 특성을 가지고 있습니다.

• 두 번째 위상 $Y가$주어졌을 때 f${\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \to }$ {$style$ f$:X\to$ Y$}$ $함수$는 프리필터의 ^[41]수렴을 유지하는 경우에만 연속적입니다.
• $A$의 $요소$로 수렴하는 모든 필터에 A$.\displaystyle$ A$.\$displaystyle A$.\$displaystyle A가 $포함$되어 있는 경우$X$의 $하위{\displaystyle }$ 집합$$A(\$displaystyle$X)가$$$$ 열립니다.$}$^[42]
• $X{\displaystyle }$$(\$$displaystyle$$$X)의 서브셋 $A$(\displaystyle A$)$는$$A(\$displaystyle$ A)에 프리필터가 없는 경우에만 닫힙니다. 프리필터는 X$displaystyle$ A$)$의 A(\displaystyle X$\setminus$ A$).$$}$^[43]
• $X$의${\displaystyle }$$서브셋{\displaystyle }$A$(\$$displaystyle$ X$)$가 있는 경우 클로저는 A$(\displaystyle$ A$)$에 x$(\displaystyle$ x$)$로 수렴하는$$ 프리필터가 $있는{\displaystyle }$ 모든 점$x{\displaystyle }$(\$displaystyle$ x$)$로 구성됩니다.
• X$(\displaystyle$ X$)$의 $서브셋{\displaystyle }$ A(\$displaystyle$ A$)$는 x$(\displaystyle$ x$)$로 수렴하는 모든 필터의 요소인 경우에만 x$(\displaystyle$ x$)$의 근방입니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 코시 공간
• 컨버전스 공간– 일반적인 토폴로지에서 볼 수 있는 컨버전스 개념의 일반화
• 토폴로지의 필터– 모든 기본적인 토폴로지의 개념과 결과를 설명하고 특징짓기 위해 필터를 사용합니다.
• 순차 공간 – 시퀀스로 특징지어지는 위상 공간
• 토폴로지(구조) – 토폴로지 공간의 열린 서브셋 집합

레퍼런스

메모들

교재

• Dugundji, James (1978). Topology. Allyn and Bacon Series in Advanced Mathematics (Reprinting of the 1966 original ed.). Boston, Mass.-London-Sydney: Allyn and Bacon, Inc.
• Engelking, Ryszard (1977). General topology. Monografie Matematyczne. Vol. 60 (Translated by author from Polish ed.). Warsaw: PWN—Polish Scientific Publishers.
• Kelley, John L. (1975). General topology. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 27 (Reprint of the 1955 ed.). New York-Berlin: Springer-Verlag.
• Kuratowski, K. (1966). Topology. Vol. I. (Translated from the French by J. Jaworowski. Revised and augmented ed.). New York-London/Warsaw: Academic Press/Państwowe Wydawnictwo Naukowe.
• Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology (First ed.). Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.