체보타레프의 밀도 정리

체보타레프의 대수적 수 이론에서의 밀도 정리는 합리적인 숫자의 $필드{\displaystyle \mathbb{}}$ Q ${\$의 주어진 갈루아 확장 K에서 프리타임의 분할을 통계적으로 설명한다.일반적으로 말해서, 원시 정수는 K의 대수 정수 링에서 몇 개의 이상적인 프리타임으로 인할 것이다.갈라지는 패턴은 아주 많이 있을 뿐이다.일반 갈루아 연장선에서 모든 prime p의 분열에 대한 완전한 설명은 주요 미해결 문제지만, 체보타레프 밀도 정리는 N이 무한대로 갈수록 일정한 패턴의 발생 빈도가 제한되는 경향이 있다고 말한다.니콜라이 체보타리오프가 1922년에 발표한 논문에서 증명되었다(츠체보타레프 1926).

설명하기 쉬운 특별한 경우는 K가 $Q{\displaystyle \mathbb{}}${\$displaystyle \mathb {Q}$의 갈루아 확장인 대수적 숫자 필드라면 K에서 완전히 분할된 소수들은 밀도가 있다고 말한다.

1/n

아주 드문 일 중에보다 일반적으로, 분열행동은 갈루아 그룹에서 잘 정의된 결합계급의 대표격인 그것의 프로베니우스 요소인 (거의) 모든 소수 불변수에 할당함으로써 지정할 수 있다.

갈(K/Q)

그러면 정리는 이들 불변성의 점증분포가 집단에 걸쳐 균일하기 때문에 k 원소를 가진 결합계급이 빈도수증환과 함께 발생한다고 말한다.

k/n.

역사와 동기

칼 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)가 복잡한 정수 Z[i]의 개념을 처음 소개했을 때, 그는 보통의 소수들이 이 새로운 정수 집합에서 더 많은 요소들을 차지할 수 있다는 것을 관찰했다.In fact, if a prime p is congruent to 1 mod 4, then it factors into a product of two distinct prime gaussian integers, or "splits completely"; if p is congruent to 3 mod 4, then it remains prime, or is "inert"; and if p is 2 then it becomes a product of the square of the prime (1+i) and the invertible gaussian integer -i; we say that 2 "ramifies"예를 들어,

${\displaystyle 5}$= (${\displaystyle }$1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle i}$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1}$- 2 ${\displaystyle i}$) ${\displaystyle$ 5$=(1+2i$)(1-2i$)}$이(가) 완전히 분리됨$$;

${\displaystyle 3}$ $[\displaystyle 3}$이(가) 비활성 상태임$$

${\displaystyle 2}$=${\displaystyle }$- i${\displaystyle }$( 1${\displaystyle }$+ ${\displaystyle i{}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 라미네이션한다$$.

이 설명에서, 점점 더 큰 소수점을 고려할 때 소수점 분할 빈도가 완전히 1/2에 근접하며, 마찬가지로 Z[i]에 소수점이 남아 있는 소수도 마찬가지인 것으로 보인다.디리클레트의 산술 진행에 대한 정리는 이것이 사실이라는 것을 보여준다.소수 자체가 다소 불규칙적으로 나타나더라도 연장선상에서 소수점이 갈라진다.

${\displaystyle \mathb {Z} \subset \mathb {Z} [i]}$

간단한 통계법을 따르다

유사한 통계법은 또한 주어진 질서의 통일의 원시적 근원을 결합하여 합리적인 수의 분야에서 얻은 사이클로토믹 확장의 소수점 분리에 대해서도 규정하고 있다.예를 들어, 보통 정수 소수들은 통일의 8번째 뿌리에 해당하는 정수 링에서 갈라지는 패턴에 따라 각각 확률 1/4을 갖는 네 개의 등급으로 분류된다.이 경우, 필드 익스텐션은 4등급이며 아벨리안이며, 갈루아 그룹은 클라인 4개 그룹에 이형화된다.확장의 갈루아 집단이 소수 분열 양식에서 핵심적인 역할을 하는 것으로 나타났다.게오르크 프로베니우스는 이 패턴을 조사하기 위한 틀을 확립했고, 정리의 특별한 경우를 증명했다.총성명은 1922년 니콜라이 그리고리예비치 체보타리오프에 의해 증명되었다.

