거친 구조

기하학 및 위상의 수학적 분야에서, 세트 X의 거친 구조는 미터법 공간과 위상 공간의 대규모 구조를 정의할 수 있는 특정한 특성을 가진 데카르트 제품 X × X의 하위 세트 모음입니다.

전통적인 기하와 위상의 문제는 공간의 소규모 구조와 관련이 있다: 기능의 연속성과 같은 특성은 작은 열린 집합의 역 이미지 또는 이웃의 그 자체가 열려 있는지에 따라 달라진다.경계가 있거나 공간의 자유도와 같은 공간의 대규모 특성은 그러한 특징에 의존하지 않는다.거친 기하학적 구조와 거친 위상은 공간의 대규모 특성을 측정하는 도구를 제공하며, 미터법이나 위상이 공간의 소규모 구조에 대한 정보를 포함하고 있는 것처럼 거친 구조는 그 대규모 특성에 대한 정보를 포함하고 있다.

적절하게, 거친 구조는 위상학적 구조의 대규모 아날로그가 아니라 균일한 구조물이다.

정의

집합 X의 거친 구조는 X × X의 하위 집합의 집합 E이다(따라서 제어된 집합에 대한 이항 관계의 보다 일반적인 분류에 해당하므로 E는 정체성 관계를 가지고 있으며, 하위 집합, 내부 및 유한 결합을 취함으로써 닫히고, 관계 구성 하에서 닫힌다.명시적으로:

1. 정체성/대각선

대각선 Δ = {(x, x) : X in X}은 E의 멤버로, 즉 ID 관계다.

2. 부분 집합 취소에 폐쇄

만약 E가 E의 멤버이고 F가 E의 서브셋이라면 F는 E의 멤버다.

3. 반신반의하며 닫힘

E가 E의 멤버인 경우, 역(또는 전치) E = {(y, x) : E}의 (x, y)는 E의 멤버, 즉 역관계다.

4. 노조를 받아 폐쇄

E와 F가 E의 회원이라면 E와 F의 조합은 E의 회원이다.

5.작성중마감

E와 F가 E의 멤버인 경우 E o F = {(x, y): X에는 (x, z)가 E에 있고, (z, y)가 F}에 있는 z가 E의 멤버인 관계 구성이다.

거친 구조 E가 부여된 X 세트는 거친 공간이다.

집합 E[K]는 X에서 {x: K에는 (x, y)가 E}에 있는 y가 있다.우리는 E by x의 단면을 설정 E[{x}]로 정의한다. 또한 E를 나타낸다.기호^y E는 설정된 E [{y}]를 나타낸다.이것들은 투영의 형태들이다.

직감

제어된 집합은 "작은" 집합 또는 "불가결 집합"이다. A × A가 제어되는 집합 A는 무시할 수 있는 반면, 함수 f : X → X는 그래프를 제어하는 집합이 ID에 "가까이" 있다.경계가 있는 거친 구조에서 이들 집합은 경계 집합이며, 함수는 균일한 측정지표의 정체성으로부터 유한한 거리인 집합이다.

거친 지도

세트 S와 거친 구조 X를 고려하면, 지도 $f{\displaystyle }$: S${\displaystyle }$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:$$S\to X}$ 및$$ $g{\displaystyle }$: ${\displaystyle S}$→ X ${\displaystyle g:$$S\to$ X}이$({\displaystyle 가}$) {${\displaystyle }$( ${\displaystyle f}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ${\displaystyle g}$(${\displaystyle }$)${\displaystyle }$) ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{(f(s),g(s)$s$\in$ S$\}}$이(가) 제어된 집합이라면$$ S\to $X}$이(가) 가깝다.X의 ${\displaystyle \mathrm{부분집합}}$ B는 $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \times }$ B {\$displaystyle B\times$ B$}$이(가) 제어된 집합일 경우 경계된다고 한다.

거친 구조물은 X, Y을 위해서, 저희는 f:Xset BY의 집합 f− 1(Y){\displaystyle f^{)}(Y)}X에서, set EX의 집합(ff×)(E){\displaystyle(f\times다면)(E)}Y.[1]X, Y에서 제어되는 각을 위한 통제된 제한됩니다 만약 각각의 경계 → Y{\displaystyle f:X\to Y}은 음탕할 coars으로 알려져 있다고 말한다.ely ${\displaystyle \mathrm{거친}}$ 맵 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ Y ${\displaystyle f:X\to Y}$ 및$$ $g{\displaystyle }$: ${\displaystyle Y}$→ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g:$$F{\displaystyle }$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\circule g}$이(가) ${\displaystyle {ID}_{}}$ Y ${\$${\displaystyle \}}$에 가깝고$$, G $to f${\$displaystyle g\circule$ $f$$}$이(가) ${\displaystyle {ID}_{}}$ X ${\\$

예

• 미터법 공간의 경계 거친 구조(X, d)는 Sup{d(x, y) : (x, y)가 E}에 유한한 X × X의 모든 하위 집합E의 집합 E이다.

  이 구조로 정수 격자 Z는ⁿ n차원 유클리드 공간과 거칠게 동등하다.

• X × X가 제어되는 공간 X를 경계 공간이라고 한다.그러한 공간은 점과 거칠게 동등하다.경계가 거친 구조를 가진 메트릭 공간은 경계가 있는 경우(경계가 있는 공간)에만 경계가 지정(경계가 있는 공간)된다.
• 사소한 거친 구조는 대각선과 그 하위 집합으로만 구성된다.

  이 구조에서 지도는 (세트의) 편향인 경우에만 거친 등가성이다.

• The C₀ coarse structure on a metric space X is the collection of all subsets E of X × X such that for all ε > 0 there is a compact set K of X such that d(x, y) < ε for all (x, y) in E − K × K. Alternatively, the collection of all subsets E of X × X such that {(x, y) in E : d(x, y) ≥ ε} is compact.
• 세트 X의 이산형 거친 구조는 대각선으로부터 제한된 수의 점(x, y)만 포함하는 X × X의 부분 집합 E와 함께 대각선으로 구성된다.
• X가 위상학적 공간인 경우 X의 비논리적인 거친 구조는 X × X의 모든 적절한 하위 집합으로 구성된다. 즉, 모든 하위 집합 E는 K가 상대적으로 좁을 때마다 E와 E [K]가 상대적으로 작다는 것을 의미한다.

참고 항목

• 균일한 공간
• 준등도 측정법

참조

• John Roe, , University 강의 시리즈 vol. 31, American Matheical Society: Providence, Rhode Island, 2003.거친 지오메트리 강의
• Roe, John (June–July 2006). "What is...a Coarse Space?" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 53 (6): 669. Retrieved 2008-01-16.