준등산법

수학에서 준등각은 이러한 공간의 대규모 기하학적 구조를 존중하고 그 소규모 세부사항을 무시하는 두 미터법 공간 사이의 함수다. 두 메트릭스 공간은 두 메트릭스 공간 사이에 준등산도가 존재할 경우 준등산이다. 준 등축성이라는 특성은 미터법 공간의 등급에서 동등성 관계처럼 작용한다.

준등각의 개념은 그로모프의 작품에 이어 기하학적 집단 이론에서도 특히 중요하다.^[1]

정의

$f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$이(가) 하나의 메트릭 공간$({\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$)$${\$displaystyle(M_{1},d_{1})$에서 두 번째 메트릭 공간$({\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$2, ${\displaystyle {}_{}{2\mathrm{}}_{}}$ )$${\$displaystyle(M_{2},d_{2})$까지 a(연속하지 않아도 됨) 함수라고 가정합시다$.$ Then ${\displaystyle f}$ is called a quasi-isometry from ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ to ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$ if there exist constants ${\displaystyle A\geq 1}$, ${\displaystyle B\geq 0}$, and ${\displaystyle C\geq 0}$ such that the fo두 속성 모두 보유:^[2]

1. $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$}의$$ 두 점 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ $및{\displaystyle }$ y$$ ${\displaystyle y}$에 대해 영상 사이의 거리는 $원래{\displaystyle }$ 거리의 A$$ ${\displaystyle A}$ 인수 내에서$$ 가법 $상수{\displaystyle }$ B$${\$displaystystyle B}$까지입니다$.$ 좀 더 공식적으로:

   ${\displaystyle \forall x,y\in M_{1}:{\frac {1}{A}\;d_{1}(x,y)-B\leq d_{2}(f(x),f(y))\leq A\;d_{1}(x,y)+B.}$

2. $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}의 모든 지점은 이미지 포인트의$$ 일정한 $거리{\displaystyle }$ C ${\displaystyle C}$ 내에 있다$$. 좀 더 공식적으로:

   ${\displaystyle \forall z\in M_{2}:\exists x\in M_{1}:d_{2}(z,f(x)\leq C.}$

The two metric spaces ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ and ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$ are called quasi-isometric if there exists a quasi-isometry ${\displaystyle f}$ from ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ to ${\displaystyle (M_{2$$}},d_{2}}$.

지도가 첫 번째 조건을 만족하지만 반드시 두 번째 조건을 만족하지는 않는 경우(즉, 거친 립스키츠지만 거칠게 굴절하지 못할 수 있는 경우) 준 등축 임베딩이라고 한다. 즉, 지도를 통해${\displaystyle }$(${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{d\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (M_{1},d_{1}}}$이$({\displaystyle }$가) (${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$ 2,${\displaystyle {}_{}}$d ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle (M_{2},d_{2})$의 하위 공간에 대한 준 등축성인$$ 경우$.$

두 개의₁ 미터법₂ 공간 M과 M은 준 등축으로 $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}\underset{}{}}$~ ${\displaystyle \underset{}{Q.}}$ ${\displaystyle \underset{}{I.}}$ ${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$$}}{\sim }}M_{2$ 준등계 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$→ ${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$$M_{1}\to M_{2$

예

The map between the Euclidean plane and the plane with the Manhattan distance that sends every point to itself is a quasi-isometry: in it, distances are multiplied by a factor of at most ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. Note that there can be no isometry, since, for example, the points ${\displaystyle (1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)}$${\displaystyle }$맨해튼 거리에서는 $($1.0$),$ (-$1,0$), $(0,1),$ (0,1)가 서로 등거리지만$$ 유클리드 평면에서는 서로 등거리인 4점이 없다.

The map ${\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{n}\mapsto \mathbb {R} ^{n}}$ (both with the Euclidean metric) that sends every ${\displaystyle n}$-tuple of integers to itself is a quasi-isometry: distances are preserved exactly, and every real tuple is within distance ${\displaystyle {\sqrt {n/4}}}$ 정수 튜플의 다른 방향에서는 실수의 튜플마다 가장 가까운 정수 튜플에 반올림하는 불연속 기능도 준등산법이다: 이 지도가 각 점을 n${\displaystyle \sqrt{/4\mathrm{}}}$ ${\$의 거리$$ $n{\displaystyle \sqrt{}}$/4}의 점으로 가져갔기 때문에 반올림은 mo에서 가감하여 점 쌍 사이의 거리를 변화시킨다.st ${\displaystyle 2n\sqrt{}}$/ ${\displaystyle \sqrt{4\mathrm{}}}$ ${\$

유한하거나 경계가 있는 메트릭 공간의 모든 쌍은 준 등축적이다. 이 경우 한 공간에서 다른 공간까지 모든 기능은 준등산법이다.