디리클레의 정리와의 관계

체보타레프 밀도 정리는 산술 진행에 관한 디리클레트의 정리를 일반화한 것으로 볼 수 있다.디리클레트 정리의 정량적 형태는 N≥2가 정수이고 a가 N과 일치하면 모드 N에 대한 소수 p concruise의 비율은 1/n에 무증상이며 여기서 n=n(N)은 오일러 토티엔트함수다.이것은 Nth cyclotomic field K에 대한 체보타레프 밀도 정리의 특별한 경우다.실제로 K/Q의 갈루아 그룹은 아벨리안이며, 변환성 잔류물 등급의 그룹과 함께 표준적으로 식별될 수 있다.p 분할이 아닌 prime의 분할 불변수는 p 분할이 splits(N)/m이고, 여기서 m은 p모듈로 N의 곱셈 순서이기 때문에, 체보타레프 밀도 정리에 의해 prime은 점증적으로 N에 대한 다른 잔류 등급들 사이에 균일하게 분포되어 있기 때문에 prime는 단순히 잔류 등급이다.

공식화

그들의 조사 기사에서, 렌스트라와 스티븐하겐(1996)은 이 지역에서 프로베니우스의 초기 결과를 제시한다.K는 합리적인 숫자 필드 Q의 갈루아 확장자이고, P(t)는 K가 P의 분할 필드인 모닉 정수 다항식이라고 가정한다.P모듈로를 소수점 p로 간주하는 것이 타당하다.그것의 '분할형'은 P mod p의 수정 불가능한 요소들의 정도 목록이다. 즉, P는 주요 분야_p F보다 어떤 방식으로 영향을 미친다.n이 P의 정도일 경우, 분할 유형은 partition의 파티션 π이다.또한 Q에 대한 K의 갈루아 그룹 G를 고려하면, G의 각 G는 K에 있는 P의 뿌리의 순열이다. 즉, α의 순서와 그 대수적 결합을 선택함으로써 G는 대칭 그룹 S의_n 하위 그룹으로 충실하게 표현된다.우리는 'cycle type' c(g)를 제공하는 그것의 주기적 표현을 통해 g를 다시 n의 분할을 쓸 수 있다.

프로베니우스의 정리는 π의 임의의 주어진 선택에 대해 P모드 p의 분할형이 π인 pimes p는 자연 밀도 Δ를 가지며, Δ는 사이클 타입 π을 가지는 G의 g의 비율과 동일하다고 기술하고 있다.

좀 더 일반적인 체보타레프 정리의 진술은 프라임(이상)의 프로베니우스 원소라는 용어로, 사실 갈루아 그룹 G의 원소들의 관련 결합 등급 C이다.만약 우리가 C를 고친다면, 그 정리는 점증적으로 프리임의 C/G 비율이 프로베니우스 원소를 C로 연관시켰다고 말한다.G가 Abelian일 때, 물론 각각의 클래스는 1사이즈를 가지고 있다.순서가 6인 비아벨라 그룹의 경우 그들은 1, 2, 3의 크기를 가지고 있으며, 그에 상응하여 (예를 들어) primes p의 50%가 그들의 프로베니우스로서 순서 2 요소를 가지고 있다.그래서 이 프리마임은 2도 잔류물을 가지고 있기 때문에, 갈루아 그룹으로서 Q의 6도 연장선상에서 정확히 3개의 주요 이상으로 갈라졌다.^[1]

성명서

L을 갈루아 그룹 G와 함께 숫자 필드 K의 유한한 갈루아 확장이 되게 한다.X를 G의 부분집합으로 하여 결합하에서도 안정되게 한다.L에서 프로그래밍되지 않고 연관된 프로베니우스 결합 등급 F가_v X에 포함된 프리타임 v의 세트는 밀도를 가진다.

${\displaystyle {\frac {\#X}{\#G}}}$^[2]

이 문장은 밀도가 소수집합의 자연 밀도 또는 분석 밀도를 참조할 때 유효하다.^[3]

유효 버전

일반화 리만 가설은 체보타레프 밀도 정리의 효과적인 버전을^[4] 암시한다: L/K가 갈루아 그룹 G와 유한한 갈루아 확장자이고, C가 G의 결합 등급인 경우, C에서 프로베니우스 결합 등급과 x 이하의 표준 K의 미묘화 프리임의 수는 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac { C}{ G}}{\Bigl (}\mathrm {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt{x}}(n\log x+\log \Delta ){\bigr )},$

여기서 big-O 표기법에 내포된 상수는 절대이고, n은 Q에 대한 L의 정도이며, Δ는 그 변별력이다.

