아벨의 연장

추상 대수학에서 아벨리안 연장은 갈루아 계열이 아벨리안인 갈루아 계열이다. 갈루아 그룹도 순환할 때 연장은 순환 확장이라고도 한다. 다른 방향으로 가면 갈루아 연장은 그 갈루아 그룹이 해결 가능하다면, 즉 그 그룹이 아벨리아 그룹의 일련의 정상적인 연장으로 분해될 수 있다면 해결 가능하다고 불린다.

유한 장의 모든 유한한 확장은 순환 확장이다.

계급장 이론은 숫자장의 아벨리아적 확장, 유한장에 대한 대수곡선의 함수장, 국소장에 대한 상세한 정보를 제공한다.

사이클로토믹 확장이라는 용어에 대한 정의는 약간 다르다. 그것은 하나의 영역에 통합의 뿌리와 결합하여 형성된 확장 또는 그러한 확장을 의미할 수 있다. 사이클로토믹의 들판이 그 예다. 어느 정의에서든 사이클로토믹 확장은 항상 아벨리안이다.

필드 K에 원시적인 n번째 단결의 근원이 포함되어 있고 K 요소의 n번째 근원이 결합되어 있다면, 결과적인 쿠메르 연장은 아벨리아 확장(K에 특성 p가 있다면 p는 n을 나누지 않는다고 해야 한다, 그렇지 않으면 이것은 분리 가능한 확장일 수도 있기 때문이다). 그러나 일반적으로 원소의 n번째 뿌리로 이루어진 갈루아 그룹은 n번째 뿌리와 단결의 뿌리로 모두 작용하여 비아벨리안 갈루아 그룹을 반직접 상품으로 준다. 쿠메르 이론은 아벨 연장 사건에 대한 완전한 설명을 제공하며, 크론커-베버 정리는 K가 합리적인 수의 분야라면, 단결의 뿌리를 붙여서 얻은 분야의 하위 분야일 경우에만 연장이 아벨리안이라고 말해준다.

공간의 모든 커버 공간을 분류하는 위상의 기본 그룹과 중요한 유사성이 있다: 아벨리안 커버는 첫 번째 호몰로지 그룹과 직접적으로 관련된 그것의 아벨리안화에 의해 분류된다.

참조

• Kuz'min, L.V. (2001) [1994], "cyclotomic extension", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press