등가관계

$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$$M_{1}\mapsto M_{2$}}은$$ 준등산법이며, 그렇다면 준등산법 $g{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {M\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$$M_{2}\mapsto M_{1}}$. Indeed, ${\displaystyle g(x)}$ may be defined by letting ${\displaystyle y}$ be any point in the image of ${\displaystyle f}$ that is within distance ${\displaystyle C}$ of ${\displaystyle x}$, and letting ${\displaystyle g(x)}$ be any point in ${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle$ f$^{-1}(y$

신분지도는 준등산법이고, 두 개의 준등산법 구성은 준등산법이기 때문에 준등산학이라는 성질은 미터법 공간의 등급에서 등가관계처럼 작용하는 것을 따른다.

기하학적 집단 이론에 사용

미세하게 생성되는 그룹 G의 유한 생성 집합 S를 고려하면, 우리는 S와 G의 상응하는 Cayley 그래프를 형성할 수 있다. 이 그래프는 각 가장자리의 길이를 1로 선언하면 메트릭 공간이 된다. 다른 유한 생성 집합 T를 취하면 다른 그래프와 다른 메트릭 공간이 나오지만 두 공간은 준등각이다.^[3] 따라서 이 준등계 등급은 G그룹의 불변성 등급이다. 어떤 공간의 준등계 등급에만 의존하는 미터법 공간의 속성은 즉시 또 다른 그룹의 불변성을 산출하여 집단 이론의 장을 기하학적 방법에 개방한다.

보다 일반적으로, 슈바르츠-밀노르 보조정리에서는 그룹 G가 적절한 지질학적 공간 X에서 콤팩트한 지수로 적절하게 불연속적으로 작용한다면 G는 X에 준등각(G에 대한 모든 케이리 그래프를 의미)이라고 기술하고 있다. 이것은 서로 준 등축성 그룹의 새로운 예를 제시한다.

• G'가 G에서 유한 지수의 부분군인 경우 G'는 G에 대한 준 등축이다.
• G와 H가 동일한 차원 d의 두 개의 콤팩트 쌍곡선 다지관의 기본 그룹이라면 둘 다 쌍곡선 공간 H와^d 그에 따라 서로 준 등축성인 것이다. 반면에 유한 체적의 기본 그룹의 준 등축성 등급은 무한히 많다.^[4]

퀘이게이데지틱스와 모르스 보조정리

A quasi-geodesic in a metric space ${\displaystyle (X,d)}$ is a quasi-isometric embedding of ${\displaystyle \mathbb {R} }$ into ${\displaystyle X}$. More precisely a map ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} \to X}$ such that there exists ${\displaystyle C,K>0}$ so that

$\displaystyle \forall s,t\in \mathb {R} :C^{-1} s-t\leq d(\phi(t),\lepi(s)\leq C-t +K}$

$({\displaystyle C}$, ${\displaystyle K}$) ${\displaystyle (C,K)}$ -quasi-geodesic이라고$$ 한다. 분명히 지질학(arclength에 의해 매개변수)은 준지질학이다. 어떤 공간에서는 그 역이 거칠게 사실이라는 사실, 즉 모든 준지오디컬이 진정한 지오디컬의 경계 거리 내에 머무른다는 사실을 모스 리마(Morse Lema)라고 부른다(다양 위상에서는 아마도 더 널리 알려진 모스 리마(Morse Lema)와 혼동하지 않는다). 공식적으로 그 진술은 다음과 같다.

, , > ${\displaystyle \delta ,C,K>0}$ 및 $X$ ${\displaystyle$ X$}$을(를) 적절한$$ Δ-hyperbolic 공간으로 두십시오. There exists ${\displaystyle M}$ such that for any ${\displaystyle (C,K)}$-quasi-geodesic there exists a geodesic ${\displaystyle L}$ in ${\displaystyle X}$ such that ${\displaystyle d(\phi (t),L)\leq M}$ for all ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$.

기하학적 집단 이론에서 중요한 도구다. 즉각적인 적용은 적절한 쌍곡선 공간 사이의 준등각은 경계 사이의 동형성을 유도하는 것이다. 이 결과는 모스토우 경직성 정리 증명의 첫걸음이다.

그룹의 준등계 불변성 예

다음은 준등산법에 따라 불변하는 그룹 Cayley 그래프의 속성의 몇 가지 예들이다.^[2]

쌍곡선

그룹의 Cayley 그래프 중 하나가 Δ-hyperbolic 공간의 일부인 경우 그룹은 쌍곡선이라고 불린다. 서로 다른 쌍곡성 정의 사이를 번역할 때 Δ의 특정 값은 변할 수 있지만, 그 결과 쌍곡성 집단의 개념은 동등한 것으로 판명된다.