체보타레프의 밀도 이론의 유효 형태는 GRH가 없으면 훨씬 약해진다. Galois 그룹 G와 d 도 d로 Q의 유한한 갈루아 연장이 되도록 L을 취한다.$\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho}$을(를) G의 비독점적 표현으로 사용하고$$, $f{\displaystyle \mathfrak{}}$ (${\displaystyle \rho }$) ${\displaystyle {\mathfrak {f}(\rho )}$을(를) 사용하여 이 표현의 Artin 지휘자로 삼으십시오.Suppose that, for ${\displaystyle \rho _{0}}$ a subrepresentation of ${\displaystyle \rho \otimes \rho }$ or ${\displaystyle \rho \otimes {\bar {\rho }}}$, ${\displaystyle L(\rho _{0},s)}$ is entire; that is, the Artin conjecture is satisfied for all ${\displaystyle$$\rho _{0$${\$을(를) $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$과(와) 연관된 문자로 삼으십시오$$$.$ 그러면 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ 2 ${\displaystyle x\geq$ $}$에 대해 절대 $양$의 c ${\displaysty$c$\}$가 있습니다,

${\displaystyle \sum _{p\leq x,p\not \mid {\mathfrak {f}}(\rho )}\chi _{\rho }({\text{Fr}}_{p})\log p=rx+O{\biggl (}{\frac {x^{\beta }}{\beta }}+x\exp {\biggl (}{\frac {-c(dn)^{-4}\log x}{3\log {\mathfrak {f}}(\rho )+{\sqrt {\log x}}}}{\biggr )}(dn\log(x{\mathfrak {f}}(\rho )){\biggr )},}$

where ${\displaystyle r}$ is 1 if ${\displaystyle \rho }$ is trivial and is otherwise 0, and where ${\displaystyle \beta }$ is an exceptional real zero of ${\displaystyle L(\rho ,s)}$; if there is no such zero, the ${\displaystyle x^{\beta }/\beta }$ term can be ignored.이 표현의 암묵적 상수는 절대적이다.^[5]

무한 확장

체보타레프 밀도 정리의 문장은 K의 소수점 유한 집합 S(즉, S에 있지 않은 K의 소수점 S가 연장 L / K에 없는 어떤 소수점 S의 유한 집합 S가 연장 L / K에 있는 경우에 일반화할 수 있다.이 경우 L/K의 갈루아 그룹 G는 Krull 위상이 탑재된 확실한 그룹이다.이 위상에서는 G가 콤팩트하기 때문에 G에 독특한 하아 측정 μ가 있다.S에 없는 K의 모든 프라임 v에 대해 관련된 프로베니우스 커플게이시 클래스_v F가 있다.이 상황에서 체보타레프 밀도 정리는 다음과 같이 진술할 수 있다.^[2]

X는 결합 시 안정적이고 경계가 0인 G의 부분집합이 되게 하라.그런_v 다음, F ⊆ X가 밀도를 가질 정도로 S에 있지 않은 프리타임 v의 K 집합

${\displaystyle {\frac {\mu(X)}{\mu(G)}}.}$

이것은 L/K가 유한할 때 유한한 경우로 감소한다(그러면 하르 측정치는 계수 측정일 뿐이다).

이 버전의 정리의 결과는 L의 미문명 프리임의 프로베니우스 원소가 G에 밀도가 있다는 것이다.

중요한 결과

체보타레프 밀도 정리는 숫자 영역의 갈루아 확장을 연장에서의 소수 분할을 기술하는 것으로 분류하는 문제를 감소시킨다.구체적으로는 K의 갈루아 확장으로서 L이 그 안에서 완전히 갈라진 K의 프리타임 집합에 의해 독특하게 결정된다는 것을 암시한다.^[6]이와 관련된 관점은 K의 거의 모든 주요 이상이 L에서 완전히 분열되었다면, 사실상 L = K가 된다.^[7]

메모들

참조

• Lenstra, H. W.; Stevenhagen, P. (1996), "Chebotarëv and his density theorem" (PDF), The Mathematical Intelligencer, 18 (2): 26–37, CiteSeerX 10.1.1.116.9409, doi:10.1007/BF03027290, MR 1395088

• Neukirch, Jürgen (1999). Algebraische Zahlentheorie. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 322. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65399-8. MR 1697859. Zbl 0956.11021.
• Serre, Jean-Pierre (1998) [1968], Abelian l-adic representations and elliptic curves (Revised reprint of the 1968 original ed.), Wellesley, MA: A K Peters, Ltd., ISBN 1-56881-077-6, MR 1484415
• Tschebotareff, N. (1926), "Die Bestimmung der Dichtigkeit einer Menge von Primzahlen, welche zu einer gegebenen Substitutionsklasse gehören", Mathematische Annalen, 95 (1): 191–228, doi:10.1007/BF01206606