쌍곡선 그룹은 해결 가능한 단어 문제를 가지고 있다. 그들은 양전자적이고 자동적이다.:^[5] 실제로 이들은 강하게 지질학적으로 자동적이며, 즉 그룹에는 자동 구조가 있는데, 여기서 수용자라는 단어가 수용하는 언어는 모든 지오데틱 단어의 집합이다.

성장

대칭 생성 세트에 대한 그룹의 성장률은 그룹 내 볼의 크기를 설명한다. 그룹 내 모든 요소는 생성자의 산물로 작성할 수 있으며, 성장률은 길이 n의 산물로 작성할 수 있는 원소의 수를 계산한다.

그로모프의 정리에 따르면 다항성장의 집단은 사실상 영분(nilpotent)이며, 즉 유한지수의 영분(nilpotent) 하위집단을 가지고 있다. 특히 다항식 성장 $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 순서는 자연수여야 하며$$, 실제로${\displaystyle \mathrm{}}$# ${\displaystyle (n}$)${\displaystyle }$~ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {k{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{0\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\$ n$^{k_$0}}}}}.

$\#{\displaystyle \mathrm{}}$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle \#(n)}$이(가) 어떤 지수함수보다 더 느리게 성장하면$$ G는 하위급 성장률을 가진다. 그런 집단은 누구나 응대할 수 있다.

끝

위상학적 공간의 끝은 대략적으로 공간의 "이상적 경계"의 연결된 구성요소들이다. 즉, 각 끝은 공간 내의 무한대로 이동하는 위상학적으로 뚜렷한 방법을 나타낸다. 각 끝에 점을 추가하면 원래 공간의 압축(end compaction)이라고 알려진 압축이 발생한다.

정밀하게 생성된 그룹의 끝은 해당 Cayley 그래프의 끝이라고 정의된다. 이 정의는 유한 생성 집합의 선택과 무관하다. 미세하게 생성되는 모든 무한집단은 0,1, 2 또는 무한히 많은 끝을 가지며, 집단의 끝에 대한 스털링스 정리는 한 쪽 이상의 끝을 가진 집단에 대한 분해를 제공한다.

국소적으로 유한한 두 개의 연결된 그래프가 준등각인 경우, 동일한 수의 끝점을 가진다.^[6] 특히 준 등축 미세 생성되는 두 집단의 끝 수가 같다.

어메니빌리티

어메니블 그룹은 그룹 요소별 번역에 따라 불변하는 경계함수에 대한 일종의 평균 연산작전을 수행하는 국소 소형 위상학 그룹 G이다. 원래의 정의는 G의 하위 집합에 대한 정밀하게 첨가된 불변량 측정(또는 평균)의 관점에서, 바낙-타스키 역설에 대응하여 독일어 이름 "메스바"("영어로는 측정 가능")로 1929년 존 폰 노이만에 의해 도입되었다. 1949년 말론 M. 데이는 영어 번역 "아멘어블"을 소개했는데, 분명 말장난으로 보였다.^[7]

G가 이산 위상을 갖는 이산 그룹 이론에서는 보다 간단한 정의를 사용한다. 이 설정에서, 주어진 부분집합이 G의 어떤 비율을 차지하는지 말할 수 있다면, 그룹은 수용할 수 있다.

만약 어떤 그룹이 Følner 시퀀스를 가지고 있다면 그것은 자동적으로 순응할 수 있다.

점근원추

초경량형은 일련의 미터법 공간 X에 제한 미터법 공간을 할당하는 기하학적_n 구조다. 초경량계의 중요한 종류는 미터법 공간의 소위 점근성 원추형이다. let (X,d)은 미터법 공간이고$,$ $\Omega$은 N ${\$ \mathb ${N}$의 비주교적 울트라필터가 되게 하고_n, p x X는 염기점의 연속이 되게 한다. Then the ω–ultralimit of the sequence ${\displaystyle (X,{\frac {d}{n}},p_{n})}$ is called the asymptotic cone of X with respect to ω and ${\displaystyle (p_{n})_{n}\,}$ and is denoted ${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d,(p_{n})_{n})\,}$. One often takes the base-point sequence to be constant, p_n = p for some p ∈ X; in this case the asymptotic cone does not depend on the choice of p ∈ X and is denoted by ${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d)\,}$ or just ${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$.

점근 원뿔의 개념은 점근 원추형 원추형(또는 더 정확히 말하면 위상학적 형태와 바이 립시츠형)이 일반적으로 그리고 특히 미세하게 생성된 집단의 준등계 불변성을 제공하기 때문에 기하학적 집단 이론에서 중요한 역할을 한다.^[8] 무증상 원추형 원추형도 비교적 쌍곡선과 그 일반화를 연구하는 데 유용한 도구로 밝혀졌다.^[9]

참고 항목

• 등각도
• 거친 구조

참조